【数学】2019年湖南省长沙市中考真题（解析版）.doc

2019年湖南省长沙市中考数学试卷一、选择题（本题共12小题，每题3分，共36分）1．下列各数中，比﹣3小的数是（　　）A．﹣5 B．﹣1 C．0 D．1【答案】A【解析】﹣5＜﹣3＜﹣1＜0＜1，所以比﹣3小的数是﹣5，故选：A．2．根据《长沙市电网供电能力提升三年行动计划》，明确到2020年，长沙电网建设改造投资规模达到15000000000元，确保安全供用电需求．数据15000000000用科学记数法表示为（　　）A．15109 B．1.5109 C．1.51010 D．0.151011【答案】C【解析】数据150 0000 0000用科学记数法表示为1.51010．故选：C．3．下列计算正确的是（　　）A．3a+2b＝5ab B．（a3）2＝a6C．a6a3＝a2 D．（a+b）2＝a2+b2【答案】B【解析】A.3a与2b不是同类项，故不能合并，故选项A不合题意；B.（a3）2＝a6，故选项B符合题意；C.a6a3＝a3，故选项C不符合题意；D.（a+b）2＝a2+2ab+b2，故选项D不合题意．故选：B．4．下列事件中，是必然事件的是（　　）A．购买一张彩票，中奖 B．射击运动员射击一次，命中靶心 C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 D．任意画一个三角形，其内角和是180【答案】D【解析】A．购买一张彩票中奖，属于随机事件，不合题意；B．射击运动员射击一次，命中靶心，属于随机事件，不合题意；C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，属于随机事件，不合题意；D．任意画一个三角形，其内角和是180，属于必然事件，符合题意；故选：D．5．如图，平行线AB，CD被直线AE所截，∠1＝80，则∠2的度数是（　　）A．80 B．90 C．100 D．110【答案】C【解析】∵∠1＝80，∴∠3＝100，∵AB∥CD，∴∠2＝∠3＝100．故选：C．6．某个几何体的三视图如图所示，该几何体是（　　）A． B． C． D．【答案】D【解析】由三视图可知：该几何体为圆锥．故选：D．7．在庆祝新中国成立70周年的校园歌唱比赛中，11名参赛同学的成绩各不相同，按照成绩取前5名进入决赛．如果小明知道了自己的比赛成绩，要判断能否进入决赛，小明需要知道这11名同学成绩的（　　）A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差【答案】B【解析】11个不同的成绩按从小到大排序后，中位数及中位数之后的共有5个数，故只要知道自己的成绩和中位数就可以知道是否进入决赛了．故选：B．8．一个扇形的半径为6，圆心角为120，则该扇形的面积是（　　）A．2π B．4π C．12π D．24π【答案】C【解析】S＝＝12π，故选：C．9．如图，Rt△ABC中，∠C＝90，∠B＝30，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠CAD的度数是（　　）A．20 B．30 C．45 D．60【答案】B【解析】在△ABC中，∵∠B＝30，∠C＝90，∴∠BAC＝180﹣∠B﹣∠C＝60，由作图可知MN为AB的中垂线，∴DA＝DB，∴∠DAB＝∠B＝30，∴∠CAD＝∠BAC﹣∠DAB＝30，故选：B．10．如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东60方向，距离灯塔60nmile的小岛A出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东45方向上的B处，这时轮船B与小岛A的距离是（　　）A．30nmile B．60nmileC．120nmile D．（30+30）nmile【答案】D【解析】过C作CD⊥AB于D点，∴∠ACD＝30，∠BCD＝45，AC＝60．在Rt△ACD中，cos∠ACD＝，∴CD＝AC•cos∠ACD＝60＝30．在Rt△DCB中，∵∠BCD＝∠B＝45，∴CD＝BD＝30，∴AB＝AD+BD＝30+30．答：此时轮船所在的B处与灯塔P的距离是（30+30）nmile．故选：D．11．《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长、绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？可设木头长为x尺，绳子长为y尺，则所列方程组正确的是（　　）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意可得，，故选：A．12．如图，△ABC中，AB＝AC＝10，tanA＝2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则CD+BD的最小值是（　　）A．2 B．4 C．5 D．10【答案】B【解析】如图，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M．∵BE⊥AC，∴∠ABE＝90，∵tanA＝＝2，设AE＝a，BE＝2a，则有：100＝a2+4a2，∴a2＝20，∴a＝2或﹣2（舍弃），∴BE＝2a＝4，∵AB＝AC，BE⊥AC，CM⊥AC，∴CM＝BE＝4（等腰三角形两腰上的高相等））∵∠DBH＝∠ABE，∠BHD＝∠BEA，∴sin∠DBH＝＝＝，∴DH＝BD，∴CD+BD＝CD+DH，∴CD+DH≥CM，∴CD+BD≥4，∴CD+BD的最小值为4．故选：B．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13．式子在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是　x≥5　．【解析】式子在实数范围内有意义，则x﹣5≥0，故实数x的取值范围是：x≥5．故答案为：x≥5．14．分解因式：am2﹣9a＝　a（m+3）（m﹣3）　．【解析】am2﹣9a＝a（m2﹣9）＝a（m+3）（m﹣3）．故答案为：a（m+3）（m﹣3）．15．不等式组的解集是　﹣1≤x＜2　．【解析】解不等式①得：x≥﹣1，解不等式②得：x＜2，∴不等式组的解集为：﹣1≤x＜2，故答案为：﹣1≤x＜2．16．在一个不透明的袋子中有若干个小球，这些球除颜色外无其他差别，从袋中随机摸出一球，记下其颜色，这称为一次摸球试验，然后把它重新放回袋中并摇匀，不断重复上述过程．以下是利用计算机模拟的摸球试验统计表：摸球实验次数100100050001000050000100000“摸出黑球”的次数36387201940091997040008“摸出黑球”的频率（结果保留小数点后三位）0.3600.3870.4040.4010.3990.400根据试验所得数据，估计“摸出黑球”的概率是　0.4　．（结果保留小数点后一位）【解答】观察表格发现随着摸球次数的增多频率逐渐稳定在0.4附近，故摸到白球的频率估计值为0.4；故答案为：0.4．17．如图，要测量池塘两岸相对的A，B两点间的距离，可以在池塘外选一点C，连接AC，BC，分别取AC，BC的中点D，E，测得DE＝50m，则AB的长是　100　m．【解析】∵点D，E分别是AC，BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴AB＝2DE＝250＝100米．故答案为：100．18．如图，函数y＝（k为常数，k＞0）的图象与过原点的O的直线相交于A，B两点，点M是第一象限内双曲线上的动点（点M在点A的左侧），直线AM分别交x轴，y轴于C，D两点，连接BM分别交x轴，y轴于点E，F．现有以下四个结论：①△ODM与△OCA的面积相等；②若BM⊥AM于点M，则∠MBA＝30；③若M点的横坐标为1，△OAM为等边三角形，则k＝2+；④若MF＝MB，则MD＝2MA．其中正确的结论的序号是　①③④　．（只填序号）【解析】①设点A（m，），M（n，），则直线AC的解析式为y＝﹣x++，∴C（m+n，0），D（0，），∴S△ODM＝n＝，S△OCA＝（m+n）＝，∴△ODM与△OCA的面积相等，故①正确；∵反比例函数与正比例函数关于原点对称，∴O是AB的中点，∵BM⊥AM，∴OM＝OA，∴k＝mn，∴A（m，n），M（n，m），∴AM＝（n﹣m），OM＝，∴AM不一定等于OM，∴∠BAM不一定是60，∴∠MBA不一定是30．故②错误，∵M点的横坐标为1，∴可以假设M（1，k），∵△OAM为等边三角形，∴OA＝OM＝AM，1+k2＝m2+，∴m＝k，∵OM＝AM，∴（1﹣m）2+＝1+k2，∴k2﹣4k+1＝0，∴k＝2，∵m＞1，∴k＝2+，故③正确，如图，作MK∥OD交OA于K．∵OF∥MK，∴＝＝，∴＝，∵OA＝OB，∴＝，∴＝，∵KM∥OD，∴＝＝2，∴DM＝2AM，故④正确．故答案为①③④．三、解答题（本大题共8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题6分，第23、24题每小题6分，第25、26题每小题6分，共66分。

解答应写出必要的文字说明、证明过程或验算步骤）19．（6分）计算：|﹣|+（）﹣1﹣﹣2cos60．解：原式＝+2﹣﹣2＝+2﹣﹣1＝1．20．（6分）先化简，再求值：（﹣），其中a＝3．解：原式＝•＝，当a＝3时，原式＝＝．21．（8分）某学校开展了主题为“垃圾分类，绿色生活新时尚”的宣传活动．为了解学生对垃圾分类知识的掌握情况，该校环保社团成员在校园内随机抽取了部分学生进行问卷调查，将他们的得分按优秀、良好、合格、待合格四个等级进行统计，并绘制了如下不完整的统计表和条形统计图．等级频数频率优秀2142%良好m40%合格6n%待合格36%（1）本次调查随机抽取了　50　名学生；表中m＝　20　，n＝　12　；（2）补全条形统计图；（3）若全校有2000名学生，请你估计该校掌握垃圾分类知识达到“优秀”和“良好”等级的学生共有多少人．解：（1）本次调查随机抽取了2142%＝50名学生，m＝5040%＝20，n＝100＝12，故答案为：50，20，12；（2）补全条形统计图如图所示；（3）2000＝1640人，答：该校掌握垃圾分类知识达到“优秀”和“良好”等级的学生共有1640人．22．（8分）如图，正方形ABCD，点E，F分别在AD，CD上，且DE＝CF，AF与BE相交于点G．（1）求证：BE＝AF；（2）若AB＝4，DE＝1，求AG的长．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAE＝∠ADF＝90，AB＝AD＝CD，∵DE＝CF，∴AE＝DF，在△BAE和△ADF中，，∴△BAE≌△ADF（SAS），∴BE＝AF；（2）解：由（1）得：△BAE≌△ADF，∴∠EBA＝∠FAD，∴∠GAE+∠AEG＝90，∴∠AGE＝90，∵AB＝4，DE＝1，∴AE＝3，∴BE＝＝＝5，在Rt△ABE中，ABAE＝BEAG，∴AG＝＝．23．（9分）近日，长沙市教育局出台《长沙市中小学教师志愿工作实施意见》，鼓励教师参与志愿，某区率先示范，推出名师公益大课堂，为学生提供线上线下免费，据统计，第一批公益课受益学生2万人次，第三批公益课受益学生2.42万人次．（1）如果第二批，第三批公益课受益。