9.3 椭圆及其性质挖命题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点1.椭圆的定义和标准方程1.掌握椭圆的定义,并会用椭圆的定义进行解题2.掌握椭圆的几何图形和标准方程,并会用待定系数法求椭圆的方程2017北京,19椭圆的标准方程三角形的面积★☆☆2.椭圆的几何性质1.掌握椭圆的几何性质(范围、对称性等),并会熟练运用2.理解椭圆离心率的定义,并会求椭圆的离心率2012天津文,19椭圆的几何性质直线和椭圆的方程★☆☆3.直线与椭圆的位置关系1.掌握直线和椭圆位置关系的判断方法2.理解“整体代换”思想的含义,并能通过直线与椭圆的位置关系解答相应问题2018天津文,19直线与椭圆的位置关系三角形的面积★★★2014天津,18圆的方程分析解读 从高考试题来看,椭圆的定义、标准方程、几何性质以及直线与椭圆的位置关系一直是高考命题的重点和热点,离心率问题是每年高考考查的重点,多在选择题和填空题中出现,主要考查学生结合椭圆定义、几何性质等分析问题、解决问题的能力以及运算能力,分值为5分,属于中档题目;在解答题中主要以直线与椭圆的位置关系为考查对象,考查面较广,往往会和平面向量、函数、导数、不等式等知识相结合,在考查对椭圆基本概念和性质理解及应用的同时,又考查直线与圆锥曲线的位置关系,考查数形结合思想和转化与化归思想.破考点【考点集训】考点一 椭圆的定义和标准方程1.“m>n>0”是“曲线mx2+ny2=1为焦点在x轴上的椭圆”的( )A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件答案 D 考点二 椭圆的几何性质2.(2017浙江,2,4分)椭圆x29+y24=1的离心率是( )A.133 B.53 C.23 D.59答案 B 3.(2018课标Ⅱ文,11,5分)已知F1,F2是椭圆C的两个焦点,P是C上的一点.若PF1⊥PF2,且∠PF2F1=60°,则C的离心率为( )A.1-32 B.2-3 C.3-12 D.3-1答案 D 考点三 直线与椭圆的位置关系4.(2014辽宁,20,12分)圆x2+y2=4的切线与x轴正半轴,y轴正半轴围成一个三角形,当该三角形面积最小时,切点为P(如图).(1)求点P的坐标;(2)焦点在x轴上的椭圆C过点P,且与直线l:y=x+3交于A,B两点.若△PAB的面积为2,求C的标准方程.解析 (1)设切点坐标为(x0,y0)(x0>0,y0>0),则切线斜率为-x0y0,切线方程为y-y0=-x0y0(x-x0),即x0x+y0y=4.此时,两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为S=12·4x0·4y0=8x0y0,由x02+y02=4≥2x0y0知当且仅当x0=y0=2时x0y0有最大值,即S有最小值,因此点P的坐标为(2,2).(2)设C的标准方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),点A(x1,y1),B(x2,y2).由点P在C上知2a2+2b2=1,并由x2a2+y2b2=1,y=x+3得b2x2+43x+6-2b2=0,又x1,x2是方程的根,因此x1+x2=-43b2,x1x2=6-2b2b2,由y1=x1+3,y2=x2+3,得|AB|=2|x1-x2|=2·48-24b2+8b4b2.由点P到直线l的距离为32及S△PAB=12×32|AB|=2得b4-9b2+18=0,解得b2=6或3,因此b2=6,a2=3(舍)或b2=3,a2=6,从而所求C的方程为x26+y23=1.炼技法【方法集训】方法1 求椭圆标准方程的方法1.如图,已知椭圆C的中心为原点O,F(-25,0)为C的左焦点,P为C上一点,满足|OP|=|OF|且|PF|=4,则椭圆C的方程为( )A.x225+y25=1 B.x230+y210=1 C.x236+y216=1 D.x245+y225=1答案 C 方法2 椭圆的离心率(取值范围)的求法2.已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0)和圆C2:x2+y2=b2,若在椭圆C1上存在点P,使得过点P的圆C2的两条切线互相垂直,则椭圆C1的离心率的取值范围是( )A.12,1 B.22,32 C.22,1 D.32,1答案 C 3.(2013福建文,15,4分)椭圆Γ:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,焦距为2c.若直线y=3(x+c)与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2=2∠MF2F1,则该椭圆的离心率等于 . 答案 3-1方法3 解决直线与椭圆位置关系问题的方法4.(2014安徽文,14,5分)设F1,F2分别是椭圆E:x2+y2b2=1(0b>0)相交于A,B两点,若M是线段AB的中点,则椭圆C的离心率等于 . 答案 22过专题【五年高考】A组 自主命题·天津卷题组1.(2018天津文,19,14分)设椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右顶点为A,上顶点为B.已知椭圆的离心率为53,|AB|=13.(1)求椭圆的方程;(2)设直线l:y=kx(k<0)与椭圆交于P,Q两点,l与直线AB交于点M,且点P,M均在第四象限.若△BPM的面积是△BPQ面积的2倍,求k的值.解析 本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力,以及用方程思想解决问题的能力.(1)设椭圆的焦距为2c,由已知有c2a2=59,又由a2=b2+c2,可得2a=3b.由|AB|=a2+b2=13,从而a=3,b=2.所以,椭圆的方程为x29+y24=1.(2)设点P的坐标为(x1,y1),点M的坐标为(x2,y2),由题意,x2>x1>0,点Q的坐标为(-x1,-y1).由△BPM的面积是△BPQ面积的2倍,可得|PM|=2|PQ|,从而x2-x1=2[x1-(-x1)],即x2=5x1.易知直线AB的方程为2x+3y=6,由方程组2x+3y=6,y=kx,消去y,可得x2=63k+2.由方程组x29+y24=1,y=kx,消去y,可得x1=69k2+4.由x2=5x1,可得9k2+4=5(3k+2),两边平方,整理得18k2+25k+8=0,解得k=-89或k=-12.当k=-89时,x2=-9<0,不合题意,舍去;当k=-12时,x2=12,x1=125,符合题意.所以,k的值为-12.解题关键 第(2)问中把两个三角形的面积的关系转化为点P、M的横坐标间的关系,进而得到关于k的方程是求解的难点和关键.2.(2014天津,18,13分)设椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,右顶点为A,上顶点为B.已知|AB|=32|F1F2|.(1)求椭圆的离心率;(2)设P为椭圆上异于其顶点的一点,以线段PB为直径的圆经过点F1,经过原点O的直线l与该圆相切.求直线l的斜率.解析 (1)设椭圆右焦点F2的坐标为(c,0).由|AB|=32·|F1F2|,可得a2+b2=3c2,又b2=a2-c2,则c2a2=12.所以椭圆的离心率e=22.(2)由(1)知a2=2c2,b2=c2.故椭圆方程为x22c2+y2c2=1.设P(x0,y0).由F1(-c,0),B(0,c),有F1P=(x0+c,y0),F1B=(c,c).由已知,有F1P·F1B=0,即(x0+c)c+y0c=0.又c≠0,故有x0+y0+c=0.①又因为点P在椭圆上,故x022c2+y02c2=1.②由①和②可得3x02+4cx0=0.而点P不是椭圆的顶点,故x0=-43c,代入①得y0=c3,即点P的坐标为-4c3,c3.设圆的圆心为T(x1,y1),则x1=-43c+02=-23c,y1=c3+c2=23c,进而圆的半径r=(x1-0)2+(y1-c)2=53c.设直线l的斜率为k,依题意,直线l的方程为y=kx.由l与圆相切,可得|kx1-y1|k2+1=r,即k-2c3-2c3k2+1=53c,整理得k2-8k+1=0,解得k=4±15.所以直线l的斜率为4+15或4-15.3.(2012天津文,19,14分)已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0),点P55a,22a在椭圆上.(1)求椭圆的离心率;(2)设A为椭圆的左顶点,O为坐标原点.若点Q在椭圆上且满足|AQ|=|AO|,求直线OQ的斜率的值.解析 (1)因为点P55a,22a在椭圆上,故a25a2+a22b2=1,可得b2a2=58.于是e2=a2-b2a2=1-b2a2=38,所以椭圆的离心率e=64.(2)设直线OQ的斜率为k,则其方程为y=kx.设点Q的坐标为(x0,y0).由条件得y0=kx0,x02a2+y02b2=1.消去y0并整理得x02=a2b2k2a2+b2.①由|AQ|=|AO|,A(-a,0),及y0=kx0,得(x0+a)2+k2x02=a2.整理得(1+k2)x02+2ax0=0,而x0≠0,故x0=-2a1+k2,代入①,整理得(1+k2)2=4k2·a2b2+4.由(1)知a2b2=85,故(1+k2)2=325k2+4,即5k4-22k2-15=0,可得k2=5.所以直线OQ的斜率k=±5.评析本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、平面内两点间的距离公式等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质,以及数形结合的思想方法,考查运算求解能力、综合分析和解决问题的能力.B组 统一命题、省(区、市)卷题组考点一 椭圆的定义和标准方程1.(2015广东文,8,5分)已知椭圆x225+y2m2=1(m>0)的左焦点为F1(-4,0),则m=( )A.2 B.3 C.4 D.9答案 B 2.(2017北京,19,14分)已知椭圆C的两个顶点分别为A(-2,0),B(2,0),焦点在x轴上,离心率为32.(1)求椭圆C的方程;(2)点D为x轴上一点,过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M,N,过D作AM的垂线交BN于点E.求证:△BDE与△BDN的面积之比为4∶5.解析 本题考查椭圆的方程和性质,直线的方程等知识,考查运算求解能力.(1)设椭圆C的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0).由题意得a=2,ca=32,解得c=3.所以b2=a2-c2=1.所以椭圆C的方程为x24+y2=1.(2)证明:设M(m,n),则D(m,0),N(m,-n).由题设知m≠±2,且n≠0.直线AM的斜率kAM=nm+2,故直线DE的斜率kDE=-m+2n.所以直线DE的方程为y=-m+2n(x-m).直线BN的方程为y=n2-m(x-2).联立y=-m+2n(x-m),y=n2-m(x-2),解得点E的纵坐标yE=-n(4-m2)4-m2+n2.由点M在椭圆C上,得4-m2=4n2.所以yE=-45n.又S△BDE=12。
