纳什均衡的扩展与精炼四川大学.ppt

博弈论及其应用博弈论及其应用第3章 纳什均衡的扩展与精炼1《博弈论及其应用》《博弈论及其应用》 （汪贤裕）博（汪贤裕）博弈论及其应用》弈论及其应用》 （汪贤裕）（汪贤裕）《《博弈论及其应用博弈论及其应用》》 汪贤裕汪贤裕2第3章 纳什均衡的扩展与精炼 •主要内容主要内容 §3.1 §3.1 不完全信息的静态博弈不完全信息的静态博弈 §3.2 §3.2 完全且完美信息动态博弈完全且完美信息动态博弈 §3.3 §3.3 重复博弈重复博弈 §3.4 §3.4 不完全信息的动态博弈不完全信息的动态博弈 2《博弈论及其应用》《博弈论及其应用》 （汪贤裕）博（汪贤裕）博弈论及其应用》弈论及其应用》 汪贤裕汪贤裕《《博弈论及其应用博弈论及其应用》》 汪贤裕汪贤裕3§3.1 3.1 不完全信息的静态博弈不完全信息的静态博弈 §3.1.1 §3.1.1 不完全信息博弈与海萨尼转不完全信息博弈与海萨尼转换换§3.1.2 §3.1.2 规范式表述和贝叶斯纳什均规范式表述和贝叶斯纳什均衡衡§3.1.3 §3.1.3 贝叶斯静态博弈的典型模型贝叶斯静态博弈的典型模型3《博弈论及其应用》《博弈论及其应用》 （汪贤裕）博（汪贤裕）博弈论及其应用》弈论及其应用》 汪贤裕汪贤裕《《博弈论及其应用博弈论及其应用》》 汪贤裕汪贤裕4§3.1.1 §3.1.1 不完全信息博弈不完全信息博弈 与海萨尼转换与海萨尼转换 ※ ※ 不完全信息的含义与形式不完全信息的含义与形式 ※ ※ 海萨尼转换海萨尼转换 ※ ※ 例例 3.1.1 3.1.1 不完全信息的行业博弈不完全信息的行业博弈4《博弈论及其应用》《博弈论及其应用》 （汪贤裕）博（汪贤裕）博弈论及其应用》弈论及其应用》 汪贤裕汪贤裕《《博弈论及其应用博弈论及其应用》》 汪贤裕汪贤裕5不完全信息的含义与形式不完全信息的含义与形式 不完全信息博弈中的不完全信息专指一种博弈不完全信息博弈中的不完全信息专指一种博弈局势中局中人对其他局中人与该种博弈局势有关的局势中局中人对其他局中人与该种博弈局势有关的事前事前信息信息了解不充分，而不是博弈中产生的与局中人实际策了解不充分，而不是博弈中产生的与局中人实际策略选择有关的信息。

略选择有关的信息 这里所谓的这里所谓的事前信息事前信息是指关于在博弈实际开始是指关于在博弈实际开始之前局中人所处地位或者状态的信息，这种地位与状态之前局中人所处地位或者状态的信息，这种地位与状态对于博弈局势会产生影响对于博弈局势会产生影响5《博弈论及其应用》《博弈论及其应用》 （汪贤裕）博（汪贤裕）博弈论及其应用》弈论及其应用》 汪贤裕汪贤裕《《博弈论及其应用博弈论及其应用》》 汪贤裕汪贤裕6不完全信息的含义与形式不完全信息的含义与形式 博弈中的不完全信息具有多种形式，如局中博弈中的不完全信息具有多种形式，如局中人对其他局中人人对其他局中人( (或自己或自己) )所掌握的自然资源、人力资源、所掌握的自然资源、人力资源、商业经验、决策能力的了解不充分，对其他局中人偏好商业经验、决策能力的了解不充分，对其他局中人偏好与品位的了解不完全，对其他局中人可用策略的了解不与品位的了解不完全，对其他局中人可用策略的了解不完全对处于同一种博弈局势的局中人的具体数目了解完全对处于同一种博弈局势的局中人的具体数目了解不完全，等等不完全，等等 这些不完全信息情形在博弈论分析中可以统归这些不完全信息情形在博弈论分析中可以统归为一种不完全信息：为一种不完全信息：局中人对其他局中人的支付函数的局中人对其他局中人的支付函数的不完全了解不完全了解。

6《博弈论及其应用》《博弈论及其应用》 （汪贤裕）博（汪贤裕）博弈论及其应用》弈论及其应用》 汪贤裕汪贤裕《《博弈论及其应用博弈论及其应用》》 汪贤裕汪贤裕7海萨尼转换海萨尼转换 在静态博弈中，我们把各种不完全信息归在静态博弈中，我们把各种不完全信息归结为局中人的各种不同的类型若局中人对参加博结为局中人的各种不同的类型若局中人对参加博弈的每一个局中人的类型都了解，则对各个局势弈的每一个局中人的类型都了解，则对各个局势（即策略组合）下的收益（支付函数）就知道了即策略组合）下的收益（支付函数）就知道了 对这种设想，我们引入对这种设想，我们引入海萨尼转换海萨尼转换7《博弈论及其应用》《博弈论及其应用》 （汪贤裕）博（汪贤裕）博弈论及其应用》弈论及其应用》 汪贤裕汪贤裕《《博弈论及其应用博弈论及其应用》》 汪贤裕汪贤裕8海萨尼转换海萨尼转换 （（1 1）引入一个）引入一个虚拟的局中人虚拟的局中人——“自然自然””(nature)(nature)或者说是或者说是““上帝上帝””(God)(God) ，他不考虑自己，他不考虑自己的得失，仅赋予博弈中各局中人的类型向量的得失，仅赋予博弈中各局中人的类型向量 ，其中，其中 t ti i 属于第属于第i i个局中人的可行类型空间个局中人的可行类型空间 T Ti i 。

( (T Ti i 为局中人为局中人i i 的特征的完备描述的特征的完备描述) )；； （（2 2）自然只把局中人）自然只把局中人 i i 的真实的类型的真实的类型T Ti i 告诉告诉局中人局中人 i i 本人，却不让其他局中人知道但本人，却不让其他局中人知道但““自然自然””将把在将把在 上的上的概率分布概率分布 告诉每一个局中人；告诉每一个局中人；8《博弈论及其应用》《博弈论及其应用》 （汪贤裕）博（汪贤裕）博弈论及其应用》弈论及其应用》 汪贤裕汪贤裕《《博弈论及其应用博弈论及其应用》》 汪贤裕汪贤裕9海萨尼转换（续）海萨尼转换（续） （（3 3）所有局中人同时行动，局中人）所有局中人同时行动，局中人 i i 从自己的从自己的策略空间策略空间 S S i i 中选择策略中选择策略s s i i ；其中局中人；其中局中人 i i 的策的策略空间略空间 S S i i 与局中人与局中人i i 的类型的类型t ti i 有关，一般记为有关，一般记为 S Si i ( ( t ti i ) ) ； （（4 4）各局中人）各局中人 i i 除除““自然自然””外的外的支付函数支付函数为：为： u ui i ( s( s1 1,s,s2 2,…,s,…,si i,…,s,…,sn n,t,ti i ) ) 。

9《博弈论及其应用》《博弈论及其应用》 （汪贤裕）博（汪贤裕）博弈论及其应用》弈论及其应用》 汪贤裕汪贤裕《《博弈论及其应用博弈论及其应用》》 汪贤裕汪贤裕10 例例 3.1.1 3.1.1 不完全信息的行业博弈不完全信息的行业博弈 行业内有一个在位者（局中人行业内有一个在位者（局中人1）和一个潜在的）和一个潜在的进入者（局中人进入者（局中人2）局中人）局中人1 决定是否在某地建立决定是否在某地建立一个新工厂，同时局中人一个新工厂，同时局中人2 决定是否在该地进入该决定是否在该地进入该行业局中人行业局中人2不知道局中人不知道局中人1建厂的成本是高还是建厂的成本是高还是低，但局中人低，但局中人1自己知道这个博弈的收益如下表所自己知道这个博弈的收益如下表所示10《博弈论及其应用》《博弈论及其应用》 （汪贤裕）博（汪贤裕）博弈论及其应用》弈论及其应用》 汪贤裕汪贤裕《《博弈论及其应用博弈论及其应用》》 汪贤裕汪贤裕11例例 3.1.1 3.1.1 不完全信息的行业博弈不完全信息的行业博弈( (续续) )表3.1.1 不完全信息的行业博弈规范式11《博弈论及其应用》《博弈论及其应用》 （汪贤裕）博（汪贤裕）博弈论及其应用》弈论及其应用》 汪贤裕汪贤裕《《博弈论及其应用博弈论及其应用》》 汪贤裕汪贤裕12例例 3.1.1 3.1.1 不完全信息的行业博弈（续）不完全信息的行业博弈（续） 在该例中，进入者似乎是在与两个不同的在在该例中，进入者似乎是在与两个不同的在位者博弈，一个是高成本的在位者，另一个是低成本的位者博弈，一个是高成本的在位者，另一个是低成本的在位者。

一般地，如果在位者有在位者一般地，如果在位者有T T种可能的不同成本函种可能的不同成本函数，进入者就似乎是在与数，进入者就似乎是在与T T个不同的在位者博弈个不同的在位者博弈 在在19671967年以前，博弈论专家认为这样的不完全年以前，博弈论专家认为这样的不完全信息博弈是没法分析的，因为当信息博弈是没法分析的，因为当——个局中人并不知道他个局中人并不知道他在与谁博弈时，博弈的规则是没有定义的直到在与谁博弈时，博弈的规则是没有定义的直到19671967年，年，海萨尼提出了海萨尼转换解决了这个问题海萨尼提出了海萨尼转换解决了这个问题12《博弈论及其应用》《博弈论及其应用》 （汪贤裕）博（汪贤裕）博弈论及其应用》弈论及其应用》 汪贤裕汪贤裕《《博弈论及其应用博弈论及其应用》》 汪贤裕汪贤裕13例例 3.1.1 3.1.1 不完全信息的行业博弈（续）不完全信息的行业博弈（续） 在该例中，自然决定了局中人在该例中，自然决定了局中人ⅠⅠ有有““高成本高成本””和和““低成本低成本””两两种类型，局中人种类型，局中人ⅡⅡ只有一种类型。

只有一种类型 若局中人若局中人ⅠⅠ属于属于““高成本高成本””类型，则构成表类型，则构成表3.1.13.1.1中左边一个中左边一个标准的完全信息下的静态博弈若局中人标准的完全信息下的静态博弈若局中人ⅠⅠ属于属于““低成本低成本””类型，类型，则构成表则构成表3.1.13.1.1中右边一个标准的完全信息下的静态博弈中右边一个标准的完全信息下的静态博弈 局中人局中人ⅠⅠ知道自己的类型，局中人知道自己的类型，局中人ⅡⅡ不知道局中人不知道局中人ⅠⅠ的类型，的类型，但两个局中人对但两个局中人对““自然自然””给与局中人给与局中人ⅠⅠ的类型的概率分布具有一致的类型的概率分布具有一致的判断不妨的判断不妨设设 ，， 下节讨论下节讨论13《博弈论及其应用》《博弈论及其应用》 （汪贤裕）博（汪贤裕）博弈论及其应用》弈论及其应用》 汪贤裕汪贤裕《《博弈论及其应用博弈论及其应用》》 汪贤裕汪贤裕14§3.1.2 §3.1.2 规范式表述和贝叶斯纳什均衡规范式表述和贝叶斯纳什均衡 ※ ※ 定义定义3.1.1 3.1.1 不完全信息的静态博弈不完全信息的静态博弈 ※ ※ 定义定义3.1.2 3.1.2 贝叶斯纳什均衡贝叶斯纳什均衡 ※ ※ 贝叶斯纳什均衡与一般纳什均衡的区别贝叶斯纳什均衡与一般纳什均衡的区别 ※ ※ 贝叶斯纳斯均衡的存在性贝叶斯纳斯均衡的存在性14《博弈论及其应用》《博弈论及其应用》 （汪贤裕）博（汪贤裕）博弈论及其应用》弈论及其应用》 汪贤裕汪贤裕《《博弈论及其应用博弈论及其应用》》 汪贤裕汪贤裕15定义定义3.1.13.1.1 不完全信息的静态博弈不完全信息的静态博弈 不完全信息静态博弈包括如下不完全信息静态博弈包括如下4 4个要素。

个要素•局中人集合局中人集合 •每个局中人有个每个局中人有个类型空间类型空间 以及在全体类型以及在全体类型空间空间 上的上的概率分布概率分布 •每个局中人有（与自身的类型每个局中人有（与自身的类型 相关的）相关的）策略集策略集 且策略集且策略集 与其它局中人的类型无关与其它局中人的类型无关 •每一个局中人都有其每一个局中人都有其收益函数收益函数 ，即，即收益函数不仅依赖于策略组合收益函数不仅依赖于策略组合 ，也依赖于自身的类型，也依赖于自身的类型 。

15《博弈论及其应用》《博弈论及其应用》 （汪贤裕）博（汪贤裕）博弈论及其应用》弈论及其应用》 汪贤裕汪贤裕《《博弈论及其应用博弈论及其应用》》 汪贤裕汪贤裕16定义定义3.1.1 3.1.1 不完全信息的静态博弈（续）不完全信息的静态博弈（续） 满足以上满足以上4 4个要素都是个要素都是共同知识共同知识的博弈称为的博弈称为不完全信息的静态博弈不完全信息的静态博弈，也称为，也称为贝叶斯静态博弈贝叶斯静态博弈，，记为记为 当局中人 自身的类型为 时，他选择策略 的期望收益为：（3.1.2）16《博弈论及其应用》《博弈论及其应用》 （汪贤裕）博（汪贤裕）博弈论及其应用》弈论及其应用》 汪贤裕汪贤裕《《博弈论及其应用博弈论及其应用》》 汪贤裕汪贤裕17定义定义3.1.2 3.1.2 贝叶斯纳什均衡贝叶斯纳什均衡 在贝叶斯静态博弈在贝叶斯静态博弈 中，若中，若 是一个策略组合，且对每一是一个策略组合，且对每一个个 和和 都有：都有： （（3.1.33.1.3）） 则称策略组合则称策略组合 是一个是一个贝叶斯纳什均贝叶斯纳什均衡。

衡17《博弈论及其应用》《博弈论及其应用》 （汪贤裕）博（汪贤裕）博弈论及其应用》弈论及其应用》 汪贤裕汪贤裕《《博弈论及其应用博弈论及其应用》》 汪贤裕汪贤裕18贝叶斯纳什均衡与贝叶斯纳什均衡与 一般纳什均衡的不同点一般纳什均衡的不同点•（（1 1））贝叶斯纳什均衡贝叶斯纳什均衡用用贝叶斯公式贝叶斯公式得到的，以概率得到的，以概率分布作为依据，考虑其它局中人不同类型下的期望分布作为依据，考虑其它局中人不同类型下的期望收益•（（2 2））贝叶斯纳什均衡贝叶斯纳什均衡研究的是研究的是局中人的策略选择局中人的策略选择，，并且这种策略选择依赖于自身的类型并且这种策略选择依赖于自身的类型18《博弈论及其应用》《博弈论及其应用》 （汪贤裕）博（汪贤裕）博弈论及其应用》弈论及其应用》 汪贤裕汪贤裕《《博弈论及其应用博弈论及其应用》》 汪贤裕汪贤裕19贝叶斯纳什均衡存在性贝叶斯纳什均衡存在性 一个凹函数一定是拟凹函数3.1.43.1.4））19《博弈论及其应用》《博弈论及其应用》 （汪贤裕）博（汪贤裕）博弈论及其应用》弈论及其应用》 汪贤裕汪贤裕《《博弈论及其应用博弈论及其应用》》 汪贤裕汪贤裕20贝叶斯纳什均衡存在性（续）贝叶斯纳什均衡存在性（续）（（3.1.53.1.5））20《博弈论及其应用》《博弈论及其应用》 （汪贤裕）博（汪贤裕）博弈论及其应用》弈论及其应用》 汪贤裕汪贤裕《《博弈论及其应用博弈论及其应用》》 汪贤裕汪贤裕21贝叶斯纳什均衡存在性（续）贝叶斯纳什均衡存在性（续）21《博弈论及其应用》《博弈论及其应用》 （汪贤裕）博（汪贤裕）博弈论及其应用》弈论及其应用》 汪贤裕汪贤裕《《博弈论及其应用博弈论及其应用》》 汪贤裕汪贤裕22贝叶斯纳什均衡存在性（续）贝叶斯纳什均衡存在性（续）22《博弈论及其应用》《博弈论及其应用》 （汪贤裕）博（汪贤裕）博弈论及其应用》弈论及其应用》 汪贤裕汪贤裕《《博弈论及其应用博弈论及其应用》》 汪贤裕汪贤裕23贝叶斯纳什均衡存在性（续）贝叶斯纳什均衡存在性（续） 比较定理比较定理3.1.23.1.2和定理和定理2.2.32.2.3，显然定理，显然定理3.1.23.1.2的条件的条件更强些。

其更强些其原因原因在于在贝叶斯博弈中，局中人在于在贝叶斯博弈中，局中人 的收益的收益是纯策略下的期望收益（式是纯策略下的期望收益（式3.1.23.1.2）或局中人）或局中人 的收益的收益函数函数 可以随着类型的变化而变化当可以随着类型的变化而变化当 是是 的凹的凹函数，则其凸组合函数，则其凸组合 也是也是 的凹函数，这就保的凹函数，这就保证了贝叶斯纳什均衡点的存在但是若证了贝叶斯纳什均衡点的存在但是若 是拟凹函数，是拟凹函数，则它的凸组合不能保证是拟凹函数则它的凸组合不能保证是拟凹函数23《博弈论及其应用》《博弈论及其应用》 （汪贤裕）博（汪贤裕）博弈论及其应用》弈论及其应用》 汪贤裕汪贤裕《《博弈论及其应用博弈论及其应用》》 汪贤裕汪贤裕24贝叶斯纳什均衡存在性（续）贝叶斯纳什均衡存在性（续）24《博弈论及其应用》《博弈论及其应用》 （汪贤裕）博（汪贤裕）博弈论及其应用》弈论及其应用》 汪贤裕汪贤裕《《博弈论及其应用博弈论及其应用》》 汪贤裕汪贤裕25贝叶斯纳什均衡存在性（续）贝叶斯纳什均衡存在性（续） 在贝叶斯静态博弈在贝叶斯静态博弈 中，若中，若 是一个混合策略组合，且对每一个是一个混合策略组合，且对每一个 和对和对任意的任意的 都有都有 则称混合策略组合则称混合策略组合 是一个是一个混合策略下的贝叶斯纳什均衡混合策略下的贝叶斯纳什均衡。

这里的这里的 E E 是指对混合策略是指对混合策略 下局中人下局中人 的收益的收益 期望3.1.63.1.6））25《博弈论及其应用》《博弈论及其应用》 （汪贤裕）博（汪贤裕）博弈论及其应用》弈论及其应用》 汪贤裕汪贤裕《《博弈论及其应用博弈论及其应用》》 汪贤裕汪贤裕26贝叶斯纳什均衡存在性（续）贝叶斯纳什均衡存在性（续） 定理定理3.1.3 3.1.3 在贝叶斯静态博弈在贝叶斯静态博弈 中，中， 是是 的一个混合策略下的贝叶斯的一个混合策略下的贝叶斯纳什均衡的纳什均衡的充分必要条件是：对每一个局中人和每一个纯策略充分必要条件是：对每一个局中人和每一个纯策略 有：有：其中其中 是局中人是局中人i i的一个纯策略，即特殊的混合策略的一个纯策略，即特殊的混合策略（（0,…,0,1,0,…,00,…,0,1,0,…,0）。

定理定理3.1.4 3.1.4 在贝叶斯静态博弈中，必有混合策略下的贝叶在贝叶斯静态博弈中，必有混合策略下的贝叶斯纳什均衡斯纳什均衡3.1.73.1.7））26《博弈论及其应用》《博弈论及其应用》 （汪贤裕）博（汪贤裕）博弈论及其应用》弈论及其应用》 汪贤裕汪贤裕《《博弈论及其应用博弈论及其应用》》 汪贤裕汪贤裕27例例3.1.1 3.1.1 不完全信息的行业博弈不完全信息的行业博弈( (续续) )•采用定义采用定义3.1.43.1.4和定理和定理3.1.33.1.3对例对例3.1.13.1.1进行进行如下进行进行如下的详细求解讨论的详细求解讨论•在位者（局中人在位者（局中人1 1）有两种类型）有两种类型 ，， 代表高成代表高成本，本， 代表低成本及潜在进入者代表低成本及潜在进入者( (局中人局中人2)2)只有只有1 1种种类型，类型， 自然决定了局中人类型上的概率分布自然决定了局中人类型上的概率分布为：为： 27《博弈论及其应用》《博弈论及其应用》 （汪贤裕）博（汪贤裕）博弈论及其应用》弈论及其应用》 汪贤裕汪贤裕《《博弈论及其应用博弈论及其应用》》 汪贤裕汪贤裕28例例 3.1.1 3.1.1 不完全信息的不完全信息的 行业博弈（续）行业博弈（续）•设在高成本时局中人设在高成本时局中人1 1的策略集为的策略集为 。

代表代表建厂，建厂， 表示不建厂局中人表示不建厂局中人1 1此时采用此时采用 策略的概率为策略的概率为 （（ ），采用策略），采用策略 概率为概率为 在低成本时局中人在低成本时局中人1 1的策略集为的策略集为 , , 代表建厂，代表建厂， 代代表不建厂局中人表不建厂局中人1 1此时采用策略此时采用策略 的概率的概率 （（ ），采），采用策略策略用策略策略 的概率为的概率为 •局中人局中人2 2只有一种类型，则其策略集只有一种类型，则其策略集 ，， 代代表进入，表进入， 代表不进入局中人代表不进入局中人2 2此时采用策略此时采用策略 的概的概率为率为 （（ ），采用策略），采用策略 的概率为的概率为 。

28《博弈论及其应用》《博弈论及其应用》 （汪贤裕）博（汪贤裕）博弈论及其应用》弈论及其应用》 汪贤裕汪贤裕《《博弈论及其应用博弈论及其应用》》 汪贤裕汪贤裕29例例 3.1.1 3.1.1 不完全信息的不完全信息的 行业博弈（续）行业博弈（续）•局中人局中人1 1在高成本时期望收益记为在高成本时期望收益记为 ，在低成本时的期望收，在低成本时的期望收益为益为 ，局中人，局中人2 2的期望收益记为的期望收益记为 29《博弈论及其应用》《博弈论及其应用》 （汪贤裕）博（汪贤裕）博弈论及其应用》弈论及其应用》 汪贤裕汪贤裕《《博弈论及其应用博弈论及其应用》》 汪贤裕汪贤裕30例例 3.1.1 3.1.1 不完全信息的不完全信息的 行业博弈（续）行业博弈（续）•设设 是混合策略下的贝叶斯纳什均衡，是混合策略下的贝叶斯纳什均衡，由定理由定理3.1.33.1.3，应满足下列不等式，应满足下列不等式化简化简30《博弈论及其应用》《博弈论及其应用》 （汪贤裕）博（汪贤裕）博弈论及其应用》弈论及其应用》 汪贤裕汪贤裕《《博弈论及其应用博弈论及其应用》》 汪贤裕汪贤裕31例例 3.1.1 3.1.1 不完全信息的不完全信息的 行业博弈（续）行业博弈（续）•由以化简所得不等式可进一步得其等价关系为：由以化简所得不等式可进一步得其等价关系为：31《博弈论及其应用》《博弈论及其应用》 （汪贤裕）博（汪贤裕）博弈论及其应用》弈论及其应用》 汪贤裕汪贤裕《《博弈论及其应用博弈论及其应用》》 汪贤裕汪贤裕32例例 3.1.1 3.1.1 不完全信息的不完全信息的 行业博弈（续）行业博弈（续） 由以上不等式组（由以上不等式组（I I），只能得到），只能得到 。

将将 带入带入不等式组不等式组 有：有：32《博弈论及其应用》《博弈论及其应用》 （汪贤裕）博（汪贤裕）博弈论及其应用》弈论及其应用》 汪贤裕汪贤裕《《博弈论及其应用博弈论及其应用》》 汪贤裕汪贤裕33例例 3.1.1 3.1.1 不完全信息的不完全信息的 行业博弈（续）行业博弈（续）•为求解不等式组为求解不等式组 和和 类似双矩阵博弈的求解方法类似双矩阵博弈的求解方法 可以作图：可以作图：•在图在图3.1.13.1.1中，满足不等式组中，满足不等式组 和和 不等式组不等式组 的解为的解为A A点和点和BCBC线段线段 因此，原博弈的贝叶斯纳什均衡集为：因此，原博弈的贝叶斯纳什均衡集为：图3.1.1 行业博弈的贝叶斯纳斯均衡求解33《博弈论及其应用》《博弈论及其应用》 （汪贤裕）博（汪贤裕）博弈论及其应用》弈论及其应用》 汪贤裕汪贤裕《《博弈论及其应用博弈论及其应用》》 汪贤裕汪贤裕34例例 3.1.1 3.1.1 不完全信息的不完全信息的 行业博弈（续）行业博弈（续）以上混合策略贝叶斯纳什均衡包含以上混合策略贝叶斯纳什均衡包含两个纯策略贝叶斯纳什均衡两个纯策略贝叶斯纳什均衡。

•（（1 1）在位者为高成本和低成本都不建厂，而进入者建厂在位者为高成本和低成本都不建厂，而进入者建厂•（（2 2）在位者为高成本时不建厂，为低成本时建厂，而进入者不）在位者为高成本时不建厂，为低成本时建厂，而进入者不建厂•（（3 3）另有无穷多个组合策略下的贝叶斯纳什均衡：在位者为高）另有无穷多个组合策略下的贝叶斯纳什均衡：在位者为高成本时不建厂成本时不建厂, ,为低成本时建厂为低成本时建厂, ,进入者以进入者以 （（ ）） 的概率进入，以的概率进入，以 的概率不进入的概率不进入•以上的贝叶斯纳什均衡与只考虑在位者是低成本与进入者之间以上的贝叶斯纳什均衡与只考虑在位者是低成本与进入者之间的双矩阵博弈纳什均衡是有差异的，源于威慑作用的双矩阵博弈纳什均衡是有差异的，源于威慑作用34《博弈论及其应用》《博弈论及其应用》 （汪贤裕）博（汪贤裕）博弈论及其应用》弈论及其应用》 汪贤裕汪贤裕《《博弈论及其应用博弈论及其应用》》 汪贤裕汪贤裕35§3.1.3 §3.1.3 贝叶斯静态博弈的应用贝叶斯静态博弈的应用※ ※ 例例3.1.23.1.2不完全信息下的古诺模型不完全信息下的古诺模型※ ※ 例例3.1.3 3.1.3 酒商与顾客的博弈酒商与顾客的博弈※ ※ 例例3.1.43.1.4独立私人价值下的一级密封拍独立私人价值下的一级密封拍卖卖※ ※ 例例3.1.53.1.5双向拍卖双向拍卖35《博弈论及其应用》《博弈论及其应用》 （汪贤裕）博（汪贤裕）博弈论及其应用》弈论及其应用》 汪贤裕汪贤裕《《博弈论及其应用博弈论及其应用》》 汪贤裕汪贤裕36例例3.1.2 3.1.2 不完全信息下的古诺模型不完全信息下的古诺模型 市场上有两个厂商生产同一种产品。

厂商市场上有两个厂商生产同一种产品厂商1 1、、2 2生产的商生产的商品的数量分别为品的数量分别为 和和 他们的边际成本不同他们的边际成本不同厂商1 1的边际成本的边际成本为为 ，厂商，厂商2 2有两种边际成本，低成本为有两种边际成本，低成本为 高成本为高成本为 即厂商2 2有自己成本的私人信息厂商有自己成本的私人信息厂商1 1对厂商对厂商2 2的的成本是高还是低有一个判断信念，即高成本的可能性为成本是高还是低有一个判断信念，即高成本的可能性为 ，低成，低成本的可能性为本的可能性为 ，这里假定，这里假定 这个判断信念得到厂商这个判断信念得到厂商1 1和厂和厂商商2 2的共同认同同时，市场的逆需求函数的共同认同同时，市场的逆需求函数 是大于是大于边际成本的一个常数，这里取边际成本的一个常数，这里取 。

两个厂商在没有任何协议和两个厂商在没有任何协议和约定的情况下，同时分别决定生产产量，以追求市场利润最大化约定的情况下，同时分别决定生产产量，以追求市场利润最大化36《博弈论及其应用》《博弈论及其应用》 （汪贤裕）博（汪贤裕）博弈论及其应用》弈论及其应用》 汪贤裕汪贤裕《《博弈论及其应用博弈论及其应用》》 汪贤裕汪贤裕37例例3.1.2 3.1.2 不完全信息下的不完全信息下的 古诺模型（续）古诺模型（续） 按照对不完全信息博弈海萨尼转换的方法，可以按照对不完全信息博弈海萨尼转换的方法，可以视为视为““自然自然””决定厂商类型，厂商决定厂商类型，厂商1 1有有1 1种类型，厂商种类型，厂商2 2有有两种类型两种类型 ，， 表示低成本，表示低成本， 表示高成本自然将表示高成本自然将厂商厂商2 2的类型通知了厂商的类型通知了厂商2 2，并且给出了在类型空间上的概，并且给出了在类型空间上的概率分布：率分布： 。

是一个确定常数，这里取是一个确定常数，这里取 37《博弈论及其应用》《博弈论及其应用》 （汪贤裕）博（汪贤裕）博弈论及其应用》弈论及其应用》 汪贤裕汪贤裕《《博弈论及其应用博弈论及其应用》》 汪贤裕汪贤裕38例例3.1.23.1.2不完全信息下的不完全信息下的 古诺模型（续）古诺模型（续）这时厂商这时厂商2 2在低成本类型下生产在低成本类型下生产 时的收益函数为：时的收益函数为： （3.1.18） 厂商厂商2 2在高成本类型在高成本类型 生产生产 时的收益函数为：时的收益函数为： （3.1.19） 厂商厂商1 1只有一种类型，而对厂商只有一种类型，而对厂商2 2的两种类型，它生产的期望的两种类型，它生产的期望收益为：收益为： （3.1.20）38《博弈论及其应用》《博弈论及其应用》 （汪贤裕）博（汪贤裕）博弈论及其应用》弈论及其应用》 汪贤裕汪贤裕《《博弈论及其应用博弈论及其应用》》 汪贤裕汪贤裕39例例3.1.23.1.2不完全信息下的不完全信息下的 古诺模型（续）古诺模型（续） 显然，上述三个函数对自身变量显然，上述三个函数对自身变量都是凹函数，分别求都是凹函数，分别求 、、 并令为并令为0 0，有：，有： 求解有：求解有： 即厂商即厂商1 1生产产量为生产产量为 ，厂商，厂商2 2在低成本类型时生产产量为在低成本类型时生产产量为 ，在，在高成本类型时生产产量为高成本类型时生产产量为 。

3.1.22）39《博弈论及其应用》《博弈论及其应用》 （汪贤裕）博（汪贤裕）博弈论及其应用》弈论及其应用》 汪贤裕汪贤裕《《博弈论及其应用博弈论及其应用》》 汪贤裕汪贤裕40例例3.1.23.1.2不完全信息下的不完全信息下的 古诺模型（续）古诺模型（续） 将题中给的具体数字将题中给的具体数字 ：： 代入（代入（3.1.223.1.22）式）式 有：有： 再代回到（再代回到（3.1.183.1.18）（）（3.1.193.1.19）和（）和（3.1.203.1.20）式）式 有有 40《博弈论及其应用》《博弈论及其应用》 （汪贤裕）博（汪贤裕）博弈论及其应用》弈论及其应用》 汪贤裕汪贤裕《《博弈论及其应用博弈论及其应用》》 汪贤裕汪贤裕41例例3.1.3 3.1.3 酒商与顾客的博弈酒商与顾客的博弈 一商人到某城镇去卖酒。

该商人可能是一商人到某城镇去卖酒该商人可能是诚实诚实的，的，卖好酒也可能是卖好酒也可能是不诚实不诚实的，卖假酒他有加强宣传的，卖假酒他有加强宣传卖卖高价高价和一是一般卖出只和一是一般卖出只卖低价卖低价两个策略而该城镇中的两个策略而该城镇中的消费者也有两类，有饮酒的消费者也有两类，有饮酒的嗜好嗜好的和的和无此嗜好无此嗜好的的消费者有者有买酒买酒和和不买酒不买酒两个策略两个策略 商人不知道来买酒的消费者是有嗜好还是无嗜商人不知道来买酒的消费者是有嗜好还是无嗜好的；而消费者也不知道商人是诚实还是不诚实的好的；而消费者也不知道商人是诚实还是不诚实的41《博弈论及其应用》《博弈论及其应用》 （汪贤裕）博（汪贤裕）博弈论及其应用》弈论及其应用》 汪贤裕汪贤裕《《博弈论及其应用博弈论及其应用》》 汪贤裕汪贤裕42例例3.1.3 3.1.3 酒商与顾客的博弈（续）酒商与顾客的博弈（续）消消 费费 者者有有 嗜嗜 好好(B (B 1 1) )无无 嗜嗜 好好(B (B 2 2) )买酒买酒不买酒不买酒买酒买酒不买酒不买酒酒酒 商商诚实诚实(A (A 1 1) )高价高价3,33,3-4,-2-4,-23,23,2-4,0-4,0低价低价2,52,5-2,-4-2,-42,42,4-2,-4-2,-4不诚实不诚实(A (A 2 2) )高价高价4,-34,-3-3,0-3,04,-34,-3-3,1-3,1低价低价1,01,0-1,1-1,11,01,0-1,0-1,0各种情况下商人和消费者的效用值如下表：各种情况下商人和消费者的效用值如下表：表表3.1.2 3.1.2 商人和消费者博弈规范式商人和消费者博弈规范式42《博弈论及其应用》《博弈论及其应用》 （汪贤裕）博（汪贤裕）博弈论及其应用》弈论及其应用》 汪贤裕汪贤裕《《博弈论及其应用博弈论及其应用》》 汪贤裕汪贤裕43例例3.1.3 3.1.3 酒商与顾客的博弈（续）酒商与顾客的博弈（续） 显然商人的类型有两种显然商人的类型有两种 ，诚实记为，诚实记为 ，不诚，不诚实记为实记为 ，而消费者类型也有两种，而消费者类型也有两种 ，有嗜好的消费者记，有嗜好的消费者记为为 ，无嗜好的消费者记为，无嗜好的消费者记为 。

并记商人的策略集为并记商人的策略集为 ，高价卖酒记为，高价卖酒记为 ，低价，低价卖酒记为卖酒记为 ，并记消费者的策略集为，并记消费者的策略集为 买酒记为买酒记为 不买不买酒记为酒记为 43《博弈论及其应用》《博弈论及其应用》 （汪贤裕）博（汪贤裕）博弈论及其应用》弈论及其应用》 汪贤裕汪贤裕《《博弈论及其应用博弈论及其应用》》 汪贤裕汪贤裕44根据该城镇历年来的记载有如下的情况：根据该城镇历年来的记载有如下的情况：嗜酒者遇到诚实商人的概率为嗜酒者遇到诚实商人的概率为0.20.2：：嗜酒者遇到不诚实商人的概率为嗜酒者遇到不诚实商人的概率为0.40.4：：不嗜酒者遇到诚实商人的概率为不嗜酒者遇到诚实商人的概率为0.10.1：：不嗜酒者遇到不诚实商人的概率为不嗜酒者遇到不诚实商人的概率为0.30.3：： 那么商人和消费者各自采取什么策略呢？那么商人和消费者各自采取什么策略呢？例例3.1.3 3.1.3 酒商与顾客的博弈（续）酒商与顾客的博弈（续）44《博弈论及其应用》《博弈论及其应用》 （汪贤裕）博（汪贤裕）博弈论及其应用》弈论及其应用》 汪贤裕汪贤裕《《博弈论及其应用博弈论及其应用》》 汪贤裕汪贤裕45例例3.1.3 3.1.3 酒商与顾客的博弈（续）酒商与顾客的博弈（续）根据贝叶斯法则根据贝叶斯法则同理有同理有45《博弈论及其应用》《博弈论及其应用》 （汪贤裕）博（汪贤裕）博弈论及其应用》弈论及其应用》 汪贤裕汪贤裕《《博弈论及其应用博弈论及其应用》》 汪贤裕汪贤裕46例例3.1.3 3.1.3 酒商与顾客的博弈（续）酒商与顾客的博弈（续）•设酒商在类型为设酒商在类型为 时混合策略为时混合策略为 •设酒商在类型为设酒商在类型为 时混合策略为时混合策略为•设消费者在类型为设消费者在类型为 时的混合策略为时的混合策略为•设消费者在类型为设消费者在类型为 时的混合策略为时的混合策略为•从表从表3.1.23.1.2可知，酒商为类型可知，酒商为类型 时，面对两种类型的时，面对两种类型的消费者，其收益矩阵分别是：消费者，其收益矩阵分别是：46《博弈论及其应用》《博弈论及其应用》 （汪贤裕）博（汪贤裕）博弈论及其应用》弈论及其应用》 汪贤裕汪贤裕《《博弈论及其应用博弈论及其应用》》 汪贤裕汪贤裕47例例3.1.3 3.1.3 酒商与顾客的博弈（续）酒商与顾客的博弈（续）•在上述规定下的混合策略，酒商为类型在上述规定下的混合策略，酒商为类型 时的期望收益为：时的期望收益为：•由定理由定理3.1.33.1.3，， 是贝叶斯纳什均衡的充分必要条件为：是贝叶斯纳什均衡的充分必要条件为：47《博弈论及其应用》《博弈论及其应用》 （汪贤裕）博（汪贤裕）博弈论及其应用》弈论及其应用》 汪贤裕汪贤裕《《博弈论及其应用博弈论及其应用》》 汪贤裕汪贤裕48例例3.1.3 3.1.3 酒商与顾客的博弈（续）酒商与顾客的博弈（续）•上面两个不等式的等价不等式组为上面两个不等式的等价不等式组为•酒商为类型酒商为类型 时，面对两种类型消费者，其收益矩阵分别是：时，面对两种类型消费者，其收益矩阵分别是： 48《博弈论及其应用》《博弈论及其应用》 （汪贤裕）博（汪贤裕）博弈论及其应用》弈论及其应用》 汪贤裕汪贤裕《《博弈论及其应用博弈论及其应用》》 汪贤裕汪贤裕49例例3.1.3 3.1.3 酒商与顾客的博弈（续）酒商与顾客的博弈（续）•在上述规定的混合策略下，酒商为类型在上述规定的混合策略下，酒商为类型 时的期望收益：时的期望收益：•由定理由定理3.1.33.1.3，， 是贝叶斯纳什均衡的充分必要条件是贝叶斯纳什均衡的充分必要条件为：为：49《博弈论及其应用》《博弈论及其应用》 （汪贤裕）博（汪贤裕）博弈论及其应用》弈论及其应用》 汪贤裕汪贤裕《《博弈论及其应用博弈论及其应用》》 汪贤裕汪贤裕50例例3.1.3 3.1.3 酒商与顾客的博弈（续）酒商与顾客的博弈（续）•上面两个不等式的等价不等式组为上面两个不等式的等价不等式组为 •消费者为类型消费者为类型 时，面对两种类型的酒商，其收益矩时，面对两种类型的酒商，其收益矩阵分别为：阵分别为：50《博弈论及其应用》《博弈论及其应用》 （汪贤裕）博（汪贤裕）博弈论及其应用》弈论及其应用》 汪贤裕汪贤裕《《博弈论及其应用博弈论及其应用》》 汪贤裕汪贤裕51例例3.1.3 3.1.3 酒商与顾客的博弈（续）酒商与顾客的博弈（续）在上述规定的混合策略下，消费者为类型在上述规定的混合策略下，消费者为类型 时的期望收益时的期望收益 是贝叶斯纳什均衡的充分必要条件为是贝叶斯纳什均衡的充分必要条件为 51《博弈论及其应用》《博弈论及其应用》 （汪贤裕）博（汪贤裕）博弈论及其应用》弈论及其应用》 汪贤裕汪贤裕《《博弈论及其应用博弈论及其应用》》 汪贤裕汪贤裕52例例3.1.3 3.1.3 酒商与顾客的博弈（续）酒商与顾客的博弈（续）•上面两个不等式的等价不等式组为：上面两个不等式的等价不等式组为：•消费者类型为消费者类型为 时，面对两种类型的酒商，其收益矩时，面对两种类型的酒商，其收益矩阵分别是：阵分别是： 52《博弈论及其应用》《博弈论及其应用》 （汪贤裕）博（汪贤裕）博弈论及其应用》弈论及其应用》 汪贤裕汪贤裕《《博弈论及其应用博弈论及其应用》》 汪贤裕汪贤裕53例例3.1.3 3.1.3 酒商与顾客的博弈（续）酒商与顾客的博弈（续）•在上述规定的混合策略下，消费者为类型在上述规定的混合策略下，消费者为类型 的期望收益的期望收益• 是贝叶斯纳什均衡的充分必要条件为是贝叶斯纳什均衡的充分必要条件为 53《博弈论及其应用》《博弈论及其应用》 （汪贤裕）博（汪贤裕）博弈论及其应用》弈论及其应用》 汪贤裕汪贤裕《《博弈论及其应用博弈论及其应用》》 汪贤裕汪贤裕54例例3.1.3 3.1.3 酒商与顾客的博弈（续）酒商与顾客的博弈（续）•上面两个不等式的等价不等式组为上面两个不等式的等价不等式组为 •若若 是该博弈的贝叶斯纳什均衡，是该博弈的贝叶斯纳什均衡，其其充分必要条件充分必要条件是满足由是满足由（（I）、（）、（II）、）、(III)和和 （（IV））组成组成的不等式组。

对应这的不等式组对应这4 4个不等式组联合求解，可以采取如下方法个不等式组联合求解，可以采取如下方法进行 54《博弈论及其应用》《博弈论及其应用》 （汪贤裕）博（汪贤裕）博弈论及其应用》弈论及其应用》 汪贤裕汪贤裕《《博弈论及其应用博弈论及其应用》》 汪贤裕汪贤裕55例例3.1.3 3.1.3 酒商与顾客的博弈（续）酒商与顾客的博弈（续）• 可能的可能的9 9种组合情况分别如下：种组合情况分别如下：•分别讨论这分别讨论这9 9种组合情况是否有符合不等式组（种组合情况是否有符合不等式组（I I）、（）、（IIII）、）、(III)(III)和（和（IVIV）都成立的共同解都成立的共同解55《博弈论及其应用》《博弈论及其应用》 （汪贤裕）博（汪贤裕）博弈论及其应用》弈论及其应用》 汪贤裕汪贤裕《《博弈论及其应用博弈论及其应用》》 汪贤裕汪贤裕56例例3.1.3 3.1.3 酒商与顾客的博弈（续）酒商与顾客的博弈（续）•对第（对第（1 1）种组合情况）种组合情况: : 此时由不等式组此时由不等式组(III)(III)和和（（IVIV）可知，只有）可知，只有 ，但，但 不满足不等式组不满足不等式组（（I I）中：当）中：当 排除第（排除第（1 1）种）种组合情况。

组合情况•对第（对第（5 5）种组合情况）种组合情况: : 这时由不等式组这时由不等式组（（I I）和（）和（IIII），要求），要求 和和 满足满足 但上面方程组解为：但上面方程组解为： 显然不符合要求显然不符合要求 排除第（排除第（5 5）种）种组合情况组合情况• 以上以上9 9种组合情况中，种组合情况中，1 1、、3 3、、4 4、、5 5、、6 6、、7 7、、8 8都可以排除都可以排除56《博弈论及其应用》《博弈论及其应用》 （汪贤裕）博（汪贤裕）博弈论及其应用》弈论及其应用》 汪贤裕汪贤裕《《博弈论及其应用博弈论及其应用》》 汪贤裕汪贤裕57例例3.1.3 3.1.3 酒商与顾客的博弈（续）酒商与顾客的博弈（续）•考察组合情况（考察组合情况（2 2）：）： 由不等式组由不等式组(III)和（和（IV），），只能是只能是 综合考察综合考察 ，， ，， 对不等式组（对不等式组（I I）、（）、（IIII）、）、(III)(III)和（和（IVIV）都满足。

都满足 因此，由因此，由 和和 可以组成贝叶斯纳什均衡可以组成贝叶斯纳什均衡57《博弈论及其应用》《博弈论及其应用》 （汪贤裕）博（汪贤裕）博弈论及其应用》弈论及其应用》 汪贤裕汪贤裕《《博弈论及其应用博弈论及其应用》》 汪贤裕汪贤裕58例例3.1.3 3.1.3 酒商与顾客的博弈（续）酒商与顾客的博弈（续）•考察组合情况（考察组合情况（9 9）：）： 由不等式组（由不等式组（IVIV）可知）可知 再返回到不等式组（再返回到不等式组（I I），只有），只有 和和 满足不等式组（满足不等式组（I I）和（）和（IIII）） 再将再将 和和 放到不等式组放到不等式组(III)(III)中，则要求中，则要求 综合考察：综合考察： 对不等式组（对不等式组（I I）、（）、（IIII）、）、(III)(III)和（和（IVIV）均满足，）均满足， 因此因此 可以组成贝叶斯纳什可以组成贝叶斯纳什均衡。

均衡58《博弈论及其应用》《博弈论及其应用》 （汪贤裕）博（汪贤裕）博弈论及其应用》弈论及其应用》 汪贤裕汪贤裕《《博弈论及其应用博弈论及其应用》》 汪贤裕汪贤裕59例例3.1.3 3.1.3 酒商与顾客的博弈（续）酒商与顾客的博弈（续）•综上所述，该博弈的贝叶斯纳什均衡为：综上所述，该博弈的贝叶斯纳什均衡为：•即酒商为即酒商为诚实诚实时，将以概率时，将以概率 卖高价，卖高价， 的概率卖低价，的概率卖低价， •当酒商为当酒商为不诚实不诚实时，一定采用卖高价策略时，一定采用卖高价策略•消费者中对酒有嗜好的将买酒，而无嗜好的将不买酒消费者中对酒有嗜好的将买酒，而无嗜好的将不买酒59《博弈论及其应用》《博弈论及其应用》 （汪贤裕）博（汪贤裕）博弈论及其应用》弈论及其应用》 汪贤裕汪贤裕《《博弈论及其应用博弈论及其应用》》 汪贤裕汪贤裕60例例3.1.4 3.1.4 独立私人价值下的独立私人价值下的 一级密封拍卖一级密封拍卖 考虑有两个竞标人的情况，竞标人考虑有两个竞标人的情况，竞标人1 1和竞标人和竞标人2 2，，即即 。

令竞标人令竞标人 对拍卖物的估价为对拍卖物的估价为 ，出价为，出价为 ，， 只有竞标人只有竞标人 自己知道自己知道 是多少 为投标人的策略，即为投标人的策略，即 这里““自然自然””确定了投标人确定了投标人 的类型的类型 ，并给出了，并给出了 的概率分布的概率分布 并假定并假定 都是都是[0,1][0,1]上的独立均匀分布上述情况都是上的独立均匀分布上述情况都是共同知识共同知识60《博弈论及其应用》《博弈论及其应用》 （汪贤裕）博（汪贤裕）博弈论及其应用》弈论及其应用》 汪贤裕汪贤裕《《博弈论及其应用博弈论及其应用》》 汪贤裕汪贤裕61例例3.1.4 3.1.4 独立私人价值下的独立私人价值下的 一级密封拍卖（续）一级密封拍卖（续）•竞标人竞标人 的收益函数如下：的收益函数如下：•竞标人竞标人 在自己的类型为在自己的类型为 ，出价为，出价为 的情况下，其期望收益的情况下，其期望收益为：为：（（3.1.393.1.39））（（3.1.403.1.40））61《博弈论及其应用》《博弈论及其应用》 （汪贤裕）博（汪贤裕）博弈论及其应用》弈论及其应用》 汪贤裕汪贤裕《《博弈论及其应用博弈论及其应用》》 汪贤裕汪贤裕62例例3.1.4 3.1.4 独立私人价值下的独立私人价值下的 一级密封拍卖（续）一级密封拍卖（续）•为了讨论方便，我们对局中人的策略作如下规定：为了讨论方便，我们对局中人的策略作如下规定： ，， 为常数，为常数， 这里这里 可视为竞标人可视为竞标人 的最低标价。

局中人的最低标价局中人 的策略为的策略为（（3.1.413.1.41）） •在上述规定下，在上述规定下， 也是一个均匀分布的随机变量，则对任意常数也是一个均匀分布的随机变量，则对任意常数 这样我们在这样我们在3.1.403.1.40式中后两项均为式中后两项均为0 0，不予以考虑不予以考虑62《博弈论及其应用》《博弈论及其应用》 （汪贤裕）博（汪贤裕）博弈论及其应用》弈论及其应用》 汪贤裕汪贤裕《《博弈论及其应用博弈论及其应用》》 汪贤裕汪贤裕63例例3.1.4 3.1.4 独立私人价值下的独立私人价值下的 一级密封拍卖（续）一级密封拍卖（续）•当竞标人当竞标人 在估价在估价 时，其出价时，其出价 的多少由的多少由（（3.1.403.1.40））~ ~（（3.1.423.1.42）式有：）式有： 比较（比较（3.1.443.1.44）与（）与（3.1.413.1.41），有：），有： ，， ，， 即：即：（（3.1.443.1.44））（（3.1.453.1.45））（（3.1.433.1.43））63《博弈论及其应用》《博弈论及其应用》 （汪贤裕）博（汪贤裕）博弈论及其应用》弈论及其应用》 汪贤裕汪贤裕《《博弈论及其应用博弈论及其应用》》 汪贤裕汪贤裕64例例3.1.4 3.1.4 独立私人价值下的独立私人价值下的 一级密封拍卖（续）一级密封拍卖（续）•（（3.1.453.1.45）） 两个竞标人的出价都为自己估价的一半两个竞标人的出价都为自己估价的一半。

•若有若有 个人参加竞标，可以类似的分析得到个人参加竞标，可以类似的分析得到 ，， 　　 （（3.1.46）） 投标人越多，卖者能得到的价格就越高；当投标人投标人越多，卖者能得到的价格就越高；当投标人趋于无穷时，卖者几乎得到买者价值的全部趋于无穷时，卖者几乎得到买者价值的全部64《博弈论及其应用》《博弈论及其应用》 （汪贤裕）博（汪贤裕）博弈论及其应用》弈论及其应用》 汪贤裕汪贤裕《《博弈论及其应用博弈论及其应用》》 汪贤裕汪贤裕65例例3.1.5 3.1.5 双向拍卖双向拍卖　　　双向拍卖规则：卖方确定一个卖价　　　双向拍卖规则：卖方确定一个卖价 　，买方同时给出一个　，买方同时给出一个买价买价 如果 , ,则交易以则交易以 　的价格进行，如　的价格进行，如果果 　，则不发生交易。

　，则不发生交易　　　下面我们考虑买方和卖方对自己的估价都存在私人信息的情　　　下面我们考虑买方和卖方对自己的估价都存在私人信息的情况，分析双向拍卖的博弈况，分析双向拍卖的博弈65《博弈论及其应用》《博弈论及其应用》 （汪贤裕）博（汪贤裕）博弈论及其应用》弈论及其应用》 汪贤裕汪贤裕《《博弈论及其应用博弈论及其应用》》 汪贤裕汪贤裕66例例3.1.5 3.1.5 双向拍卖（续）双向拍卖（续） 　　买方对标的商品的估价为买方对标的商品的估价为 ，卖方的估价为，卖方的估价为 ，双方，双方的估价都是私人信息，并且服从的估价都是私人信息，并且服从[0[0，，1]1]区间的均匀分布效用函区间的均匀分布效用函数如下：数如下：买方的效用函数买方的效用函数０，０，卖方的效用函数卖方的效用函数０，０，66《博弈论及其应用》《博弈论及其应用》 （汪贤裕）博（汪贤裕）博弈论及其应用》弈论及其应用》 汪贤裕汪贤裕《《博弈论及其应用博弈论及其应用》》 汪贤裕汪贤裕67例例3.1.5 3.1.5 双向拍卖（续）双向拍卖（续）这是一个不完全信息的静态博弈。

这是一个不完全信息的静态博弈自然自然””给出买给出买卖双方的类型，并分别通知双方双方对对方的类卖双方的类型，并分别通知双方双方对对方的类型是不知道的买卖双方的出价策略　　和　　分型是不知道的买卖双方的出价策略　　和　　分别依赖于其类型　　和　　别依赖于其类型　　和　　•如果以下的两个条件成立，策略组合如果以下的两个条件成立，策略组合 　　　　即为博弈的贝叶斯纳什均衡即为博弈的贝叶斯纳什均衡67《博弈论及其应用》《博弈论及其应用》 （汪贤裕）博（汪贤裕）博弈论及其应用》弈论及其应用》 汪贤裕汪贤裕《《博弈论及其应用博弈论及其应用》》 汪贤裕汪贤裕68例例3.1.5 3.1.5 双向拍卖（续）双向拍卖（续）(1)(1)对于买方在区间对于买方在区间 内的每一估价内的每一估价 　，其出价　　　　　，其出价　　　　应满足应满足 (2)(2)对于卖方在区间对于卖方在区间 内的每一估价内的每一估价 ，其出价，其出价 应满应满足足(3.1.47)(3.1.48)68《博弈论及其应用》《博弈论及其应用》 （汪贤裕）博（汪贤裕）博弈论及其应用》弈论及其应用》 汪贤裕汪贤裕《《博弈论及其应用博弈论及其应用》》 汪贤裕汪贤裕69例例3.1.5 3.1.5 双向拍卖（续）双向拍卖（续）•假设卖方假设卖方 和买方和买方 的出价均是自己的估价的线性函数，即的出价均是自己的估价的线性函数，即采用线性策略出价。

设采用线性策略出价设 •考虑前面假设考虑前面假设 和和 都是都是 上均匀分布，则对　上均匀分布，则对　（（3.1.473.1.47）和（）和（3.1.483.1.48）式中各项概率和数学期望可以计算：）式中各项概率和数学期望可以计算：(3.1.49)(3.1.50)69《博弈论及其应用》《博弈论及其应用》 （汪贤裕）博（汪贤裕）博弈论及其应用》弈论及其应用》 汪贤裕汪贤裕《《博弈论及其应用博弈论及其应用》》 汪贤裕汪贤裕70例例3.1.5 3.1.5 双向拍卖（续）双向拍卖（续）70《博弈论及其应用》《博弈论及其应用》 （汪贤裕）博（汪贤裕）博弈论及其应用》弈论及其应用》 汪贤裕汪贤裕《《博弈论及其应用博弈论及其应用》》 汪贤裕汪贤裕71例例3.1.5 3.1.5 双向拍卖（续）双向拍卖（续） 将上面将上面4 4个关系式代入到（个关系式代入到（3.1.473.1.47）和（）和（3.1.483.1.48）式有：）式有： 求解（求解（3.1.49)3.1.49)和（和（3.1.503.1.50）式，分别有）式，分别有：： (3.1.51)(3.1.52)(3.1.53)(3.1.54)71《博弈论及其应用》《博弈论及其应用》 （汪贤裕）博（汪贤裕）博弈论及其应用》弈论及其应用》 汪贤裕汪贤裕《《博弈论及其应用博弈论及其应用》》 汪贤裕汪贤裕72例例3.1.5 3.1.5 双向拍卖（续）双向拍卖（续）•比较（比较（3.1.513.1.51）与（）与（3.1.483.1.48），（），（3.1.523.1.52）与（）与（3.1.473.1.47）有：）有： (3.1.56)(3.1.55)线性策略假定下线性策略假定下的贝叶斯纳什均衡的贝叶斯纳什均衡72《博弈论及其应用》《博弈论及其应用》 （汪贤裕）博（汪贤裕）博弈论及其应用》弈论及其应用》 汪贤裕汪贤裕《《博弈论及其应用博弈论及其应用》》 汪贤裕汪贤裕73例例3.1.5 3.1.5 双向拍卖（续）双向拍卖（续） •分析在卖方和买方均采用线性策略出价时的交易效率：分析在卖方和买方均采用线性策略出价时的交易效率： 卖方和买方之间交易发生的条件是　　　　，结合（卖方和买方之间交易发生的条件是　　　　，结合（3.1. 3.1. 5555）和（）和（3.1.563.1.56）式，等价情况是：）式，等价情况是： 因此，双方采用线性策略出价的交易可能性在下图因此，双方采用线性策略出价的交易可能性在下图3.1.13.1.1中中为三角形为三角形 　。

　3.1.57)73《博弈论及其应用》《博弈论及其应用》 （汪贤裕）博（汪贤裕）博弈论及其应用》弈论及其应用》 汪贤裕汪贤裕《《博弈论及其应用博弈论及其应用》》 汪贤裕汪贤裕74例例3.1.5 3.1.5 双向拍卖（续）双向拍卖（续） 图图3.1.1 3.1.1 买方与卖方线性策略出价买方与卖方线性策略出价三角形中三角形中ABCABC的交易的交易有可能发生，而四边有可能发生，而四边形形ODBAODBA中却不发生中却不发生交易因此交易的效交易因此交易的效率为：率为：74《博弈论及其应用》《博弈论及其应用》 （汪贤裕）博（汪贤裕）博弈论及其应用》弈论及其应用》 汪贤裕汪贤裕《《博弈论及其应用博弈论及其应用》》 汪贤裕汪贤裕75例例3.1.5 3.1.5 双向拍卖（续）双向拍卖（续）•这里介绍的是线性策略出价，也有其他更复杂的出价这里介绍的是线性策略出价，也有其他更复杂的出价策略，这里不详细讨论策略，这里不详细讨论•双向拍卖模型在经济活动中有非常广泛的应用任何双向拍卖模型在经济活动中有非常广泛的应用任何一种信息不对称的双方交易都可看作是双向拍卖，既一种信息不对称的双方交易都可看作是双向拍卖，既有对实物的双向拍卖，也有对非实物的双向拍卖。

有对实物的双向拍卖，也有对非实物的双向拍卖75《博弈论及其应用》《博弈论及其应用》 （汪贤裕）博（汪贤裕）博弈论及其应用》弈论及其应用》 汪贤裕汪贤裕《《博弈论及其应用博弈论及其应用》》 汪贤裕汪贤裕76§3.2 §3.2 完全且完美信息动态博弈完全且完美信息动态博弈 §3.2.1 §3.2.1 动态博弈的特征动态博弈的特征 §3.2.2 §3.2.2 子博弈与子博弈完美纳什均衡子博弈与子博弈完美纳什均衡 §3.2.3 §3.2.3 完全且完美信息的动态博弈的案例完全且完美信息的动态博弈的案例 §3.2.4 §3.2.4 完全不完美信息的两阶段博弈完全不完美信息的两阶段博弈76《博弈论及其应用》《博弈论及其应用》 （汪贤裕）博（汪贤裕）博弈论及其应用》弈论及其应用》 汪贤裕汪贤裕《《博弈论及其应用博弈论及其应用》》 汪贤裕汪贤裕77§3.2.1 §3.2.1 动态博弈的特征动态博弈的特征 ※ ※ 动态博弈的特征动态博弈的特征 ※ ※ 纳什均衡的可信性与不可信性纳什均衡的可信性与不可信性77《博弈论及其应用》《博弈论及其应用》 （汪贤裕）博（汪贤裕）博弈论及其应用》弈论及其应用》 汪贤裕汪贤裕《《博弈论及其应用博弈论及其应用》》 汪贤裕汪贤裕78 动态博弈的特征动态博弈的特征动态博弈有以下区别于静态博弈的特征动态博弈有以下区别于静态博弈的特征 ：： 1. 1. 阶段阶段 2. 2. 行动与策略行动与策略 3. 3. 行动组合和策略组合行动组合和策略组合 4. 4. 收益函数收益函数 5. 5. 信息信息 6. “6. “自然自然”” （本节中是完全且完美信息，故不考虑（本节中是完全且完美信息，故不考虑““自然自然””。

78《博弈论及其应用》《博弈论及其应用》 （汪贤裕）博（汪贤裕）博弈论及其应用》弈论及其应用》 汪贤裕汪贤裕《《博弈论及其应用博弈论及其应用》》 汪贤裕汪贤裕79 动态博弈的特征动态博弈的特征 二人取数游戏二人取数游戏 游戏分三步：（游戏分三步：（1 1）局中人）局中人1 1在在{0{0，，1}1}中取一个数记为中取一个数记为 ，，并告知局中人并告知局中人2 2；（；（2 2）局中人）局中人2 2也在也在{0{0，，1}1}中取一个数记为中取一个数记为 ，， 但不告知局中人但不告知局中人1 1；（；（3 3）局中人）局中人1 1再次取数，若局中人再次取数，若局中人1 1在第一步在第一步中取中取0 0，则可在，则可在{0{0，，1}1}中取一个数，若局中人中取一个数，若局中人1 1在第一步中取在第一步中取1 1，，则可以在则可以在{0{0，，1 1，，2}2}中取一个数，记第三步局中人中取一个数，记第三步局中人1 1取得数为取得数为 三步后取数结束现记三步后取数结束现记 若 S S 为偶数，则局中人为偶数，则局中人1 1赢赢 S S记分点，局中人记分点，局中人2 2输输 S S 记分点。

若记分点若S S 为奇数，则局中人为奇数，则局中人1 1输输 S S记分点，局中人记分点，局中人2 2赢赢 S S 记分点 在这个游戏中，两个局中人各自采取什么行动？若你参加，在这个游戏中，两个局中人各自采取什么行动？若你参加，你愿意当局中人你愿意当局中人1 1还是局中人还是局中人2 2 79《博弈论及其应用》《博弈论及其应用》 （汪贤裕）博（汪贤裕）博弈论及其应用》弈论及其应用》 汪贤裕汪贤裕《《博弈论及其应用博弈论及其应用》》 汪贤裕汪贤裕80 动态博弈的特征动态博弈的特征二人取数游戏经过简单计算，可以用下面的树形图表示：二人取数游戏经过简单计算，可以用下面的树形图表示：80《博弈论及其应用》《博弈论及其应用》 （汪贤裕）博（汪贤裕）博弈论及其应用》弈论及其应用》 汪贤裕汪贤裕《《博弈论及其应用博弈论及其应用》》 汪贤裕汪贤裕81 动态博弈的特征动态博弈的特征 ————阶段和行动顺序阶段和行动顺序• 动态博弈中，局中人是依照一定的约定规则依次进动态博弈中，局中人是依照一定的约定规则依次进行行动。

每个阶段至少有一个局中人要进行行动的，行行动每个阶段至少有一个局中人要进行行动的，这里允许一个阶段中有多人行动（可见这里允许一个阶段中有多人行动（可见§ 3.2.3§ 3.2.3中中的两阶段博弈）在二人取数的两阶段博弈）在二人取数 游戏中有三个阶段，分别有局中人游戏中有三个阶段，分别有局中人 1 1或局中人或局中人2 2行动81《博弈论及其应用》《博弈论及其应用》 （汪贤裕）博（汪贤裕）博弈论及其应用》弈论及其应用》 汪贤裕汪贤裕《《博弈论及其应用博弈论及其应用》》 汪贤裕汪贤裕82 动态博弈的特征动态博弈的特征 ————行动与策略行动与策略•局中人行动集一般记为局中人行动集一般记为 在不同的状态下和不同的在不同的状态下和不同的阶段，局中人的行动集可能不一样阶段，局中人的行动集可能不一样 •动态博弈的策略是指局中人在这个博弈前对自己各阶段动态博弈的策略是指局中人在这个博弈前对自己各阶段行动的一个计划行动的一个计划 •在静态博弈中，只有一个阶段，局中人的策略集与行动在静态博弈中，只有一个阶段，局中人的策略集与行动集是一致的。

但动态博弈中策略集与行动集是不同的集是一致的但动态博弈中策略集与行动集是不同的82《博弈论及其应用》《博弈论及其应用》 （汪贤裕）博（汪贤裕）博弈论及其应用》弈论及其应用》 汪贤裕汪贤裕《《博弈论及其应用博弈论及其应用》》 汪贤裕汪贤裕83 动态博弈的特征动态博弈的特征 ————行动组合和策略组合行动组合和策略组合 •动态博弈中，每个局中人在每个阶段选出一个行动构成动态博弈中，每个局中人在每个阶段选出一个行动构成一个行动组合一个行动组合•每个局中人出一个策略则构成策略组合每个局中人出一个策略则构成策略组合•行动组合是策略组合的一种行动组合是策略组合的一种 “ “精炼精炼””的表述行动组合的表述行动组合 的个数小于策略组合的个数的个数小于策略组合的个数83《博弈论及其应用》《博弈论及其应用》 （汪贤裕）博（汪贤裕）博弈论及其应用》弈论及其应用》 汪贤裕汪贤裕《《博弈论及其应用博弈论及其应用》》 汪贤裕汪贤裕84 动态博弈的特征动态博弈的特征 ————收益函数收益函数•在动态博弈中，为了分析方便，局中人的收益函数是所在动态博弈中，为了分析方便，局中人的收益函数是所有行动组合到实数集的映射。

如果博弈的局中人为有行动组合到实数集的映射如果博弈的局中人为n n个个人，则每个行动组合对应一个人，则每个行动组合对应一个n n维实数向量但若动态维实数向量但若动态博弈是用策略式表示，其收益函数博弈是用策略式表示，其收益函数 仍是策略组合到实数集的映射仍是策略组合到实数集的映射•在完全信息动态博弈中，博弈的在完全信息动态博弈中，博弈的 收益函数是一个共同知识收益函数是一个共同知识84《博弈论及其应用》《博弈论及其应用》 （汪贤裕）博（汪贤裕）博弈论及其应用》弈论及其应用》 汪贤裕汪贤裕《《博弈论及其应用博弈论及其应用》》 汪贤裕汪贤裕85 动态博弈的特征动态博弈的特征 ————信息信息•在动态博弈中，当每个局中人行动时，它对此前各局中在动态博弈中，当每个局中人行动时，它对此前各局中人的行动组合是完全了解和知道的，称为人的行动组合是完全了解和知道的，称为有完美信息有完美信息博博弈，反之，则称为弈，反之，则称为不完美信息不完美信息博弈•在取数游戏中的博弈是不完美信息博弈在取数游戏中的博弈是不完美信息博弈85《博弈论及其应用》《博弈论及其应用》 （汪贤裕）博（汪贤裕）博弈论及其应用》弈论及其应用》 汪贤裕汪贤裕《《博弈论及其应用博弈论及其应用》》 汪贤裕汪贤裕86 纳什均衡的可信性与不可信性纳什均衡的可信性与不可信性例例3.2.1 3.2.1 借债与还债问题借债与还债问题 该博弈有三个阶段：该博弈有三个阶段：（（1 1）局中）局中人人2 2向局中向局中人人1 1借款借款2 2万万元，并承诺元，并承诺一年后还连一年后还连本带息共本带息共3 3万元。

局中万元局中人人1 1面临借面临借还是不借钱还是不借钱给局中人给局中人2 23 3）这）这时局中人时局中人1 1是将局是将局中人中人2 2告告上法庭还上法庭还是不告上是不告上法庭2 2）局中）局中人人2 2靠这笔靠这笔钱共赚到钱共赚到4 4万元他面临着到面临着到底履行诺底履行诺言还是不言还是不履行诺言履行诺言借借不不博弈结博弈结束，收束，收益见表益见表3.2.13.2.1在这个博弈中，局中人在这个博弈中，局中人1 1和局中人和局中人2 2分别应采取什么策略呢？分别应采取什么策略呢？86《博弈论及其应用》《博弈论及其应用》 （汪贤裕）博（汪贤裕）博弈论及其应用》弈论及其应用》 汪贤裕汪贤裕《《博弈论及其应用博弈论及其应用》》 汪贤裕汪贤裕87 纳什均衡的可信性与不可信性纳什均衡的可信性与不可信性这是一个这是一个完全且完美信息的动态博弈完全且完美信息的动态博弈该博弈用规范式表示为：该博弈用规范式表示为： 用第二章的划线法可知，有三个纯策略纳什均衡（这里暂不考虑用第二章的划线法可知，有三个纯策略纳什均衡（这里暂不考虑混合策略），分别是（（借，上告），履行诺言），（（不借，混合策略），分别是（（借，上告），履行诺言），（（不借，上告），不履行诺言），（（不借，不告），不履行诺言）。

上告），不履行诺言），（（不借，不告），不履行诺言）87《博弈论及其应用》《博弈论及其应用》 （汪贤裕）博（汪贤裕）博弈论及其应用》弈论及其应用》 汪贤裕汪贤裕《《博弈论及其应用博弈论及其应用》》 汪贤裕汪贤裕88 纳什均衡的可信性与不可信性纳什均衡的可信性与不可信性下面对这三个纯策略纳什均衡下面对这三个纯策略纳什均衡可信性和不可信性进行分析可信性和不可信性进行分析•为了可以有更直观的认识，为了可以有更直观的认识，其扩展式如右所示：其扩展式如右所示：•显然，纳什均衡（（不借，上告），不履行诺言）和（（不借，显然，纳什均衡（（不借，上告），不履行诺言）和（（不借，不告），不履行诺言）是不告），不履行诺言）是不可信任不可信任的纳什均衡的纳什均衡图图3.2.1 3.2.1 借债与还债博弈扩展式借债与还债博弈扩展式在动态博弈中，采用静态博弈的方法求出来在动态博弈中，采用静态博弈的方法求出来的纳什均衡，并不一定是可信的的纳什均衡，并不一定是可信的88《博弈论及其应用》《博弈论及其应用》 （汪贤裕）博（汪贤裕）博弈论及其应用》弈论及其应用》 汪贤裕汪贤裕《《博弈论及其应用博弈论及其应用》》 汪贤裕汪贤裕89§3.2.2 §3.2.2 子博弈与子博弈完美纳什均衡子博弈与子博弈完美纳什均衡 ※ ※ 动态博弈的扩展型表述动态博弈的扩展型表述 ※ ※ 子博弈与子博弈完美纳什均衡子博弈与子博弈完美纳什均衡 ※ ※ 子博弈完美纳什均衡的逆向归纳法子博弈完美纳什均衡的逆向归纳法89《博弈论及其应用》《博弈论及其应用》 （汪贤裕）博（汪贤裕）博弈论及其应用》弈论及其应用》 汪贤裕汪贤裕《《博弈论及其应用博弈论及其应用》》 汪贤裕汪贤裕90 动态博弈的扩展型表述动态博弈的扩展型表述定义定义3.2.1 3.2.1 一个一个动态博弈的扩展式动态博弈的扩展式包括：包括：•（（1 1）博弈中的）博弈中的局中人局中人，必要时包括，必要时包括““自然自然””局中人；局中人；•（（2 2）局中人的）局中人的行动顺序行动顺序；；•（（3 3）局中人的）局中人的行为空间行为空间，若，若““自然自然””局中人的行动，即它赋予局中人的行动，即它赋予其它局中人不同类型，则同时应给出不同行动的概率分布；其它局中人不同类型，则同时应给出不同行动的概率分布；•（（4 4）每次轮到某一局中人行动时，他所了解的）每次轮到某一局中人行动时，他所了解的信息信息；；•（（5 5）对局中人可能选择的每一行动组合相对应的各局中人的）对局中人可能选择的每一行动组合相对应的各局中人的收收益益。

（由于本节仅研究完全信息下的动态博弈，因而未考虑（由于本节仅研究完全信息下的动态博弈，因而未考虑““自然自然””对类型的赋予，以及对类型的概率分布的赋予对类型的赋予，以及对类型的概率分布的赋予 90《博弈论及其应用》《博弈论及其应用》 （汪贤裕）博（汪贤裕）博弈论及其应用》弈论及其应用》 汪贤裕汪贤裕《《博弈论及其应用博弈论及其应用》》 汪贤裕汪贤裕91 动态博弈的扩展型表述动态博弈的扩展型表述•上述定义中，（上述定义中，（2 2）、（）、（3 3）和（）和（4 4）是博弈规范式表示）是博弈规范式表示在动态博弈中的具体体现以上各要点均是在动态博弈中的具体体现以上各要点均是共同知识共同知识•本大节讨论的完全且完美信息的动态博弈，无本大节讨论的完全且完美信息的动态博弈，无““自然自然””局中人• 对于博弈的扩展式描述，我们通过对于博弈的扩展式描述，我们通过树形图树形图来表示，也来表示，也称称博弈树博弈树91《博弈论及其应用》《博弈论及其应用》 （汪贤裕）博（汪贤裕）博弈论及其应用》弈论及其应用》 汪贤裕汪贤裕《《博弈论及其应用博弈论及其应用》》 汪贤裕汪贤裕92 动态博弈的扩展型表述动态博弈的扩展型表述扩展式表示的一个例子扩展式表示的一个例子 在扩展式表示的博弈中，我们更多关心的是各局中人在阶段中的在扩展式表示的博弈中，我们更多关心的是各局中人在阶段中的 行动，因此也称其为行动，因此也称其为行为博弈行为博弈。

对应地，将使用行动、行动组合、对应地，将使用行动、行动组合、行动组合上的收益函数等概念行动组合上的收益函数等概念92《博弈论及其应用》《博弈论及其应用》 （汪贤裕）博（汪贤裕）博弈论及其应用》弈论及其应用》 汪贤裕汪贤裕《《博弈论及其应用博弈论及其应用》》 汪贤裕汪贤裕93 子博弈与子博弈完美纳什均衡子博弈与子博弈完美纳什均衡 扩展式博弈中，满足下面三个条件的博弈，称为该博弈的一个扩展式博弈中，满足下面三个条件的博弈，称为该博弈的一个子博弈子博弈：：（（1 1）始于）始于单结点信息集单结点信息集的决策结点的决策结点n(n(但不包括博弈的第一个决策但不包括博弈的第一个决策结点结点) )；；（（2 2）包含博弈树中）包含博弈树中n n之下之下所有的决策结点和终结点所有的决策结点和终结点( (但不在但不在n n下面的下面的除外除外) )；；（（3 3））没有对任何信息集形成分割没有对任何信息集形成分割即如果博弈树中即如果博弈树中n n之下有一个之下有一个决策结点决策结点n′n′，则和，则和n′n′处于同一信息集的其他决策结点也必须在处于同一信息集的其他决策结点也必须在n n之下，从而也必须包含于该子博弈中。

之下，从而也必须包含于该子博弈中) )93《博弈论及其应用》《博弈论及其应用》 （汪贤裕）博（汪贤裕）博弈论及其应用》弈论及其应用》 汪贤裕汪贤裕《《博弈论及其应用博弈论及其应用》》 汪贤裕汪贤裕94 子博弈与子博弈完美纳什均衡子博弈与子博弈完美纳什均衡 该博弈只有一该博弈只有一个子博弈，它个子博弈，它始于局中人始于局中人1 1选择选择R R，局中，局中人人2 2选择选择R′R′之之后局中人后局中人3 3最最右边一个决策右边一个决策点图图3.2.3 3.2.3 存在着信息集分割的博弈树存在着信息集分割的博弈树94《博弈论及其应用》《博弈论及其应用》 （汪贤裕）博（汪贤裕）博弈论及其应用》弈论及其应用》 汪贤裕汪贤裕《《博弈论及其应用博弈论及其应用》》 汪贤裕汪贤裕95 子博弈与子博弈完美纳什均衡子博弈与子博弈完美纳什均衡定义定义3.2.33.2.3 在完全且完美信息动态博弈中，如果局中人的策略组在完全且完美信息动态博弈中，如果局中人的策略组合或行动组合在其每一个子博弈中都构成了纳什均衡，合或行动组合在其每一个子博弈中都构成了纳什均衡，则称纳什均衡是则称纳什均衡是子博弈精炼子博弈精炼的，并称为原博弈的的，并称为原博弈的子博子博弈完美纳什均衡弈完美纳什均衡。

95《博弈论及其应用》《博弈论及其应用》 （汪贤裕）博（汪贤裕）博弈论及其应用》弈论及其应用》 汪贤裕汪贤裕《《博弈论及其应用博弈论及其应用》》 汪贤裕汪贤裕96 子博弈与子博弈完美纳什均衡子博弈与子博弈完美纳什均衡子博弈完美纳什均衡两点说明：子博弈完美纳什均衡两点说明：•关于行动组合的纳什均衡未直接给出定义行动组合的纳什关于行动组合的纳什均衡未直接给出定义行动组合的纳什均衡和策略组合的纳什均衡没有本质差异动态博弈既可以均衡和策略组合的纳什均衡没有本质差异动态博弈既可以用用策略式策略式表示也可以用表示也可以用扩展式扩展式表示，因此该定义中既包含表示，因此该定义中既包含策策略组合略组合又包含又包含行动组合行动组合•关于在每一个子博弈中构成纳什均衡未直接给出定义子博关于在每一个子博弈中构成纳什均衡未直接给出定义子博弈所组成的纳什均衡是原博弈某个行动组合的纳什均衡的一弈所组成的纳什均衡是原博弈某个行动组合的纳什均衡的一个子集；原博弈该行动组合的纳什均衡为个子集；原博弈该行动组合的纳什均衡为子博弈完美纳什均子博弈完美纳什均衡衡96《博弈论及其应用》《博弈论及其应用》 （汪贤裕）博（汪贤裕）博弈论及其应用》弈论及其应用》 汪贤裕汪贤裕《《博弈论及其应用博弈论及其应用》》 汪贤裕汪贤裕97 子博弈完美纳什均衡的逆向归纳法子博弈完美纳什均衡的逆向归纳法完全且完美信息动态博弈的主要特点：完全且完美信息动态博弈的主要特点：•行动是顺序发生的；行动是顺序发生的；•下一步行动选择之前，所有以前的行动都可以被观下一步行动选择之前，所有以前的行动都可以被观察到；察到；•每个可能的行动组合下局中人的收益是共同知识。

每个可能的行动组合下局中人的收益是共同知识97《博弈论及其应用》《博弈论及其应用》 （汪贤裕）博（汪贤裕）博弈论及其应用》弈论及其应用》 汪贤裕汪贤裕《《博弈论及其应用博弈论及其应用》》 汪贤裕汪贤裕98 子博弈完美纳什均衡的逆向归纳法子博弈完美纳什均衡的逆向归纳法 我们对这类动态博弈只有两阶段时进行讨论这时的博弈为：我们对这类动态博弈只有两阶段时进行讨论这时的博弈为：•局中人局中人1 1从可行集从可行集 中选择一个行动中选择一个行动 ；；•局中人局中人2 2观察到观察到 之后从可行集之后从可行集 中选择一个行动中选择一个行动 ；；•两人的收益分别为两人的收益分别为 和和 98《博弈论及其应用》《博弈论及其应用》 （汪贤裕）博（汪贤裕）博弈论及其应用》弈论及其应用》 汪贤裕汪贤裕《《博弈论及其应用博弈论及其应用》》 汪贤裕汪贤裕99子博弈完美纳什均衡的逆向归纳法子博弈完美纳什均衡的逆向归纳法使用逆向归纳法求解此类博弈问题。

使用逆向归纳法求解此类博弈问题•第二阶段局中人第二阶段局中人2 2面临的决策：面临的决策： 是局中人是局中人2 2对局中人对局中人1 1的行动的最优反应的行动的最优反应•第一阶段局中人第一阶段局中人1 1面临的决策：面临的决策： 是局中人是局中人1 1的最有策略的最有策略将将 带入带入 ，称，称 是这个博弈的逆向归纳解是这个博弈的逆向归纳解99《博弈论及其应用》《博弈论及其应用》 （汪贤裕）博（汪贤裕）博弈论及其应用》弈论及其应用》 汪贤裕汪贤裕《《博弈论及其应用博弈论及其应用》》 汪贤裕汪贤裕100§3.2.3 §3.2.3 完全且完美信息的完全且完美信息的 动态博弈的案例动态博弈的案例 ※ ※ 例例3.2.2 3.2.2 斯塔克尔贝格双寡头竞争模型斯塔克尔贝格双寡头竞争模型 ※ ※ 例例3.2.3 3.2.3 劳资博弈劳资博弈 ※ ※ 例例3.2.4 3.2.4 序贯谈判序贯谈判 ※ ※ 例例3.2.5 3.2.5 制造商与销售商的博弈制造商与销售商的博弈 ※ ※ 例例3.2.6 3.2.6 承包基数博弈承包基数博弈100《博弈论及其应用》《博弈论及其应用》 （汪贤裕）博（汪贤裕）博弈论及其应用》弈论及其应用》 汪贤裕汪贤裕《《博弈论及其应用博弈论及其应用》》 汪贤裕汪贤裕101例例3.2.2 3.2.2 斯塔克尔贝格双寡头竞争模型斯塔克尔贝格双寡头竞争模型 斯塔克尔贝格（斯塔克尔贝格（StackelbergStackelberg，，19341934）提出了双寡头垄断的动态模）提出了双寡头垄断的动态模型，其中一个支配企业（领导者）首先行动，然后从属企业（追随型，其中一个支配企业（领导者）首先行动，然后从属企业（追随者）行动。

根据斯塔克尔贝格的假定，模型中企业分先后选择其产者）行动根据斯塔克尔贝格的假定，模型中企业分先后选择其产量 在这个博弈中，首先，企业在这个博弈中，首先，企业1 1选择产量选择产量 ；然后，企业；然后，企业2 2可以观可以观测到测到 ，并选择产量，并选择产量 ；此时，企业；此时，企业 的收益函数为：的收益函数为： 这里这里 是市场上总产量，是市场上总产量， 是市场出清价格，是市场出清价格，c c 是生产的边际成本，为一常数（令固定成本为是生产的边际成本，为一常数（令固定成本为0 0）101《博弈论及其应用》《博弈论及其应用》 （汪贤裕）博（汪贤裕）博弈论及其应用》弈论及其应用》 汪贤裕汪贤裕《《博弈论及其应用博弈论及其应用》》 汪贤裕汪贤裕102例例3.2.2 3.2.2 斯塔克尔贝格双寡头竞争模型斯塔克尔贝格双寡头竞争模型 该博弈是完全且完美信息两阶段博弈，逆向归纳法求解该博弈是完全且完美信息两阶段博弈，逆向归纳法求解。

• 假设企业假设企业1 1有产量有产量 ，我们首先计算企业，我们首先计算企业2 2对企业对企业1 1任意产量的任意产量的最优反应最优反应 应满足应满足 102《博弈论及其应用》《博弈论及其应用》 （汪贤裕）博（汪贤裕）博弈论及其应用》弈论及其应用》 汪贤裕汪贤裕《《博弈论及其应用博弈论及其应用》》 汪贤裕汪贤裕103例例3.2.2 3.2.2 斯塔克尔贝格双寡头竞争模型斯塔克尔贝格双寡头竞争模型•由于企业由于企业1 1考虑到当它产量为考虑到当它产量为 时，企业时，企业2 2的最优反应为的最优反应为 ，则在博弈的第一阶段，企业，则在博弈的第一阶段，企业1 1的问题可表示为的问题可表示为 由上式可得由上式可得 及及 是斯塔克尔贝格双寡头垄断博弈的逆向归纳解，也是该是斯塔克尔贝格双寡头垄断博弈的逆向归纳解，也是该博弈的子博弈完美纳什均衡。

博弈的子博弈完美纳什均衡103《博弈论及其应用》《博弈论及其应用》 （汪贤裕）博（汪贤裕）博弈论及其应用》弈论及其应用》 汪贤裕汪贤裕《《博弈论及其应用博弈论及其应用》》 汪贤裕汪贤裕104 例例3.2.3 3.2.3 劳资博弈劳资博弈 在里昂惕夫在里昂惕夫(1946)(1946)模型中，讨论了一个企业主和一个垄断的工会模型中，讨论了一个企业主和一个垄断的工会组织组织( (即作为企业劳动力惟一供给者的工会组织即作为企业劳动力惟一供给者的工会组织) )的相互关系：工的相互关系：工会对工人的工资水平提出要求，但企业主却可以自主决定就业人会对工人的工资水平提出要求，但企业主却可以自主决定就业人数 工会的效用函数为工会的效用函数为 ，其中，其中 为工会向企业提出的工资水为工会向企业提出的工资水平；平； 为就业人数假定为就业人数假定 是是 和和 的增函数企业主的增函数企业主的利润函数为的利润函数为 为企业雇佣为企业雇佣 名工人可以取得的收入名工人可以取得的收入( (在最优的生产和产品市场决策下在最优的生产和产品市场决策下) )，假定，假定 是增函数，并且为凹函数是增函数，并且为凹函数(concave)(concave)。

104《博弈论及其应用》《博弈论及其应用》 （汪贤裕）博（汪贤裕）博弈论及其应用》弈论及其应用》 汪贤裕汪贤裕《《博弈论及其应用博弈论及其应用》》 汪贤裕汪贤裕105 例例3.2.3 3.2.3 劳资博弈劳资博弈 假定假定博弈的时序博弈的时序为：为：(1)(1)工会提出需要的工资水平；工会提出需要的工资水平；(2)(2)企业主得到工会要求工资企业主得到工会要求工资 后，选择雇佣人数后，选择雇佣人数 ；； (3)(3)收益分别为收益分别为 和和 那么，工会要提出什么样的工资要求，而企业主又应雇用多少工那么，工会要提出什么样的工资要求，而企业主又应雇用多少工人？人？ 因为没有假定因为没有假定 和和 的具体的表达式，从而无法明的具体的表达式，从而无法明确解出该博弈的子博弈完美纳什均衡的表达式，我们只对解的主确解出该博弈的子博弈完美纳什均衡的表达式，我们只对解的主要特征进行讨论要特征进行讨论105《博弈论及其应用》《博弈论及其应用》 （汪贤裕）博（汪贤裕）博弈论及其应用》弈论及其应用》 汪贤裕汪贤裕《《博弈论及其应用博弈论及其应用》》 汪贤裕汪贤裕106 例例3.2.3 3.2.3 劳资博弈劳资博弈•首先，对工会在第一阶段提出的任意一个工资水平首先，对工会在第一阶段提出的任意一个工资水平 ，我们能，我们能够分析在第二阶段企业主最优反应够分析在第二阶段企业主最优反应 的特征。

给定的特征给定 ，企，企业选择业选择 满足下式：满足下式： 一阶条件为一阶条件为 （3.2.1）为保证为保证 有解，假定有解，假定 且且 ，，如右图所示如右图所示 106《博弈论及其应用》《博弈论及其应用》 （汪贤裕）博（汪贤裕）博弈论及其应用》弈论及其应用》 汪贤裕汪贤裕《《博弈论及其应用博弈论及其应用》》 汪贤裕汪贤裕107 例例3.2.3 3.2.3 劳资博弈劳资博弈•对（对（3.2.13.2.1）式，可以将）式，可以将 表示为表示为 的函数从图中可见，的函数从图中可见，当工资要求越高，当工资要求越高， 时，企业主雇用工人会减少，时，企业主雇用工人会减少， 。

•若若 ，从上面一阶条件有，从上面一阶条件有 对此式再对此式再对对 求导，有：求导，有： 由前面假设，由前面假设， 是是 的凹函数，即的凹函数，即 ，则必有：，则必有： 107《博弈论及其应用》《博弈论及其应用》 （汪贤裕）博（汪贤裕）博弈论及其应用》弈论及其应用》 汪贤裕汪贤裕《《博弈论及其应用博弈论及其应用》》 汪贤裕汪贤裕108例例3.2.3 3.2.3 劳资博弈劳资博弈•工会在第一阶段的问题可以表示为工会在第一阶段的问题可以表示为 （3.2.2） 求解（求解（3.2.23.2.2）式，由一阶条件有）式，由一阶条件有 （3.2.3）•由前面假设，由前面假设， 是是 的增函数，于是可以求出工会提出的增函数，于是可以求出工会提出的工资水平的工资水平 ，进而可由，进而可由 求出企业主对雇用工人的求出企业主对雇用工人的人数人数 。

108《博弈论及其应用》《博弈论及其应用》 （汪贤裕）博（汪贤裕）博弈论及其应用》弈论及其应用》 汪贤裕汪贤裕《《博弈论及其应用博弈论及其应用》》 汪贤裕汪贤裕109 例例3.2.4 3.2.4 序贯谈判序贯谈判我们首先分析一个三阶段谈判模型其博弈顺序的详细描述为：我们首先分析一个三阶段谈判模型其博弈顺序的详细描述为：（（1a1a）在第一阶段开始时，局中人）在第一阶段开始时，局中人1 1建议他分走建议他分走1 1美元的美元的 ，留给，留给局中人局中人2 2的份额为的份额为 ；；（（1b1b）局中人）局中人2 2或者接受这一条件（这种情况下，博弈结束，局中或者接受这一条件（这种情况下，博弈结束，局中人人1 1的收益为的收益为 ，局中人，局中人2 2的收益为的收益为 , ,都可立刻拿到），或者都可立刻拿到），或者拒绝这一条件（这种情况下，博弈将继续进行，进入第二阶段）；拒绝这一条件（这种情况下，博弈将继续进行，进入第二阶段）；109《博弈论及其应用》《博弈论及其应用》 （汪贤裕）博（汪贤裕）博弈论及其应用》弈论及其应用》 汪贤裕汪贤裕《《博弈论及其应用博弈论及其应用》》 汪贤裕汪贤裕110 例例3.2.4 3.2.4 序贯谈判序贯谈判（（2a2a）在第二阶段的开始，局中人）在第二阶段的开始，局中人2 2提议局中人提议局中人1 1分得分得1 1美元的美元的 ，留给局中人，留给局中人2 2的份额为的份额为 。

考虑收益的时间价值，每期的考虑收益的时间价值，每期的贴现因子为贴现因子为 ，， 实际上第二阶段局中人实际上第二阶段局中人1 1可得的收益可得的收益为为 ，局中人，局中人2 2可得的收益为可得的收益为 2b2b）局中人）局中人1 1或者接受条件（这种情况下，博弈结束，局中人或者接受条件（这种情况下，博弈结束，局中人1 1的收益的收益 和局中人和局中人2 2的收益的收益 都可立刻拿到），或者拒绝这都可立刻拿到），或者拒绝这一条件（这种情况下，博弈继续进行，进入第三阶段）；一条件（这种情况下，博弈继续进行，进入第三阶段）；110《博弈论及其应用》《博弈论及其应用》 （汪贤裕）博（汪贤裕）博弈论及其应用》弈论及其应用》 汪贤裕汪贤裕《《博弈论及其应用博弈论及其应用》》 汪贤裕汪贤裕111 例例3.2.4 3.2.4 序贯谈判序贯谈判（（3 3）在第三阶段的开始，局中人）在第三阶段的开始，局中人1 1提出局中人提出局中人1 1得到得到1 1美元的美元的 ，局，局中人中人2 2得到得到 ，， ，局中人，局中人2 2必须接受。

同样考虑收益的时必须接受同样考虑收益的时间价值，此时局中人间价值，此时局中人1 1实际上得到收益实际上得到收益 ，局中人，局中人2 2可得的收益为可得的收益为 这时，局中人这时，局中人2 2无提出新的分配方案的权利博弈结束无提出新的分配方案的权利博弈结束 下面，我们就三阶段谈判博弈分析并讨论其子博弈完美纳什均下面，我们就三阶段谈判博弈分析并讨论其子博弈完美纳什均衡111《博弈论及其应用》《博弈论及其应用》 （汪贤裕）博（汪贤裕）博弈论及其应用》弈论及其应用》 汪贤裕汪贤裕《《博弈论及其应用博弈论及其应用》》 汪贤裕汪贤裕112 例例3.2.4 3.2.4 序贯谈判序贯谈判该博弈的扩展型如下：该博弈的扩展型如下：图图3.2.7 3.2.7 序贯谈判示意图序贯谈判示意图112《博弈论及其应用》《博弈论及其应用》 （汪贤裕）博（汪贤裕）博弈论及其应用》弈论及其应用》 汪贤裕汪贤裕《《博弈论及其应用博弈论及其应用》》 汪贤裕汪贤裕113 例例3.2.4 3.2.4 序贯谈判序贯谈判 按照逆向归纳法的思想，我们从第三阶段逐步逆向倒推。

按照逆向归纳法的思想，我们从第三阶段逐步逆向倒推 第三阶段，第三阶段，局中人局中人1 1出任何价，局中人出任何价，局中人2 2都必须接受双方收益都必须接受双方收益各为各为 和和 一般来说，局中人一般来说，局中人1 1会出价会出价 ，则局中，则局中人人2 2所得为所得为0 0 第二阶段，第二阶段，局中人局中人2 2出价出价 ，但必须让局中人，但必须让局中人1 1接受接受, ,但也没有但也没有必要让局中人必要让局中人1 1获得更多，因此局中人获得更多，因此局中人2 2的出价应满足的出价应满足 ，并，并取等号，即出价取等号，即出价 在这种出价下，局中人在这种出价下，局中人2 2所得比进入第三阶段好，因为所得比进入第三阶段好，因为: :113《博弈论及其应用》《博弈论及其应用》 （汪贤裕）博（汪贤裕）博弈论及其应用》弈论及其应用》 汪贤裕汪贤裕《《博弈论及其应用博弈论及其应用》》 汪贤裕汪贤裕114 例例3.2.4 3.2.4 序贯谈判序贯谈判 第一阶段，第一阶段，局中人局中人1 1出价出价 ，但必须让局中人，但必须让局中人2 2接受接受, ,但没有但没有必要让局中人必要让局中人2 2获得更多。

因此，局中人获得更多因此，局中人1 1的出价应满足的出价应满足 ，并取等号考虑到，并取等号考虑到 ，则出价为，则出价为 在这种出价下，局中人在这种出价下，局中人1 1所得比进入到第二阶段好所得比进入到第二阶段好, ,因为因为 114《博弈论及其应用》《博弈论及其应用》 （汪贤裕）博（汪贤裕）博弈论及其应用》弈论及其应用》 汪贤裕汪贤裕《《博弈论及其应用博弈论及其应用》》 汪贤裕汪贤裕115 例例3.2.4 3.2.4 序贯谈判序贯谈判 该博弈的逆向归纳解为：第一阶段局中人该博弈的逆向归纳解为：第一阶段局中人1 1出价出价 ，局中，局中人人2 2接受，对方的收益分别为接受，对方的收益分别为 和和 。

图图3.2.8 3.2.8 局中人局中人1 1的收益与贴现的关系的收益与贴现的关系据左图可知，当据左图可知，当 时，局中人时，局中人1 1的收入最的收入最少少 115《博弈论及其应用》《博弈论及其应用》 （汪贤裕）博（汪贤裕）博弈论及其应用》弈论及其应用》 汪贤裕汪贤裕《《博弈论及其应用博弈论及其应用》》 汪贤裕汪贤裕116 例例3.2.4 3.2.4 序贯谈判序贯谈判 接下来，我们将这种谈判问题可扩展到有无限个阶段，即只要接下来，我们将这种谈判问题可扩展到有无限个阶段，即只要有局中人拒绝，博弈就可以一直进行下去有局中人拒绝，博弈就可以一直进行下去 具体讲，博弈的顺序为：奇数阶段由局中人具体讲，博弈的顺序为：奇数阶段由局中人1 1出价出价 ，局中，局中人人2 2面对出价面对出价 决定接受还是不接受；在偶数阶段，由局中人决定接受还是不接受；在偶数阶段，由局中人2 2出价出价 ，局中人，局中人1 1面对面对 ，决定接受还是不接受。

若在任何一种，决定接受还是不接受若在任何一种情况下，有局中人对对方的出价接受，博弈中止情况下，有局中人对对方的出价接受，博弈中止 这时我们看到，由于没有一个最后回合作为逆向归纳法的起始这时我们看到，由于没有一个最后回合作为逆向归纳法的起始点，因此在有无限多阶段的动态博弈中，逆向归纳法失败点，因此在有无限多阶段的动态博弈中，逆向归纳法失败116《博弈论及其应用》《博弈论及其应用》 （汪贤裕）博（汪贤裕）博弈论及其应用》弈论及其应用》 汪贤裕汪贤裕《《博弈论及其应用博弈论及其应用》》 汪贤裕汪贤裕117 例例3.2.4 3.2.4 序贯谈判序贯谈判 进一步分析，这种博弈从第一阶段开始和从第三阶段开始其本进一步分析，这种博弈从第一阶段开始和从第三阶段开始其本质是一样的质是一样的 若从第一阶段开始的无限阶段贯序谈判中，局中人若从第一阶段开始的无限阶段贯序谈判中，局中人1 1可以获得可以获得的收益为的收益为 ，那么从第三阶段开始的无限阶段贯序谈判中，局中，那么从第三阶段开始的无限阶段贯序谈判中，局中人人1 1可以获得的收益亦为可以获得的收益亦为 。

考虑上面在三阶段谈判模型中，局中考虑上面在三阶段谈判模型中，局中人人1 1在第一阶段的收益在第一阶段的收益 （即出价）与第三阶段的收益（即出价）与第三阶段的收益 （即出价）（即出价）满足满足 ，因而若令，因而若令 ，则有：，则有： ，则，则 117《博弈论及其应用》《博弈论及其应用》 （汪贤裕）博（汪贤裕）博弈论及其应用》弈论及其应用》 汪贤裕汪贤裕《《博弈论及其应用博弈论及其应用》》 汪贤裕汪贤裕118 例例3.2.4 3.2.4 序贯谈判序贯谈判 该博弈在纳什归纳解下的结果为该博弈在纳什归纳解下的结果为: : 很显然，在这种无穷阶段的谈判博弈中，先出价者具有优先权很显然，在这种无穷阶段的谈判博弈中，先出价者具有优先权并且局中人并且局中人1 1在三阶段谈判博弈中的收益比无限阶段谈判博弈中所在三阶段谈判博弈中的收益比无限阶段谈判博弈中所获更多获更多, ,因为局中人因为局中人1 1在三阶段谈判博弈中具有终止权。

在三阶段谈判博弈中具有终止权118《博弈论及其应用》《博弈论及其应用》 （汪贤裕）博（汪贤裕）博弈论及其应用》弈论及其应用》 汪贤裕汪贤裕《《博弈论及其应用博弈论及其应用》》 汪贤裕汪贤裕119 例例3.2.53.2.5　制造商与销售商的博弈　制造商与销售商的博弈 有一个由制造商和销售商组成的二级供应链，为市场提供某有一个由制造商和销售商组成的二级供应链，为市场提供某种商品，该商品的市场需求函数设为种商品，该商品的市场需求函数设为 其中 为商品为商品的价格，的价格， 为市场对商品需求数量，为市场对商品需求数量， 为一常数，其经济意义为一常数，其经济意义是商品的最高需求量制造商提供给销售商的批发价为每件是商品的最高需求量制造商提供给销售商的批发价为每件 元制造商和销售商都有不变的边际成本元制造商和销售商都有不变的边际成本 和和 制造商和销售商的博弈顺序规定如下：制造商先确定产品的制造商和销售商的博弈顺序规定如下：制造商先确定产品的批发价批发价 ，根据制造商的批发价销售商确定商品的定价，根据制造商的批发价销售商确定商品的定价 。

制造商如何确定批发价制造商如何确定批发价 ，销售商如何确定产品的销售价，销售商如何确定产品的销售价 ，以实现各自的利润最大？，以实现各自的利润最大？119《博弈论及其应用》《博弈论及其应用》 （汪贤裕）博（汪贤裕）博弈论及其应用》弈论及其应用》 汪贤裕汪贤裕《《博弈论及其应用博弈论及其应用》》 汪贤裕汪贤裕120例例3.2.53.2.5　制造商与销售商的博弈　制造商与销售商的博弈 这是一个两阶段的完全且完美信息下的动态博弈这是一个两阶段的完全且完美信息下的动态博弈 局中人局中人1 1是制造商先行动，其行动空间是是制造商先行动，其行动空间是 局中人2 2是销售商后行动，其行动空间是销售商后行动，其行动空间 两个局中人的收益函数分别是两个局中人的收益函数分别是 和和 （3.2.3） 　　　　　　 　　　 （3.2.4）120《博弈论及其应用》《博弈论及其应用》 （汪贤裕）博（汪贤裕）博弈论及其应用》弈论及其应用》 汪贤裕汪贤裕《《博弈论及其应用博弈论及其应用》》 汪贤裕汪贤裕121例例3.2.53.2.5　制造商与销售商的博弈　制造商与销售商的博弈采用逆向递推法的思想求解问题。

采用逆向递推法的思想求解问题• 销售商定价应满足：销售商定价应满足： 即即 　　　　　　　　 （3.2.5）• 制造商知道销售商将采用（制造商知道销售商将采用（3.2.53.2.5）式的定价策略，则他的定价）式的定价策略，则他的定价应满足应满足: :121《博弈论及其应用》《博弈论及其应用》 （汪贤裕）博（汪贤裕）博弈论及其应用》弈论及其应用》 汪贤裕汪贤裕《《博弈论及其应用博弈论及其应用》》 汪贤裕汪贤裕122例例3.2.53.2.5　制造商与销售商的博弈　制造商与销售商的博弈 解得制造商和销售商最优定价分别为：解得制造商和销售商最优定价分别为： 制造商和销售商最大利润分别为：制造商和销售商最大利润分别为：122《博弈论及其应用》《博弈论及其应用》 （汪贤裕）博（汪贤裕）博弈论及其应用》弈论及其应用》 汪贤裕汪贤裕《《博弈论及其应用博弈论及其应用》》 汪贤裕汪贤裕123 例例3.2.6 3.2.6 承包基数博弈承包基数博弈•承包基数的确定过程，实际上是发包人与承包人的博弈过程。

承包基数的确定过程，实际上是发包人与承包人的博弈过程•基数确定过程中的一个难题是，委托人（指发包人或董事会）基数确定过程中的一个难题是，委托人（指发包人或董事会）从自己利益最大化角度考虑，总想提高基数；而代理人（指从自己利益最大化角度考虑，总想提高基数；而代理人（指承包人或总经理）则是为自身利益的实现总想降低基数对承包人或总经理）则是为自身利益的实现总想降低基数对方对此僵持不下，进行一系列的讨价还价方对此僵持不下，进行一系列的讨价还价123《博弈论及其应用》《博弈论及其应用》 （汪贤裕）博（汪贤裕）博弈论及其应用》弈论及其应用》 汪贤裕汪贤裕《《博弈论及其应用博弈论及其应用》》 汪贤裕汪贤裕124 例例3.2.6 3.2.6 承包基数博弈承包基数博弈 从博弈的角度分析该问题，可视为这是一个从博弈的角度分析该问题，可视为这是一个两阶段动态博弈两阶段动态博弈•在第一阶段，委托人对承包基数提出了一个要求数在第一阶段，委托人对承包基数提出了一个要求数D D和一个收益和一个收益分配方案分配方案•在第二阶段，代理人在明确基数要求数在第二阶段，代理人在明确基数要求数D D和收益分配方案后，对和收益分配方案后，对承包基数给出一个自报数承包基数给出一个自报数S S。

•两阶段完成后，进入承包期，并在承包期后按照事先规定的方案两阶段完成后，进入承包期，并在承包期后按照事先规定的方案进行收益分配进行收益分配124《博弈论及其应用》《博弈论及其应用》 （汪贤裕）博（汪贤裕）博弈论及其应用》弈论及其应用》 汪贤裕汪贤裕《《博弈论及其应用博弈论及其应用》》 汪贤裕汪贤裕125 例例3.2.6 3.2.6 承包基数博弈承包基数博弈 委托人是一个主动方，代理人是一个从动方从最终利益分配委托人是一个主动方，代理人是一个从动方从最终利益分配出发采用出发采用逆向归纳法逆向归纳法的思想进行分析：的思想进行分析：（（1 1）假定代理人实际完成的结果是）假定代理人实际完成的结果是A A，委托人会提出承包基数的要，委托人会提出承包基数的要求数求数D D，满足，满足D

时，应对代理人给以一个少报惩罚125《博弈论及其应用》《博弈论及其应用》 （汪贤裕）博（汪贤裕）博弈论及其应用》弈论及其应用》 汪贤裕汪贤裕《《博弈论及其应用博弈论及其应用》》 汪贤裕汪贤裕126 例例3.2.6 3.2.6 承包基数博弈承包基数博弈 委托人委托人在进行上述分析后，在博弈的第一阶段提出了如下基在进行上述分析后，在博弈的第一阶段提出了如下基本要求数本要求数D D和分配方案：和分配方案：（（1 1）委托人提出一个自己收益的保底要求数）委托人提出一个自己收益的保底要求数D D这个数不宜过这个数不宜过大，以使代理人有积极性去努力工作大，以使代理人有积极性去努力工作2 2）委托人与代理人共同确定承包基数）委托人与代理人共同确定承包基数C C若委托人对基数的若委托人对基数的要求数是要求数是D D，代理人对承包基数的自报数是，代理人对承包基数的自报数是S S，则：，则： 可见 是一个权重，不妨取是一个权重，不妨取 但规定合但规定合同基数同基数C C全部归委托人，也即全部归委托人，也即““基数全交基数全交””。

126《博弈论及其应用》《博弈论及其应用》 （汪贤裕）博（汪贤裕）博弈论及其应用》弈论及其应用》 汪贤裕汪贤裕《《博弈论及其应用博弈论及其应用》》 汪贤裕汪贤裕127 例例3.2.6 3.2.6 承包基数博弈承包基数博弈（（3 3）对期末实际完成数）对期末实际完成数A A超过合同基数超过合同基数C C时，超过部分以时，超过部分以 的比例的比例作为奖励给代理人，若不能完成合同基数作为奖励给代理人，若不能完成合同基数C C时，不足部分同样以时，不足部分同样以 比例由代理人补足其中比例由代理人补足其中 ，不妨取，不妨取 4 4）对期末完成数）对期末完成数A A超过代理人对承包基数的自报数超过代理人对承包基数的自报数S S时，将向代时，将向代理人收取理人收取““少报罚金少报罚金””因为自报数因为自报数S S较小时，基数合同较小时，基数合同C C也较小，也较小，损害了委托人的利益少报罚金的数量为损害了委托人的利益少报罚金的数量为 其中 ，不妨取，不妨取 127《博弈论及其应用》《博弈论及其应用》 （汪贤裕）博（汪贤裕）博弈论及其应用》弈论及其应用》 汪贤裕汪贤裕《《博弈论及其应用博弈论及其应用》》 汪贤裕汪贤裕128 例例3.2.6 3.2.6 承包基数博弈承包基数博弈•委托人在第一阶段不仅提出了承包基数的要求数委托人在第一阶段不仅提出了承包基数的要求数D D，也从（，也从（2 2）建）建立了基数合同规定，并从（立了基数合同规定，并从（3 3）的（）的（4 4）以基数合同规范了期末的）以基数合同规范了期末的双方收益分配规则。

双方收益分配规则•代理人在第二阶段如何对承包基数给出自己的自报数呢？我们从代理人在第二阶段如何对承包基数给出自己的自报数呢？我们从下面一个具体数据实例来说明下面一个具体数据实例来说明•假设委托人估计实际完成数假设委托人估计实际完成数A=80A=80，则承包基数的要求数，则承包基数的要求数D=60D=60，尚，尚有一定余地给代理人各参数值分别为：有一定余地给代理人各参数值分别为： ，， ，， 代理人策略选择和可能的结果见下表（单位万元）：代理人策略选择和可能的结果见下表（单位万元）：128《博弈论及其应用》《博弈论及其应用》 （汪贤裕）博（汪贤裕）博弈论及其应用》弈论及其应用》 汪贤裕汪贤裕《《博弈论及其应用博弈论及其应用》》 汪贤裕汪贤裕129 例例3.2.6 3.2.6 承包基数博弈承包基数博弈129《博弈论及其应用》《博弈论及其应用》 （汪贤裕）博（汪贤裕）博弈论及其应用》弈论及其应用》 汪贤裕汪贤裕《《博弈论及其应用博弈论及其应用》》 汪贤裕汪贤裕130 例例3.2.6 3.2.6 承包基数博弈承包基数博弈•根据上表从委托人的角度，通过逆向归纳法思想，对代理人收益根据上表从委托人的角度，通过逆向归纳法思想，对代理人收益已建立了一个收益函数：已建立了一个收益函数：（（3.2.83.2.8）） 因此，委托人在第一阶段因此，委托人在第一阶段对承包基数和分配方案确对承包基数和分配方案确定时，必须满足满足定时，必须满足满足 。

代理人在第二阶段时只能代理人在第二阶段时只能诚实地报出自报数诚实地报出自报数S S就是可就是可能的完成数能的完成数A A130《博弈论及其应用》《博弈论及其应用》 （汪贤裕）博（汪贤裕）博弈论及其应用》弈论及其应用》 汪贤裕汪贤裕《《博弈论及其应用博弈论及其应用》》 汪贤裕汪贤裕131例例3.2.7 3.2.7 代理工资结构确定代理工资结构确定 在企业中，企业董事会给总经理的报酬使用得更多的是在企业中，企业董事会给总经理的报酬使用得更多的是 “ “基基本工资本工资+ +业绩奖励业绩奖励””那么，基本工资和业绩奖励又应如何确定呢那么，基本工资和业绩奖励又应如何确定呢？？ 设想一个企业主派出一名部门经理去一个新地区拓展业务企设想一个企业主派出一名部门经理去一个新地区拓展业务企业主当然希望该经理要努力地去工作作为该经理，他也希望经过业主当然希望该经理要努力地去工作作为该经理，他也希望经过自己的努力工作，创造一个好的业绩但该地区人生地不熟，又有自己的努力工作，创造一个好的业绩但该地区人生地不熟，又有许多不可预见的外来因素这些不可预见的因素可能在其成功与否许多不可预见的外来因素。

这些不可预见的因素可能在其成功与否中占据重要作用作为企业主，他不知道经理是努力了还是没有努中占据重要作用作为企业主，他不知道经理是努力了还是没有努力，外来的不可预见因素是有利还是不利，只知道最后的业绩表现力，外来的不可预见因素是有利还是不利，只知道最后的业绩表现这构成了一般委托这构成了一般委托————代理关系的研究代理关系的研究131《博弈论及其应用》《博弈论及其应用》 （汪贤裕）博（汪贤裕）博弈论及其应用》弈论及其应用》 汪贤裕汪贤裕《《博弈论及其应用博弈论及其应用》》 汪贤裕汪贤裕132例例3.2.7 3.2.7 代理工资结构确定代理工资结构确定 假设该经理的努力可以度量化为假设该经理的努力可以度量化为 ，其外来不可预见因素，其外来不可预见因素为随机变量为随机变量 ，， 服从均值为服从均值为0 0，方差为，方差为 的某一分布函数的某一分布函数经理人的业绩为：经理人的业绩为： 若企业主是风险中性的，而经理人是风险规避的，有不变若企业主是风险中性的，而经理人是风险规避的，有不变的风险规避度的风险规避度 。

经理经过努力经理经过努力 以后，有一个负的努力效以后，有一个负的努力效用用 （（ 是一个正常数）是一个正常数） 企业主和经理之间进行下面所述的（委托企业主和经理之间进行下面所述的（委托————代理关系）代理关系）动态博弈其中，企业主为委托人，经理为代理人动态博弈其中，企业主为委托人，经理为代理人3.2.9)132《博弈论及其应用》《博弈论及其应用》 （汪贤裕）博（汪贤裕）博弈论及其应用》弈论及其应用》 汪贤裕汪贤裕《《博弈论及其应用博弈论及其应用》》 汪贤裕汪贤裕133例例3.2.7 3.2.7 代理工资结构确定代理工资结构确定 第一阶段第一阶段，委托人对代理人提出了一个，委托人对代理人提出了一个““基本工资基本工资+ +业绩奖业绩奖励励””的工资结构合同：的工资结构合同： 第二阶段第二阶段，代理人决定接受合同还是不接受合同代理人决定接受合同还是不接受合同 第三阶段第三阶段，代理人在接受合同后决定对工作的投入量，代理人在接受合同后决定对工作的投入量 。

在这个动态博弈中，委托人要确定的是工资结构合同中的数在这个动态博弈中，委托人要确定的是工资结构合同中的数 和和 ，而代理人要确定在接受工资合同后的努力，而代理人要确定在接受工资合同后的努力 的大小 (3.2.10)133《博弈论及其应用》《博弈论及其应用》 （汪贤裕）博（汪贤裕）博弈论及其应用》弈论及其应用》 汪贤裕汪贤裕《《博弈论及其应用博弈论及其应用》》 汪贤裕汪贤裕134例例3.2.7 3.2.7 代理工资结构确定代理工资结构确定委托人的委托人的收益函数收益函数 为：为： 期望收益为：期望收益为： 代理人的代理人的等价收益函数等价收益函数为：实际收入减去风险贴水其确定性为：实际收入减去风险贴水其确定性等价收益为：等价收益为： 设代理人的保留效用为设代理人的保留效用为 ，则代理人接受工资合同的充分条件，则代理人接受工资合同的充分条件为：为： (3.2.11)(3.2.12)(3.2.13)(3.2.14)134《博弈论及其应用》《博弈论及其应用》 （汪贤裕）博（汪贤裕）博弈论及其应用》弈论及其应用》 汪贤裕汪贤裕《《博弈论及其应用博弈论及其应用》》 汪贤裕汪贤裕135例例3.2.7 3.2.7 代理工资结构确定代理工资结构确定 下面，采用逆向归纳法思想分析该动态博弈。

下面，采用逆向归纳法思想分析该动态博弈 在第三阶段在第三阶段，代理人的努力水平选择是使，代理人的努力水平选择是使 最大化由一阶条件由一阶条件 ，即：，即： 在第二阶段在第二阶段，假定委托人给了足够的工资，以保障代理人，假定委托人给了足够的工资，以保障代理人接受工资合同同时，委托人又不会给代理人过多的报酬，只接受工资合同同时，委托人又不会给代理人过多的报酬，只需在（需在（3.2.143.2.14）式中取等号式中取等号3.2.15)135《博弈论及其应用》《博弈论及其应用》 （汪贤裕）博（汪贤裕）博弈论及其应用》弈论及其应用》 汪贤裕汪贤裕《《博弈论及其应用博弈论及其应用》》 汪贤裕汪贤裕136例例3.2.7 3.2.7 代理工资结构确定代理工资结构确定 在第一阶段在第一阶段，我们将（，我们将（3.2.143.2.14）式中取等号和（）式中取等号和（3.2.153.2.15））式都带入（式都带入（3.2.123.2.12）式，即求：）式，即求： 求解有：求解有： (3.2.16)(3.2.17)(3.2.18)(3.2.19)和和 为该博弈的逆向归纳解。

为该博弈的逆向归纳解业绩奖励业绩奖励系数系数基本工资基本工资工作投工作投入量入量136《博弈论及其应用》《博弈论及其应用》 （汪贤裕）博（汪贤裕）博弈论及其应用》弈论及其应用》 汪贤裕汪贤裕《《博弈论及其应用博弈论及其应用》》 汪贤裕汪贤裕137§3.2.3 §3.2.3 完全不完美信息的完全不完美信息的 两阶段博弈两阶段博弈 ※※ 完全不完美信息的两阶段博弈完全不完美信息的两阶段博弈 ※※ 完全不完美信息的两阶段博弈求解思完全不完美信息的两阶段博弈求解思路路 ※※ 例例3.2.8 3.2.8 关税和国际市场的不完全关税和国际市场的不完全竞争竞争137《博弈论及其应用》《博弈论及其应用》 （汪贤裕）博（汪贤裕）博弈论及其应用》弈论及其应用》 汪贤裕汪贤裕《《博弈论及其应用博弈论及其应用》》 汪贤裕汪贤裕138完全不完美信息的两阶段博弈完全不完美信息的两阶段博弈 我们将分析以下类型的简单博弈，并称其为我们将分析以下类型的简单博弈，并称其为完全非完美信息两完全非完美信息两阶段博弈阶段博弈：：Ø 第一阶段第一阶段，局中人，局中人1 1和和2 2同时从各自的可行集同时从各自的可行集 和和 中选择行动中选择行动 和和 ；；Ø第二阶段第二阶段，局中人，局中人3 3 和和4 4 观察到第一阶段的结果，并可推断出（观察到第一阶段的结果，并可推断出（ ，， ），然后同时从可行集），然后同时从可行集 和和 中选择行动中选择行动 和和 ；；Ø 两阶段结束后，每个局中人的收益为两阶段结束后，每个局中人的收益为 138《博弈论及其应用》《博弈论及其应用》 （汪贤裕）博（汪贤裕）博弈论及其应用》弈论及其应用》 汪贤裕汪贤裕《《博弈论及其应用博弈论及其应用》》 汪贤裕汪贤裕139完全不完美信息的两阶段博弈完全不完美信息的两阶段博弈 求解思路求解思路 假设博弈第一阶段有静态博弈的纳什均衡（假设博弈第一阶段有静态博弈的纳什均衡（ ，， ）。

1)1)第二阶段：局中人第二阶段：局中人3 3和局中人和局中人4 4以这一假定的纳什均衡（以这一假定的纳什均衡（ ，， ）为参数，进行二人完全）为参数，进行二人完全信息静态博弈信息静态博弈 G G2 2= =  N N2 2, ,{A{A3 3,A,A4 4}, {u}, {u3 3,u,u4 4} }   , ,其中其中 N N2 2 = = {3,4}{3,4} ，从而得到纳什均衡，从而得到纳什均衡(3.2.20) 均衡结果均衡结果 (3.2.21) （（2 2）第一阶段，局中人）第一阶段，局中人1 1和局中人和局中人2 2以（以（3.2.213.2.21）结果作为收益函数进行二人完全信息下的）结果作为收益函数进行二人完全信息下的静态博弈静态博弈G G1 1= =  N N1 1, ,{A{A1 1,A,A2 2}, {u}, {u1 1,u,u2 2} }   ，其中，其中N N1 1 = = {1 {1 , ,2} 2} ，， u u1 1,u,u2 2由（由（3.2.213.2.21）给出，）给出，从而得到纳什均衡从而得到纳什均衡 (3.2.22) 均衡结果均衡结果 : : (3.2.23) （（3 3）将（）将（3.2.223.2.22）结果代回到（）结果代回到（3.2.203.2.20）和（）和（3.2.213.2.21）中，可得该博弈的子博弈完美纳什均）中，可得该博弈的子博弈完美纳什均衡衡 和对应的均衡结果和对应的均衡结果139《博弈论及其应用》《博弈论及其应用》 （汪贤裕）博（汪贤裕）博弈论及其应用》弈论及其应用》 汪贤裕汪贤裕《《博弈论及其应用博弈论及其应用》》 汪贤裕汪贤裕140例例3.2.8 3.2.8 关税和国际市场的不完全竞争关税和国际市场的不完全竞争 考虑两个完全相同的国家，分别用表示考虑两个完全相同的国家，分别用表示 。

每个国家每个国家政府负责确定关税税率，一个企业制造产品供给本国的消费者以政府负责确定关税税率，一个企业制造产品供给本国的消费者以及出口，以及一群消费者在国内市场购买本国企业和外国企业生及出口，以及一群消费者在国内市场购买本国企业和外国企业生产的产品这里假定产的产品这里假定, ,分属两个国家的两个企业生产的是相同产分属两个国家的两个企业生产的是相同产品如果国家品如果国家 的市场上产品总量为的市场上产品总量为 ，则市场出清价格为，则市场出清价格为 国家国家 中的企业（称企业中的企业（称企业 ）为国内市场生）为国内市场生产产 并出口并出口 ，则，则 企业的边际成本都为常数企业的边际成本都为常数 （不考虑（不考虑固定成本）从而，企业固定成本）从而，企业 的总生产成本为的总生产成本为 。

另外，另外，产品出口时企业产品出口时企业 还要承担关税成本，即如果政府还要承担关税成本，即如果政府 制定的关税制定的关税税率为税率为 ，企业，企业 还要向国家还要向国家 对出口产品对出口产品 支付关税支付关税 给政府给政府 这里假定，国家这里假定，国家 将不对本国企业将不对本国企业 生产的生产的产品征收出口税产品征收出口税 140《博弈论及其应用》《博弈论及其应用》 （汪贤裕）博（汪贤裕）博弈论及其应用》弈论及其应用》 汪贤裕汪贤裕《《博弈论及其应用博弈论及其应用》》 汪贤裕汪贤裕141例例3.2.8 3.2.8 关税和国际市场的不完全竞争关税和国际市场的不完全竞争博弈的时间顺序如下：博弈的时间顺序如下：Ø第一阶段，两个政府同时选择关税税率第一阶段，两个政府同时选择关税税率 ；；Ø第二阶段，企业观察到关税税率，并同时选择其提供国内消费和第二阶段，企业观察到关税税率，并同时选择其提供国内消费和出口的产量出口的产量 和和 ；； 两个阶段结束后，企业两个阶段结束后，企业 的收益为其利润额的收益为其利润额 ，政府，政府 的收益则为本国总的的收益则为本国总的福利福利 ，其中国家，其中国家 的总福利是国家享受的消费者剩余、企业的总福利是国家享受的消费者剩余、企业 获得的利润获得的利润以及政府以及政府 从企业从企业 收取的关税收入之和，分别表示为：收取的关税收入之和，分别表示为： (3.2.24) (3.2.25) 141《博弈论及其应用》《博弈论及其应用》 （汪贤裕）博（汪贤裕）博弈论及其应用》弈论及其应用》 汪贤裕汪贤裕《《博弈论及其应用博弈论及其应用》》 汪贤裕汪贤裕142例例3.2.8 3.2.8 关税和国际市场的不完全竞争关税和国际市场的不完全竞争 下面，我们按照逆向归纳法进行对博弈的求解。

下面，我们按照逆向归纳法进行对博弈的求解1 1）假设政府已选定的税率分别为）假设政府已选定的税率分别为 ，先进行第二阶段计算，如果，先进行第二阶段计算，如果 为企业为企业1 1和和2 2的博弈的纳什均衡，对每个企业，的博弈的纳什均衡，对每个企业， 必须必须满足满足 由于由于 如（如（3.2.243.2.24）所述，）所述，则分别求一阶条件：则分别求一阶条件： …… （3.2.26）……（3.2.27）……（3.2.28）……（3.2.29）142《博弈论及其应用》《博弈论及其应用》 （汪贤裕）博（汪贤裕）博弈论及其应用》弈论及其应用》 汪贤裕汪贤裕《《博弈论及其应用博弈论及其应用》》 汪贤裕汪贤裕143例例3.2.8 3.2.8 关税和国际市场的不完全竞争关税和国际市场的不完全竞争 求解（求解（3.2.263.2.26）、（）、（3.2.273.2.27）、（）、（3.2.283.2.28）、（）、（3.2.293.2.29）组成的）组成的方程组有：方程组有： (3.2.30) (3.2.30) (3.2.31) (3.2.31) (3.2.32)(3.2.32)在上面（在上面（3.2.303.2.30）、（）、（3.2.313.2.31）、（）、（3.2.323.2.32）式中）式中 , , 。

143《博弈论及其应用》《博弈论及其应用》 （汪贤裕）博（汪贤裕）博弈论及其应用》弈论及其应用》 汪贤裕汪贤裕《《博弈论及其应用博弈论及其应用》》 汪贤裕汪贤裕144（（2 2）现进行第一阶段的博弈分析：）现进行第一阶段的博弈分析： 对对 国家，其收益函数如国家，其收益函数如（（3.2.323.2.32）式所示，求解一阶条件）式所示，求解一阶条件 （（3.2.33) 可得：可得： (3.2.34)144《博弈论及其应用》《博弈论及其应用》 （汪贤裕）博（汪贤裕）博弈论及其应用》弈论及其应用》 汪贤裕汪贤裕《《博弈论及其应用博弈论及其应用》》 汪贤裕汪贤裕145例例3.2.8 3.2.8 关税和国际市场的不完全竞争关税和国际市场的不完全竞争（（3 3）将（）将（3.2.343.2.34）式代回）式代回(3.2.30)(3.2.30)、、(3.2.31)(3.2.31)和和(3.2.32)(3.2.32)式，有该式，有该博弈的子博弈完美纳什均衡：博弈的子博弈完美纳什均衡： 以及对应的纳什均衡结果以及对应的纳什均衡结果 (3.2.36) (3.2.36) 在子博弈精炼解中，每个市场上的总量为在子博弈精炼解中，每个市场上的总量为 ，， 。

（（3.2.353.2.35））0 0关税税率关税税率145《博弈论及其应用》《博弈论及其应用》 （汪贤裕）博（汪贤裕）博弈论及其应用》弈论及其应用》 汪贤裕汪贤裕。