高二数学双曲线知识点及例题.docx

高二数学双曲线学问点及例题一 学问点 1. 双曲线第肯定义： 平面内及两个定点F1、F2的间隔 差的肯定值是常数〔小于|F1F2|〕的点的轨迹叫双曲线这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的间隔 |F1F2|叫焦距 2. 双曲线的第二定义： 平面内及一个定点的间隔 和到一条定直线的间隔 的比是常数e〔e>1〕的点的轨迹叫双曲线定点叫双曲线的焦点，定直线叫双曲线的准线，常数e叫双曲线的离心率 3. 双曲线的标准方程： 〔1〕焦点在x轴上的： 〔2〕焦点在y轴上的： 〔3〕当a＝b时，x2－y2＝a2或y2－x2＝a2叫等轴双曲线 注：c2＝a2＋b2 4. 双曲线的几何性质： <2>对称性：图形关于x轴、y轴，原点都对称 <3>顶点：A1〔-a，0〕，A2〔a，0〕 线段A1A2叫双曲线的实轴，且|A1A2|＝2a； 线段B1B2叫双曲线的虚轴，且|B1B2|＝2b e越大，双曲线的开口就越开阔 5．假设双曲线的渐近线方程为： 那么以这两条直线为公共渐近线的双曲线系方程可以写成： 【典型例题】 例1. 选择题。

A. 必要但不充分条件 B. 充分但不必要条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 A. 焦点在x轴上的椭圆 B. 焦点在y轴上的椭圆 C. 焦点在y轴上的双曲线 D. 焦点在x轴上的双曲线 那么△F1PF2的面积为〔 〕 例2. 例3. B〔-5，0〕，C〔5，0〕是△ABC的两个顶点，且，求顶点A的轨迹方程 例4. 〔1〕求及椭圆的双曲线的标准方程 〔2〕求及双曲线的双曲线的标准方程例5. 〔1〕过点M〔1，1〕的直线交双曲线于A、B两点，假设M为AB的中点，求直线AB的方程； 〔2〕是否存在直线l，使点为直线l被双曲线截得的弦的中点，假设存在求出直线l的方程，假设不存在说明理由 例六：1. 假设表示焦点在y轴上的双曲线，那么它的半焦距c的取值范围是〔 〕 A. B. 〔0，2〕 C. D. 〔1，2〕 2. 双曲线的两条渐近线的夹角为60°，那么双曲线的离心率为〔 〕 A. 2或 B. 2 C. D. 3. 圆C1：和圆C2：，动圆M同时及圆C1及圆C2相外切，求动圆圆心M的轨迹方程。

[例题答案]例一：解：1. 把所给方程及双曲线的标准方程比照 易知：2+m及m+1应同号即可 ∴选A 易知：x2的系数为负，y2的系数为正 ∴方程表示焦点在y轴上的双曲线 4. 由双曲线方程知：a＝4，b＝3，c＝5 、例二：解：设所求双曲线方程为Ax2－By2＝1，〔AB>0〕 例三：分析：在△ABC中由正弦定理可把转化为，结合图形可知顶点A的轨迹是以B、C为两焦点，实轴长为6的双曲线的左支 解：在△ABC中，|BC|＝10 ∴顶点A的轨迹是以B、C为两个焦点，实轴长为6的双曲线的左支 又∵c＝5，a＝3，∴b＝4 注：〔1〕利用正弦定理可以实现边及角的转换，这是求轨迹方程的关键； 〔2〕对于满意曲线定义的，可以干脆写出轨迹方程； 〔3〕求轨迹要做到不重不漏，应删除不满意条件的点例四： 解：〔1〕由椭圆方程知： 〔2〕解法一： ∴双曲线的焦点必在x轴上 解法二： 例五：解：〔1〕设AB的方程为：y－1＝k〔x－1〕 〔1〕另解法： 当x1＝x2时，直线AB及双曲线没有交点。

〔2〕假设过的直线l交双曲线于C〔x3，y3〕，D〔x4，y4〕两点 例六： 1. 答案：A 2. 答案：A 3. 分析：解决此题的关键是找寻动点M满意的条件，对于两圆相切，自然找圆心距及半径的关系 解：设动圆M及圆C1及圆C2分别外切于点A和B，依据两圆外切的充要条件知： 即动点M及两定点C1、C2的间隔 的差是2 依据双曲线定义，动点M的轨迹是双曲线左支〔点M及C2的间隔 大于及C1的间隔 〕 这里 设M〔x，y〕 ∴轨迹方程为。