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有理数的高级运算 基本技巧： 有理数加法法则：1、同号相加，取相同的符号，再把绝对值相加； 异号相加， 取绝对值大的加数符号， 再用较大绝对值减去较小绝对值. 2、a+（-a）=0 3、a+0=a 有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数 a-b=a+(-b) 有理数乘法法则：1、两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘. 2、任何数与 0 相乘，都得 0. 有理数除法法则：1、除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数 2、两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除 有理数的混合运算法则: （越后学越高级）1.先算乘方，再算乘除，最后算加减； 2.如果有括号，先算括号里面的； 3.同一级运算从左往右依次进行 考点一：直接根据运算法则计算 例 1：−𝟔𝟑 − [(−𝟑)𝟑+ (𝟐 − 𝟏.𝟗 × 𝟒 𝟓) ÷ |−𝟐 − 𝟐| ] 提示：根据混合运算法则，先去绝对值，计算乘方，然后去括号，最后根据加减法 则计算结果即可. 考点二：利用运算律简便运算 加法运算律：1、交换律 a+b=b+a 2、结合律 (a+b)+c=a+(b+c) 例 2、-1+3-5+7-…-17+19 提示： 可以利用加法结合律将两项两项合并， 由题目构造可知， 1,2 项相加结果 3,4 项 5,6 项……结果一样， 所以可以两项两项合并， 从而快速得到结果.（这也叫同和 结合法） 练 1、1+2-3-4+5+6-7-8+…+2001+2002-2003-2004 乘法运算律：1、交换律 ab=ba 2、结合律 (ab)c=a(bc) 3、分配律 a(b+c)=ab+ac （分配律可用于直接分配、提取相同项用分配律逆运算、分类提取）逆运算 例 3、(𝟐 𝟕 − 𝟐 𝟖 + 𝟑 𝟒) ÷ (− 𝟐 𝟓𝟑) − (−𝟐 𝟓) 提示：直接分配 练 2、(−𝟐𝟑𝟔)÷ (− 𝟒 𝟖) + 𝟕𝟑 ÷ 𝟒 𝟖 +187÷ (− 𝟒 𝟖) 提示：分配律逆运算 练 3、𝟏.𝟖 × 𝟐𝟘 𝟓 𝟘 + 𝟑 𝟒 𝟓 × (−𝟐𝟓) + 𝟏.𝟖 × 𝟔 𝟘 + 𝟐 𝟓 × (−𝟐𝟓) 提示：分类分配 考点三：有理数的高级运算 化零为整：将不是整数（分数或靠近整数的数）化成整数加减剩余数的形式，从而 减轻运算压力，加快解题速度，提高正确率. 例 4、899994+89995+8996+897+88+8 提示：我们会发现每个数都接近 9 开头的整数，直接算的话运算量太大，所以我们 可以将每项数都化成 9 开头的数减去较小的数. 练 4、497 8×（-4） 练 5、-666×（-19991997 1998） 裂项相消法:这种方法适用于多个分数相加，将一个分数拆成两个或多个分数相加， 然后抵掉，直接算出结果，快速解决问题，主要是要辨认模型. 𝟐 𝐧（𝐧+𝐝）= 𝟐 𝐝（ 𝟐 𝐧 − 𝟐 𝐧+𝐝） 类型一、两个连续数相乘的倒数求和 例 4、 1 1×2 + 1 2×3 + 1 3×4 + 1 4×5 提示： 1 1×2= 1 1 − 1 2， 1 2×3 = 1 2 − 1 3……依次像这样一拆为二， 中间可以两项两项 可以约掉. 练 6、 1 1×2 + 1 2×3 + 1 3×4 +…+ 1 n×（n+1） 提示：可参照例 4 去解决. 例 5、 1 1×5 + 1 5×9 + 1 9×13 + 1 13×17 提示： 1 1×5 5=( 1 1 − 1 5 5) ÷ 𝟓， 1 5 5×9 = (1 5 − 1 9 9) ÷ 𝟓……依次像这样一拆为二，但 是每项裂开后需要除以 4 才能还原，除变乘后，提取1 4 4后中间可以两项两项可以约 掉. 练 7、 1 1×3 + 1 3×5 + 1 5×7 +…+ 1 （2n−1）×（2n+1） 提示：可根据例 5 利用 𝟐 𝐧（𝐧+𝐝）= 𝟐 𝐝（ 𝟐 𝐧 − 𝟐 𝐧+𝐝）来解决. 倒序相加法（等差） ： 将式子倒过来排序相加得到新式子，两式相加，每项相加和 都一样，这种式子可以用倒序相加，公式为： （首项+ +末项）× ×项数 2 2 例 6、1+2+3+4+5+6+7+…+1998+1999 提示：每一项相差数都一样，所以可以用倒序相加的公式来解决. 练 8、1+3+5+7+9+11+13+…+1997+1999 裂项+倒序相加法（等差） 例 7、 1 1+2 + 1 1+2+3 + 1 1+2+3+4 +…+ 1 1+2+…+n 提示：先把分母利用倒序相加表示出来，然后裂项. 例 8、1+31 6 +5 1 12 +7 1 20 +9 1 30 +11 1 42 + 13 1 56+15 1 72 + 17 1 90 提示：拆分后再组合. 练 9、1 2 - 5 6 + 7 12 - 9 20 + 11 30 − 13 42+ 15 56 错位相减法（等比） ： 当后一项与前一项的比一定时，可以采取此类方法，原式乘 以“后一项与前一项的比”得到新式子，将新式子的第一项与原式的第二项对齐， 你会发现对应位置的数相等，新式-原式就会得到所求值. 例 9、1+2+22+23+24+25+…+22015+22016 提示： 令 S=1+2+22+23+24+25+…+22015+22016（后一项与前一项的比为 2） 2S= 2+22+23+24+25+…+22015+22016+22017作差即可求 S. 练 10、1+2+22+23+24+25+…+2n−1+2n 。