《线性代数(一)》下半年第二次.doc

《线性代数》2011 年下半年第二次作业答案一. 填空题（4x5=20 分）1.设向量组 线性相关，123（ ， 0， -） ， （ -， ， 0） ， （ ， -5， t）则 t= 2 解：由线性相关的定义及等价条件知： 线性相关当且仅当以123,为列向量的矩阵的行列式为零，即123,050253t t      第 一 行 加 到 第 三 行130251*()0tt      第 二 行 加 到 第 三 行故 2t2.设向量组 线性无关，则 满足的关系123,0(,0)(,)acbab,abc式为 b解：由线性无关的定义及等价条件定理 3.5 的推论 1， 线性无关当且仅23,当 为列向量的矩阵的行列式不等于零，即123,0020abcacbabc因此，必须满足关系式 当然，也可以写成： 0ac且 且3. 设 是非齐次线性方程组 的解， 也s,,21 bAxskk21是 的解，则 应满足的关系为s,21 。

12skk解：由题目条件得有 ，要使得 也是解，,2,.iAbsskk21则应该有： ，而我们知，12()skk121212().()s s sAkkAkkAkb 因此，要求 112s4.设向量组 ，则该向量234,34,(,45),(,6),(,57)组的秩为 2 解：考察如何求解一个向量组的极大无关组和秩，见教材 P138，2312341123423506 67 9A       第 一 行 乘 以 加 到 第 二 行第 一 行 乘 以 加 到 第 三 行第 一 行 乘 以 -4加 到 第 四 行23140230       第 二 行 乘 以 加 到 第 三 行第 二 行 乘 以 加 到 第 四 行因此，矩阵非零行行数为 2，故 rank(A)=2， 即向量组秩为 25.已知 是非奇异矩阵 的一个特征值，则矩阵 必有特征值为 2A1()3A3/4 解：参看教材 P172 中例 5，虽然只是个例题，但其公式很重要，要记住。

是非奇异矩阵 的一个特征值 224是 的 一 个 特 征 值224/3A1是 的 一 个 特 征 值1())是 (的 一 个 特 征 值因此，答案为 3/4二.选择题（4x7=28 分）1. 设 β 可由向量 α 1=（1，0，0）， α 2=（0，0，1）线性表示，则下列向量中 β 只能是（ B ）A.（2，1，1） B.（-3，0，2）C.（1，1，0） D.（0，-1，0）解：由题知 β 由 线性表出，则存在常数 使得12,12,k12(0)kk则无论 如何取值， 的第二个元素必为 0，比较四个选项，只有 B 符合要12,k求，故选 B2. 已知向量组 线性无关，则向量组（ C ）.1234,,A 线性无关; 12 1,B 线性无关; 34,,C 线性无关; 12 1,D 线性无关.34,,解：解法一：排除法，快速得出答案但首先需要明白理解：线性相关、线性无关的定义对于向量组合： 12,.,n如果存在一组不全为零的常数 ，使得12,.nk成立12.0nkk则称 线性相关，若否，则称为线性无关在 A 项中，若存在 使得1234,k12 41()()()()0k k而上式左边= 14122334()kkk由 线性无关知有 ，但举一例子，123,,412k取 即可满足条件，因此并不能推出 ，因423kk14230kk此不是线性无关，A 项错误；同理，B 中， 12233441()()()()kk141234() 00k 举一例子，取 ，即可满足条件，并不能一定推出41k因此不是线性无关，B 项错误；14230k在 D 项中， 12233441()()()()0kkkk141234() 0举一例子，取 ，即可满足条件，并不能一定推出421kk因此不是线性无关，D 项错误。

14230k故选 C解法二：常规方法先判断答案 A假定存在一组数 使1234,k1 3441()()()()0kkk即有： 41223由 线性无关知有123,,412340k=0，故有非零解，故 线性相关0112341,,,故答案 A 错误用同样的方法判断 B 答案,即有：12233441()()()()0kkkk4123412340k=0，故有非零解，故 线性相关10112341,,,用同样的方法判断答案 C 有：122334414123()()()()0kkkk12340k=2，故只有零解，故 线性无关1012341,,,用同样的方法判断答案 D 有：12233441()()()()0kkkk4123412340k=0，故有非零解，故 线性相关1012341,,,因此，选 C3.如果向量 可由向量组 线性表出，则下面结论中正确的是（ C m,,21）.A 存在一组不全为零的数 ，使等式 成立; ,21 m21B 存在一组全为零的数 ，使等式 成立; m, C 存在一组数 ，使等式 成立; ,21 m21D 对 的线性表达式唯一.解:由线性表出的定义(课本 123 页,定义 3.5)可知答案应选 C。

A 项中，若 刚好为零向量，则可令 全为零，有12,m，因此 A 错12100m B 项中，由于 1212m 则 永远都是零向量，显然不符，因此 B 错C 项则是定义的正确表述，参考教材D 项中，假设有两种表示方法： 1212mmkk……2 0mk则 12,,m若 线 性 无 关 则 由 线 性 无 关 的 定 义 知 ,系 数 全 为 零 ,即12.i m=即 的 线 性 表 达 式 唯 一 但 题 目 中 并 没 有 说 …线 性 无 关 .因此表示法不是唯一的4.设 为 阶实矩阵，则对于线性方程组（I）： 和（II）： ，An 0Ax0TAx必有（ A ）.A（II）的解是（I）的解， （I）的解也是（II）的解; B（II）的解是（I）的解， （I）的解不是（II）的解;C（I）的解不是（II）的解， （II）的解也不是（I）的解; D（I）的解是（II）的解， （II）的解不是（I）的解.解：设 ， 若 X 是（I）的解，则 ，所以表明12nxX 0Ax0TxAX 也是（II）的解；另一方面，若 X 是（II）的解，则有 ，Tx设 ， 则有 ，因此 12nnxbA 0TTAb21()0nTTTTiXAXbX，因此，X 也是（I）的解0,1.,0ibnA综上得，选 A5.设 0 是矩阵 的特征值，则 a=（ C ）.a012A、 -1; B、0； C、1; D、2. 解:将特征值带入特征方程中,即EA101202()0aa，因此选 C。

6.设矩阵 为 n 阶矩阵，且 与 相似， 为 n 阶单位矩阵，则有（ D ）,ABABIA、矩阵 ； IIB、 与 有相同的特征值和特征向量； C、 都相似于一个对角矩阵； 与D、对任意常数 ，矩阵 相似ttIAtB与解：主要考察矩阵相似的定义，及其等价定义教材第四章第二节，P176 页，与 相似：则存在可逆矩阵 P，使得 ；则有相同的特征多项式AB1，从而有相同的特征值；有相同的秩；其行列式相等，II因此， ，只是行列式值相等，并不能推出两个矩阵相等，故IAIBA 有误；B 中，只有说一定有相同的特征值，但不一定有相同的特征向量，故 B 有误；C 中，相似于一个对角矩阵是一个矩阵可对角化的条件，在题中并未说到 A 可对角化，故 C 有误；因此选 D，对于使得 的矩阵 P，同样使得1PAB1111()PtItIPAttI因此，选 D7.下列叙述中，错误的有（C ）A、若向量 正交，则对于任意实数 也正交与 ,ab与B、若向量 与向量 都正交，则 与 的任一线性组合也正交12， 12，C、若向量 正交，则 中至少有一个零向量与 与D、若向量 与任意同维向量正交，则 是零向量解： 对于 A，因 ，则0T()()0TTab对于 B，因 ， ，则121212120Tkkk对于 C，设 ,则 ，但是 均为非零向量，C 错。

)()TT与对于 D，设 ,则 ，同理可证121(0,)Tnx…， ， ， 1x，故 是零向量230nx三． （12 分）已知向量组 .123,,01,kk(1) 试求 为何值时，向量组 线性相关？k3(2) 试求 为何值时，向量组 线性无关？12,(3) 当向量组 线性相关时，将 表示为 和 的线性组合123,312解：设有数组 ，使得t120tt即 123,,0,tkk写成方程组即等价于：1230ttkt，其系数矩阵的行列为：123t则 以 X=为 未 知 量 的 齐 次 线 性 方 程 组，26(3)20kk1D=-0（1） ，则方程组不是仅有唯一解，即有非零解，因此向30D或量组 线性相关123,（2） 当 ，则齐次线性方程组有唯一解，此解必为零解，k且即 ，此时，向量组 线性无关123ttX=0123,（3） 当向量组 线性相关时， 123,2k或当 k=3 时，向量组线性相关，则系数矩阵的秩小于 3，为A       初 等 行 变 换 初 等 行 变 换 1102-0--10因此有以下方程成立：， 则可取 为自由未知量，取 =1，则有132t3t 3t21,t因此即： 1230因此将 表示为 和 的线性组合为：3 312当 时，向量组线性相关，则系数矩阵的秩小于 3，为2kA        初 等 行 变 换 初 等 行 变 换-1-201-0-20因此有以下方程成立：， 则可取 为自由未知量，取 =1，则有132t3t 3t123,t因此即： 1230因此将 表示为 和 的线性组合为：3 312四.(14 分) 已知线性方程组 8109572432332131xx求：（1）对应齐次方程组的基础解系； （2）该方程组的通解。

解： 对增广矩阵 进行初等变换8109572433321321xxAb42759108Ab103261854213900539     第 二 行 加 到 第 一 行 去（注意：是化成简化的阶梯形矩阵，而不仅仅只是阶梯形矩阵）因此 1341342 28585199xxx（1）相对应于其导出组：齐次线性方程组，则应是 34134220xxx因此， 和 是自由未知量，所以设 = 或 =34 34x。