数学-2014届高三决战四统（2）数学试题.doc

绝密★启用前数学决战四统测(二)注 意 事 项考生在答题前认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷共4页，均为非选择题(第1题～第20题，共20题)本试卷满分160分，考试时间为120分钟考试结束后，请将本试卷和答题纸一并交回2.答题前，请您务必将自己的姓名、考试号用的0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题纸上的规定位置 3.作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题纸上的指定位置作答，在其它位置作答一律无效 一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分1．已知是虚数单位，，若复数的实部是，则 ▲ ．2．设集合，且，则实数的取值范围是 ▲ ．3．某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有40种、10种、30种、20 种，从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是 ▲ ．4．设向量与的夹角为，，则 ▲ ． 5．已知正整数满足，则都是偶数的概率是 ▲ ．6．执行如右图所示的程序框图，若输出的的值为31，则图中判断框内①处应填的整数为 ▲ ．7．在中,已知,若 分别是角所对的边,则的最大值为 ▲ ．8．若等差数列和等比数列的首项均为1，且公差，公比，则集合 的元素个数最多有 ▲ ．个。

9．已知直线与圆交于不同的两点，是坐标原点，且有，则的取值范围是 ▲ ．10．设为坐标原点，给定一个定点，而点在正半轴上移动，表示的长，则中两边长的比值的最大值为 ▲ ．11．已知，过可作曲线的三条切线，则的取值范围是 ▲ ．12．设分别是椭圆的上下两个顶点，为椭圆上任意一点(不与点重合)，直线分别交轴于两点，若椭圆在点的切线交轴于点，则 ▲ ．13．若关于的不等式的解集中有且仅有4个整数解，则实数的取值范围是 ▲ ．14．已知，且，则的最大值是 ▲ ．二．解答题：本大题共6小题，计90分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内15．在中，角所对的边分别为1)若，求的面积； (2)求的值16．（本小题满分14分）如图，正方形ABCD和三角形ACE所在的平面互相垂直，EF∥BD，AB＝EF.(1)求证：BF∥平面ACE；(2)求证：BF⊥BD.17．（本题满分14分）据环保部门测定，某处的污染指数与附近污染源的强度成正比，与到污染源距离的平方成反比，比例常数为．现已知相距18的A，B两家化工厂（污染源）的污染强度分别为，它们连线上任意一点C处的污染指数等于两化工厂对该处的污染指数之和．设（）．（1）试将表示为的函数； （2）若，且时，取得最小值，试求的值．18．（本题满分16分）已知，点依次满足。

1)求点的轨迹； (2)过点作直线交以为焦点的椭圆于两点，线段的中点到轴的距离为，且直线与点的轨迹相切，求该椭圆的方程；(3)在(2)的条件下，设点的坐标为，是否存在椭圆上的点及以为圆心的一个圆，使得该圆与直线都相切，如存在，求出点坐标及圆的方程，如不存在，请说明理由19．已知数列的各项都为正数，1）若数列是首项为1，公差为的等差数列，求；（2）若，求证：数列是等差数列20．如果函数的定义域为R，对于定义域内的任意，存在实数使得成立，则称此函数具有“性质”1)判断函数是否具有“性质”，若具有“性质”，求出所有的值；若不具有“性质”，说明理由；(2)已知具有“性质”，且当时，求在上有最大值；(3)设函数具有“性质”，且当时，若与交点个数为2013，求的值淮海中学2014届高三Ⅲ级部数学决战四统测(二)参考答案:1．； 2．； 3．6； 4．； 5．；6．4； 7．； 8．2； 9．； 10．；11．； 12．0； 13．； 14．15．(1)由得因为，所以所以，即………………………………………………………4分 由正弦定理可知，所以，因为所以，所以 …………………………7分(2)原式 …………………14分16．证明　(1)AC与BD交于O点，连接EO.正方形ABCD中，BO＝AB，又因为AB＝EF，∴BO＝EF，又因为EF∥BD，∴EFBO是平行四边形，∴BF∥EO，又∵BF⊄平面ACE，EO⊂平面ACE，∴BF∥平面ACE ………7分 (2)正方形ABCD中，AC⊥BD，又因为正方形ABCD和三角形ACE所在的平面互相垂直，BD⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面ACE＝AC，∴BD⊥平面ACE，∵EO⊂平面ACE，∴BD⊥EO，∵EO∥BF，∴BF⊥BD. ………14分17. 解：（1）设点C受A污染源污染程度为，点C受B污染源污染程度为，其中为比例系数，且． …………………4分从而点C处受污染程度． ……6分（2）因为，所以，， ……8分，令，得， ………12分又此时，解得，经验证符合题意．所以，污染源B的污染强度的值为8． …14分18．解析：(1) 设 所以，点的轨迹是以原点为圆心，1为半径的圆。

………………………………… 4分(2)设直线的方程为 ① 椭圆的方程 ② 由与圆相切得： ………………………………………6分将①代入②得：，又，可得，有，∴，. ∴ ………………………………9分(3) 假设存在椭圆上的一点，使得直线与以Q为圆心的圆相切，则Q到直线的距离相等, ： ： ……………………12分化简整理得： ∵ 点在椭圆上，∴ 解得： 或 （舍） 时，，， ………………………15分∴ 椭圆上存在点，其坐标为或，使得直线与以Q为圆心的圆相切 …………………………………………16分19．20．(1)由得∴∴函数具有“性质”，其中…………………2分(2) ∵具有“性质”∴设，则，∴∴……………………………………4分当时，∵在单调增，∴时，………………5分当时，∵在单调减，在上单调增又，∴时，……………………6分当时，∵在单调减，在上单调增又，∴时，………………………………7分综上得当时，，当时， ……8分(3) ∵函数具有“性质” ∴∴，∴函数是以2为周期的函数………………………………………………9分设，则，再设当，则当，则∴对于，都有而∴∴函数是以1为周期的函数 ……………………………………12分①当时，要使得与有2013个交点，只要与在区间有2012个交点，而在内有一个交点∴过，从而得 …………………………………14分②当时，同理可得③当时，不合题意综上所述 …………………………………………………………16分。