三年级下册数学试题-春季培优第1讲 最大与最小全国通用.doc

第一讲 最大与最小知识要点：1、在日常生活中，存在大量的最大与最小问题.例如：一项工作，如何安排和调 配，才能使得工期最短，效率最高；把一些物品从一个地方运到另一个地方，如何运 才能使得运费最少等等.这种研究某些量的最大值与最小值问题，就是我们所说的最大 与最小问题.2、我们在解最大与最小问题时，常常会从极端情形出发来考虑问题，并且还要 举例说明最大值或最小值是能取到的.3、最大与最小的若干性质：①如果两个正整数的和一定，那么这两个正整数的差越小，它们的乘积越大；两 个正整数的差越大，它们的乘积越小.②如果两个正整数的乘积一定，那么这两个正整数的差越小，那么它们的和也越 小；两个正整数的差越大，那么它们的和越大.一、基础应用：【例1】 两个自然数的和为 11 ，当这两个自然数分别是多少时，它们的积最大？最大 的积是多少？【解析】 不考虑加数顺序，和为 11 的两个自然数有以下六种情况： 0 +11 、 1 +10 、 2 +9 、 3 +8 、 4 +7 、 5 +6 .下面我们来 一 一算下这六种情况下的乘积：0 ´11 =0 ， 1´10 =10 ， 2 ´9 =18 ， 3 ´8 =24 ， 4 ´7 =28 ， 5 ´6 =30 。

注意观察上述的乘法算式，我们会发现，当两个数的和一定时，这两个数的差越 小，乘积越大；而这两个数的差越大，乘积越小 .所以和为 11 ，积为最大的两个自然 数为 5 和 6 ，最大的积为 30 例2】 两个自然数的乘积为 36 ，当这两个自然数分别是多少时，它们的和最小？最 小的和是多少？【解析】 不考虑因数顺序，乘积是 36 的两个自然数有以下五种情况： 1×36、2× 18、3×12、4×9、6×6.相应的两个乘数的和是：1+36=37、2+18=20、3+12=15、4+9=13、 6+6=12.注意观察上述加法算式，我们不难发现，两个自然数的乘积一定时，这两个自 然数的差越大，和也越大；差越小，和也越小 .显然，乘积是 36，和为最小的两个自 然数是 6 与 6.【例3】 把 14 分成几个自然数的和，再求出这些自然数的乘积，要使得乘积尽可能大， 问这个乘积是几？【解析】 因为 6＝2＋2＋2＝3＋3，而 2×2×2＝8，3×3＝9.所以在拆数时最多只能 有 2 个 2.而 14＝3＋3＋3＋3＋2，所以这个乘积是最大是 3×3×3×3×2＝162.【例4】 八个互不相等的正整数之和是 88 ，将这八个数从小到大排列，第 5 个数最大 是几？【解析】 为使第 5 个数尽量大,前 4 个数就应尽量小,取 1,2,3,4。

剩下的 4 个数之和 是 88－(1+2+3+4)=78要使第 5 个数尽量大,后 4 个数的大小应尽量接近78÷4=19……2,后 4 个数是 18,19,20,21所以第 5 个数最大是 18.二、拓展训练：【例5】 用长 36 厘米的铁丝做一个长方形，怎样才能使做成的长方形面积最大？ 【解析】 注 意 到 要 用 长 为 36 厘 米 的 铁 丝 做 一 个 长 方 形 ， 那 么 长 与 宽 的 和 为 36 ¸2 =18 （厘米） .而要使长方形的面积最大，则只能是长与宽都为 9 厘米时，此时 长与宽的差最小，即为 0 .从而长方形的面积最大为 9 ´9 =81 （平方厘米）.【例6】 要用竹篱笆围一个面积为 81 平方米的长方形养鸡场 .如果每米篱笆要用去 20 千克毛竹，那么该怎样围，才能使毛竹最省？最少要用毛竹多少千克？【解析】 要使毛竹最省，就是养鸡场的周长要最小，而矩形养鸡场的面积为 81 平方 米一定，即长与宽的积一定，因此，只有当长与宽相等（都是9 米）时，周长才最小. 所以，只有当养鸡场的长和宽都为 9 米时，所用毛竹最省.这时所需毛竹是： 20 ´（9´4）=720 （千克）。

例7】 用 1 ~ 6 这 6 个数字组成两个三位数，使这两个三位数的乘积最大，这两个三 位数分别是多少？（要求每个数字都用到）【解析】 要用 1 ~ 6 这 6 个数字组成两个三位数，并且使这两个三位数的乘积最大， 那么我们应先使这两个三位数的百位数字尽可能大，所以一个百位数字为 6，另外一 个百位数字为 5；进一步地考虑这两个数的十位数字，这两个数的十位数字也应尽可 能的大，所以一个为 4，另一个为 3，这样有两种情况，一种是 64×53，一种是 63× 54 ，但是注意到当两个数的和一定时，两个数的差越小，乘积相应越大，故应为 63 和 54；最后我们再来确定这个两位数的个位数字，同样一个为 1，一个为 2.再根据两 个数的差越小，乘积越大，我们可确定这两个三位数为 631 与 542.【例8】 用 1 ~ 8 这 8 个数字，组成 2 个四位数，把它们相减所得的差是一个自然数，问 这个自然数最大是多少，最小是多少？（要求每个数字都用到）【解析】 把 1 ~ 8 这 8 个数字，组成 2 个四位数字，如果要使差最大，则被减数应尽 可能大，而减数应尽可能小，按照这一原则，被减数应该是 8765，减数应该是 1234， 所以这个自然数最大是 8765-1234=7531；如果要使差最小，则被减数应尽可能小，减 数应尽可能大.但是被减数必须大于减数，同时被减数与减数应尽可能接近，这样它们 的差就会最小.按照这一原则，我们可确定最小的差为 5123-4876=247.【例9】 有一多位数 2013122108 40 ，一共12 个数字。

划去其中的 8 个数字，可形成一 个四位数那么这个四位数的最大值比最小值大多少？【解析】 最大值为 3840 ，最小值为 1040 ，最大值比最小值大 3840 -1040 =2800 例10】 “ 12345678910111213LL 484950 ”是一个位数很多的多位数，从中划去 80 个数字，使剩下的数字（先后顺序不变）组成一个多位数，问这个多位数1 4243 14243 144244 144244 1442443 3 3最大是多少？【解析】 首先注意观察这个多位数，它是由 1 至 50 的连续自然数排列而成的，共 有数字 1×9+2×41=91（个），划去 80 个数字，剩下的将是一个 11 位数.要使剩下的 多位数最大，应该保证较大的数字在较高的数位上.题中的多位数中一共含有 5 个“9”. 显然前 4 个 9 应当保留下来，但当第五个 9 出现在第五位上时，就不能构成 11 位数. 同样 4 个 9 后，如果是 8，也不能组成 11 位数.划过去的过程如下图.123///4/5/6/7/8/91/0/11//LL18//1/92/0/21//LL28//2/93/0/3/1/LL3/8/3/94/0/41//LL46//4/7484950划去8个划去19 个划去19 个划去19 个划去15 个综上，剩下的数字组成的最大多位数是 99997484950.三、难题解析：【例11】 某路公共汽车，包括起点和终点共有 15 个车站，有一辆公共汽车除终点外， 每一站上车的乘客中，到以后的每一站都恰好有一位乘客下车，为了使每位 乘客都有座位，这辆公共汽车最少要有多少个座位？【解析】 依题意，我们可画出如下表格：站次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 …上车人数 14 13 12 11 1098765…下车人数 ―1 2 3 456789…车上人数 14 26 36 44 50 54 56 56 54 50 …综上可知，这辆公共汽车最少要有座位 56 个。

例12】 宴会邀请来了 44 位嘉宾会场里 15 张相同的正方形桌子，每张每边能坐 1 人经适当“拼桌”（将几张正方形桌子拼成一张长方形或正方形桌子）后， 恰好让所有嘉宾全部入座而且没有空位那么最后会场里最少有几张桌子？【解析】 拼一次至少减少 2 个座位，一共 15 ´4 =60（个）座位，要减少 60 - 44 =16（个） 座位，至多拼 8 次，拼一次至多减少一张“孤立桌” 8 次至多减少 8 张“孤立桌”，故 至少留下 7 桌将 9 张桌子拼成 1 排，其余 6 张桌子孤立，可以实现构造四、巩固练习：1. 一个自然数它各个数位上的数字的和等于 25 ，这个数最小是多少？【解析】 我们发现若这个数是 1 位数或 2 位数，均不可能会出现各个数字上的和等 于 25，因此这个数至少为 3 位数.而要使这个三位数的各个数位上的数字的和等于 25， 那么这个三位数上的三个数字可以是 9,9,7 或 9,8,8，所以这个数最小为 799.2. 一个长方形的周长是 30 厘米，它的长和宽都是整厘米数，则它的面积有几种可能 值，最大是多少，最小又是多少？【解析】 长方形的周长是 30 厘米，则长与宽的和为 30÷2=15（厘米），而两个数 的和为 15 的共有以下 7 种情况：①1+14 ；②2+13 ；③3+12 ；④4+11 ；⑤5+10 ；⑥6+9 ；⑦7+8相应地积也有如下 7 种情况：①1×14=14 ；②2×13=26 ；③3×12=36 ；④4×11=44 ；⑤5×10=50； ⑥6×9=54 ；⑦7×8=56.因此它的面积共有 7 种可能值，其中最大是 56 平方厘米，最 小是 14 平方厘米.3. 两个非零自然数的积是 45 ，这两个自然数的和最大是多少？最小是多少？【解析】 已知两个数的积是 45，要使这两个数的和最大，则需使这两个数的差最大， 从而当这两数中一个为 1，一个为 45 时，有最大和为：1+45=46；而要使这两个数的和最小，则需使这两个数的差最小，从而当这两个数中一个为 5， 一个为 9 时，有最小的和为：5+9=14.4. 用 5 、 6 、 7 、 8 这四个数字组成两个两位数，使这两个两位数的乘积最大.（每个 数字都要用到）【解析】 用 5 、 6 、 7 、 8 这四个数字组成两个两位数，使乘积最大，显然，7 和 8 应 分别作两个数的十位字数， 5 和 6 应分别作个位数字，但 5 和 6 分别放在 7 和 8 谁的后 面呢？因为： 85 +76 =161 ， 86 +75 =161 ，它们的和相等.又有：85 - 76 =9 ， 86 -75 =11 .显然， 85 与 76 之间比 86 与 75 之间相隔更少，更相近.所以， 85 与 76 的乘积一定 大于 86 与 75的乘积.最大的积为 85 ´76 =6460 。

5. 从 12 位数 3762478591 65 中划去 6 个数字，使剩下的 6 个数字（先后顺序不改变） 组成的六位数最小.这个最小的六位数是多少？【解析】 要使删去 6 个数字后，所得的六位数是最小的，那么所得的数的最高位越 小越好，不难想象最高位若是 1，那么需要删除前面的 7 个数字，不合题意，因此最 高位只能为 2，从而 2 前面的三个数字都要删除，接下来同理考虑从最高位到最低位 要依次尽可能的小，所以，最后我们可确定最小的 6 位数为 245165.6. 在一次数学竞赛的抢答比赛中，有 3 分题， 5 分题和 8 分题三种，小雨在 3 分钟内 得了 29 分问：他最多答对几题？最少答对几题？【解析】 小雨最后的得分是 29 分，所以要使答对的题数尽量多，那么在分数一定的 情况下，应当是尽量答。