离散2chap1_3.pdf

§§1.3 1.3 子群、生成子群子群、生成子群 [ [本节主要内容本节主要内容] ] 1 1）子群的定义；）子群的定义； 2 2）子群的性质定理；）子群的性质定理； 3 3）子群的判定定理；）子群的判定定理； 4 4）生成子群、群的中心）生成子群、群的中心 定义定义1 1 设设为群为群，，S S是是G G的非空子集的非空子集 若若““””在在S S中封闭且中封闭且S S对此乘法也构成对此乘法也构成 一个群一个群，，则称则称S S是是G G的一个子群的一个子群  ,G  真子群：真子群：异于自身的子群称为真子群异于自身的子群称为真子群 平凡子群：平凡子群：群群G G自身；自身； 仅有单位元仅有单位元e e构成的子群构成的子群 例例1 1 1.1.整数集整数集Z Z的加法群是有理数的加法群是有理数Q Q的加法群的加法群 的子群 2.2.偶数集的加法群是整数集的加法群偶数集的加法群是整数集的加法群 的子群 定理定理1 1 设设G G1 1为群为群G G的子群的子群，，则则G G1 1的单位的单位 元必是元必是G G的单位元；的单位元；G G1 1的元素的元素a a在在G G1 1中逆中逆 元素也是元素也是a a在在G G中的逆元素中的逆元素。

定理定理2 2 群群G G的任意多个子群的交还是的任意多个子群的交还是 G G的子群 定理定理3 3 任一群不能是其两个真子群任一群不能是其两个真子群 的并 例例2 2 求                                                        213 321 , 132 321 , 231 321 , 123 321 , 312 321 , 321 321 3 S )132(),123(),23(),13(),12(),1 (  54321 ,,,,,aaaaae 3 S的真子群 , 1 1 1 aa  , 2 1 2 aa  , 3 1 3 aa  5 1 4 aa  解：  , 1 eG ,, 12 aeG  23 ,aeG  ,, 34 aeG   545 ,,aaeG  定理定理4 4 群群G G的非空子集的非空子集S S为为G G的子群的子群 的充分必要条件是：的充分必要条件是： 1 1）） 2 2）） SabSba,, SaSa 1 , 定理定理5 5 群群G G的非空子集的非空子集S S是是G G的子群的子群 的充分必要条件是：的充分必要条件是： 对对 总有总有: : Sba, Sab 1 FFF  FabFba,, 定理定理6 6 群群G G的的有限有限非空子集非空子集F F是是G G的的 子群的充分必要条件是子群的充分必要条件是 即即 : : 定义定义2 2 设设M M是群是群G G的非空子集，则的非空子集，则G G的的 包含包含M M的所有子群的交称为的所有子群的交称为 由由M M生成的生成的子群子群，记为，记为（（M M）） 注：注：设设为群，为群，M M为为G G的非空子集的非空子集, , 则由则由M M扩充为扩充为G G的子群的子群方法方法: :  ,G M 1)1) 2 2）对）对中的任意两个元素作乘积放中的任意两个元素作乘积放 入入，如此反复。

如此反复 MaaMM 1  M M 例例3 3 在中求由生成的子群 3 S21,a a 321 ),(SaaA 例例4 4 设设G G是一个群，是一个群，则则 Ga },,,,,,,,,,{)( 2112  nn aaaeaaaa   ,G GaxaaxGxaC,, 定理定理7 7 群群G G的中心的中心C C是是G G的可交换子群的可交换子群 定义定义3 3 中心元素：中心元素：设设为群，为群， , ,对对有有 则称则称a a为为G G的的中心元素由中心元素由G G的中心元的中心元 素所构成的集合素所构成的集合C C 称为称为G G的中心的中心，即，即: : GaGxxaax  。