杨辉三角人教版七下数学.ppt

杨辉杨辉三角的奥秘及三角的奥秘及应应用用　　　　　1a 1 　　　　　　　　 1 1 　　　　　　 1 2 1 　　　　　　 1 3 3 1 　　　　　　 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 　　 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 ……………………………… 这这个表就称个表就称为为杨辉杨辉三角三角2a（a+b)1=（a+b)2=（a+b)3=（a+b)4=（a+b)5=（a+b)6= 1a+1b1a2+2ab+1b21a3+3a2b+3ab2+1b31a4+4a3b+6a2b2+4ab3+1b41a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+1b51a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+1b6 1 1 　　　　　　 1 2 1 　　　　　　 1 3 3 1 1 4 6 4 1 　　　　 　　　　 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1与二与二项项式展开系数的关系式展开系数的关系（（a+b)n 展开式的系数就是展开式的系数就是杨辉杨辉三角的第三角的第n行行3a杨辉杨辉三角三角 这样这样的二的二项项式系式系数表，早在我国南数表，早在我国南宋数学家宋数学家杨辉杨辉1261 年所著的《年所著的《详详解九解九章算法》一章算法》一书书里就里就已已经经出出现现了，在了，在这这本本书书里，里，记载记载着着类类似下面的表：似下面的表：4a杨辉杨辉中国南宋末年数学家、数中国南宋末年数学家、数学教育家。

大学教育家大约约在在1313世世纪纪 中叶至后半叶活中叶至后半叶活动动于于苏苏、、杭一杭一带带字谦谦光，光，钱钱塘塘（今杭州）人其生卒年（今杭州）人其生卒年及生平无从及生平无从详详考杨辉杨辉的的数学著作甚多有《日用算数学著作甚多有《日用算法》法》 《《杨辉杨辉算法》等算法》等5a　　““杨辉杨辉三角三角””出出现现在在杨辉杨辉编编著的《著的《详详解九章算法》一解九章算法》一书书中，且我国北宋数学家中，且我国北宋数学家贾贾宪宪（（约约公元公元11世世纪纪）已）已经经用用过过它，它，这这表明我国表明我国发现这发现这个个表不晚于表不晚于11世世纪纪．在欧洲，．在欧洲，这这个表被个表被认为认为是法国数学家是法国数学家物理学家帕斯卡首先物理学家帕斯卡首先发现发现的的, ,他他们们把把这这个表叫做帕斯卡三个表叫做帕斯卡三角．角．杨辉杨辉三角的三角的发现发现要比欧要比欧洲早洲早500年左右年左右. .6a杨辉杨辉三角基本性三角基本性质质1.1.三角形的两条斜三角形的两条斜边边上都是上都是数字数字1 1，而其余的数都等于，而其余的数都等于它肩上的两个数字相加它肩上的两个数字相加 2.杨辉杨辉三角具有三角具有对对称性（称性（对对称美），与首末两端称美），与首末两端““等距等距离离 ” ”的两个数相等的两个数相等 3.每一行的第二个数就是每一行的第二个数就是这这行的行数行的行数4.所有行的第二个数构成等所有行的第二个数构成等差数列差数列5.第第n行包含行包含n+1个数个数 1 　　　　　　　　 1 1 　　　　　　 1 2 1 　　　　　　 1 3 3 1 　　　　　　 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 　　 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 ……………………………… 7a 1 　　　　　　　　 1 1 　　　　　　 1 2 1 　　　　　　 1 3 3 1 　　　　　　 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 　　 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 ……………………………… 8a 1 　　　　　　　　 1 1 　　　　　　 1 2 1 　　　　　　 1 3 3 1 　　　　　　 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 　　 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 ……………………………… 9a 1 　　　　　　　　 1 1 　　　　　　 1 2 1 　　　　　　 1 3 3 1 　　　　　　 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 　　 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 ……………………………… 与数字与数字11的的幂幂的关系的关系10a 1 　　　　　　　　 1 1 　　　　　　 1 2 1 　　　　　　 1 3 3 1 　　　　　　 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 　　 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 ……………………………… 与数字与数字2的的幂幂的关系的关系++ ++ + +杨辉杨辉三角第三角第n行中行中n个数之和等于个数之和等于2的的n-1次次幂幂。

11a 1 　　　　　　　　 1 1 　　　　　　 1 2 1 　　　　　　 1 3 3 1 　　　　　　 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 　　 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 ……………………………… 斜行和水平行之斜行和水平行之间间的关系的关系 n行中的第行中的第i个数是斜行个数是斜行i-1中前中前n-1个数之和个数之和 12a 1 　　　　　　　　 1 1 　　　　　　 1 2 1 　　　　　　 1 3 3 1 　　　　　　 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 　　 1 6 15 20 15 6 1 斐波那契数列斐波那契数列1 11 12 23 35 58 8换换一角度一角度“斜斜”向看：向看：斜斜线线的和依次的和依次为为：： 1，，1，，2，，3，，5，，8，，13，，21，，34，．．．，．．．　　　　a1=1,a2=1, a3 ＝＝2，，……有：有：an=an-1+an-2 (n≥3)13a斐波那契数与植物花瓣斐波那契数与植物花瓣　　3……百合和蝴蝶花 　　5…蓝花耧斗菜、金凤花、飞燕草、毛茛花 　　8………………………翠雀花 　　13………………………金盏和玫瑰 　　21……………紫宛 　　34、55、89……………雏菊 14a 1 　　　　　　　　 1 1 　　　　　　 1 2 1 　　　　　　 1 3 3 1 　　　　　　 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 　　 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 ……………………………… 第第2k行的数字特征行的数字特征 所有数的和是偶数15a 1 　　　　　　　　 1 1 　　　　　　 1 2 1 　　　　　　 1 3 3 1 　　　　　　 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 　　 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 ……………………………… 第第 行的数字特征行的数字特征16a 　　　　　　　　 1 1 　　　　　　 1 2 1 　　　　　　 1 3 3 1 　　　　　　 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 　　 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 ……………………………… 行数整除所有的数行数整除所有的数 第第5行行第第7行行第第3行行第第 2行行都是质数行数为质数的数都能被行数整除17a 1 　　　　　　　　 1 1 　　　　　　 1 2 1 　　　　　　 1 3 3 1 　　　　　　 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 　　 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 ……………………………… 在在弹弹球游球游戏戏中的中的应应用用 18a弹弹球游球游戏戏，小球向容器内，小球向容器内跌落，碰到第一跌落，碰到第一层挡层挡物后物后向两向两侧侧跌落碰到第二跌落碰到第二层层阻阻挡挡物，再向两物，再向两侧侧跌落第三跌落第三层层阻阻挡挡物，如此一直下跌物，如此一直下跌最最终终小球落入底小球落入底层层。

根据根据具体地区具体地区获获的相的相应应的的奖奖品品（（AG区区奖奖品最好，品最好，BF区区奖奖品次之，品次之，CE区区奖奖品第三，品第三，D 区区奖奖品最差）品最差） A B C D E F G在在弹弹球游球游戏戏中的中的应应用用 19a20a杨辉杨辉三角的三角的实际应实际应用用““纵纵横路横路线图线图””是数学中的一是数学中的一类类有趣的有趣的问题问题．．图图1 1是某城市是某城市的部分街道的部分街道图图，，纵纵横各有三条路，如果从横各有三条路，如果从A A处处走到走到B B处处 ( (只能只能由北到南，由西向由北到南，由西向东东) )，那么有多少种不同的走法？，那么有多少种不同的走法？A图1B我我们们把把图顺时针转图顺时针转4545度，使度，使A A在正上方，在正上方，B B在正下方，在正下方，然后在交叉点然后在交叉点标标上相上相应应的的杨辉杨辉三角数．三角数．B B处处的的杨辉杨辉三角数与三角数与A A到到B B的走法有什么关系的走法有什么关系? ? ．．21a结论结论：：有趣的是，有趣的是，B B处处所所对应对应的数的数6 6，正好是答案，正好是答案( 6)( 6)．．一般地一般地, , 每个交点上的每个交点上的杨辉杨辉三角数，就是从三角数，就是从A A到达到达该该点的方法点的方法数．由此看来，数．由此看来，杨辉杨辉三角与三角与纵纵横路横路线图问题线图问题有天然的有天然的联联系系AB111112336ABDCAB22a。