积分与其路径的无关性.ppt

例：求 其中 为整数解： 的参数方程为： ，于是 有1解解例例 5 (1) 积分路径的参数方程为积分路径的参数方程为y=x2(2) 积分路径的参数方程为积分路径的参数方程为y=x3y=x(3) 积分路径由两段直线段构成积分路径由两段直线段构成x轴上直线段的参数方程为轴上直线段的参数方程为1到到1+i直线段的参数方程为直线段的参数方程为4注意注意1这这和高等数学中的曲线积分与路径无关的关系和高等数学中的曲线积分与路径无关的关系 ？？5观察上一节最后两例题后发现： 有的函数的积分只依赖于积分路径的起点与终点，而与积分路径的形状无关，而有的函数，其积分不仅与积分路径的起点与终点有关，而且与积分路径的形状还有关．前一类函数是解析函数．知道 f(z)=1也是解析函数，其积分也只依赖于积分路径的起点与终点，而与积分路径的形状无关．由此，我们可提出猜想： 解析函数的积分只依赖于积分路径的起点与终点，而与积分路径的形状无关． 6§3-2 积分与其路径的无关性一、复积分与其积分路径无关的条件二、解析函数的原函数和在积分计算中的应用三ΔΔ、复闭路定理和闭路变形原理7命题命题1 1 设设 和和 在单连在单连域域D D内连续，积分路径内连续，积分路径C C在在D D内，且记内，且记 ，则该积分与在，则该积分与在D D内的积分路径无关的充要内的积分路径无关的充要条件为对条件为对D D内的任何闭路内的任何闭路C C其积分值其积分值I=0I=0。

8命题命题2 2 设设 和和 在单连域在单连域D D内内具有连续的一阶导数具有连续的一阶导数 和和 ，且满足条件，且满足条件则对则对D D内的任何简单闭路内的任何简单闭路C C有有91. Cauchy积分定理积分定理首先介绍高等数学中的首先介绍高等数学中的Green定理定理:10柯西积分定理柯西积分定理说明：该定理的主要部分是说明：该定理的主要部分是Cauchy于于1825年建立；年建立；它是复变函数理论的基础它是复变函数理论的基础11试着证明试着证明 Cauchy 积分定理积分定理:由由Green公式公式该定理的证明如此简单？12改进的改进的Green定理定理:1925年年 Cauchy 建立该定理时，对建立该定理时，对 u, v 加了导数连加了导数连续性条件；续性条件；Gaursat 去掉了导数连续性的假设去掉了导数连续性的假设13Cauchy 积分定理的证明积分定理的证明:由由改进的改进的Green公式公式14注意注意2 2 若曲线若曲线 C 是区域是区域 D 的边界的边界, 注意注意1 1 定理中的定理中的 C 可以不是简单曲线可以不是简单曲线.15 注意注意3 3 定理的条件必须是定理的条件必须是“单连通区域单连通区域”.注意注意4 4 定理不能反过来用定理不能反过来用.16解解例例 1 1根据根据Cauchy积分定理积分定理, 有有17例例 2 2解解根据根据Cauchy积分定理得积分定理得1819一、复积分与其积分路径无关的条件一、复积分与其积分路径无关的条件 定理定理1 Cauchy1 Cauchy积分定理积分定理 若函数若函数 在简单闭曲线在简单闭曲线C C上及其内部解上及其内部解析，则一定有析，则一定有Cauchy-Cauchy-GoursatGoursat基本定理基本定理 若若 在单连域在单连域D D内解析，则对内解析，则对D D内的任何内的任何闭路有闭路有20 定理定理2 2 复积分与其积分路径的无关性复积分与其积分路径的无关性 若函数若函数 在单连域在单连域D D内解析，则它在内解析，则它在D D内内从定点从定点z z0 0到动点到动点z z的积分值与在的积分值与在D D内所取路径无内所取路径无关，而只与动点关，而只与动点z z有关。

有关D D内积分值为内积分值为z z的单值函数的单值函数, ,可简记为：可简记为：(3-2-1)(3-2-1)21例例 计算积分计算积分 解解  因为因为                   均在复平面上解析，均在复平面上解析， 所以，它们的和在一包含积分路径所以，它们的和在一包含积分路径         的单的单连通区域连通区域G G内解析，而积分路径内解析，而积分路径         是围线，是围线， 所以，由定理得所以，由定理得　　　　                                  　　　　显然，该例所用方法是最简单的．显然，该例所用方法是最简单的．221. 原函数的概念原函数之间的关系原函数之间的关系: :二、解析函数的原函数和在积分计算中的应用二、解析函数的原函数和在积分计算中的应用23那末它就有无穷多个原函数那末它就有无穷多个原函数, 根据以上讨论可知根据以上讨论可知:证证24类似于高等数学的结果，可以得到类似于高等数学的结果，可以得到由此结论可知由此结论可知: 解析函数在单连通域内的积分只与起点和解析函数在单连通域内的积分只与起点和终点有关终点有关, 即：即：2526272. Newton-Leibniz 公式公式说明说明: : 有了以上定理有了以上定理, 复变函数的积分就可以用复变函数的积分就可以用与微积分学中类似的方法去计算与微积分学中类似的方法去计算.28证证根据根据 Cauchy 积分定理积分定理,29例例1 1解解例例2 2解解30例例3 3解解31例例4 4解解利用分部积分法可得利用分部积分法可得32三、复闭路定理和闭路变形原理三、复闭路定理和闭路变形原理问题：问题：如果如果G G是复连通区域，那么，定理是否仍是复连通区域，那么，定理是否仍然有效？然有效？33那末那末34证明证明A1A2A3A4C1C2EFGIH3536当当 n 为其它值时，可同样证明。

为其它值时，可同样证明37特殊情况：闭路变形原理特殊情况：闭路变形原理由由复合闭路原理复合闭路原理这就是闭路变形原理这就是闭路变形原理38解析函数沿闭曲线的积分解析函数沿闭曲线的积分, ,不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值. .在变形过程中曲线不经过函在变形过程中曲线不经过函数数 f(z) 的不解析的点的不解析的点. .说明：说明：39意义意义1.1.揭示了解析函数的一个性质揭示了解析函数的一个性质————在一定条件下，在一定条件下，解析函数沿复连通区域边界的积分等于零；解析函数沿复连通区域边界的积分等于零；2.2.提供了一种计算函数沿围线积分的方法．提供了一种计算函数沿围线积分的方法．闭路变形原理： 解析函数积分的积分路径作不经过被积函数奇点的连续变形，其积分值保持不变403.3.典型例题典型例题例例1 1解解依题意知依题意知, 41根据复合闭路原理根据复合闭路原理,42例例2 2 解解圆环域的边界构成一条复合闭路圆环域的边界构成一条复合闭路,根据闭路复合原理根据闭路复合原理,43例例3 3解解44故故这一这一结果很重要。

结果很重要45先观察等式先观察等式                            与与                             的左端与右端的特征，再寻找将它的变形后的等式的左的左端与右端的特征，再寻找将它的变形后的等式的左端与右端的联系后，发现，它们均满足端与右端的联系后，发现，它们均满足　　　　　　　　　　　　　　　　　　                              于是，我们可提出下面的问题来研究：等式于是，我们可提出下面的问题来研究：等式　　　　　　　　　　　　　　　　　　                               对于对于    来说，是否是必然规律？来说，是否是必然规律？　　积分基本公式对此作了回答．　　积分基本公式对此作了回答． 46。