企业养老金制度改革的数学模型(国一).doc

1企业养老金制度改革的数学模型摘要本文主要通过研究山东省企业养老保险金的相关问题，从而进一步研究了我国处 于过渡期中企业养老金制度改革问题问题一：工资增长应与国家经济的增长相关，针对预测 2011 年至 2035 年的山东 省职工的年平均工资，则建立时间序列下的“经济阻滞增长模型” （logistic 模型） ， 并利用 MATLAB 软件进行非线性拟合，预测得到 2011 年至 2035 年的山东省职工的年平 均工资问题二：考虑到企业各年龄段职工工资与该企业平均工资之比可看作职工缴费指 数的参考值，利用题中附件 3 和已知条件，利用统计学中“组中值”的相关定义计算 得出了个年龄阶段的缴费指数的参考值，并通过二次拟合得出了 60～65 岁缴费指数 建立了各种情况下养老金替代率的数学模型，通过计算，得出问题二中六种情况下的 养老金替代率问题三：通过对问题中三种情况分析，建立了不同情况下计算缺口值的数学模型， 利用 MATLAB 计算出了三种情况在 75 岁死亡的缺口值再根据三种情况下，其缴存的 养老保险基金与其领取的养老金之间达到收支平衡时，该职工的年龄分别为 74 岁、78 岁、84 岁。

问题四：为了达到目标替代率和维持养老保险基金收支平衡，综合各种措施分别 从定性、定量的角度进行分析提出了三种有效措施：1、增大职工的缴费年限；2、 延长职工的退休年龄；3、适当增加企业缴纳养老保险基金与职工工资总额的比例本文在建立时间序列下的经济阻滞增长模型的基础上，求出了不同情况下的养老 保险金的替代率和缺口值通过对各种因素进行分析，提出既要达到目标替代率，又 要维持养老保险基金收支平衡的有效措施，较好的解决了企业养老金改革的相关问题关键词关键词：阻滞增长模型 替代率 收支平衡 养老保险金2一、问题重述养老金也称退休金，是一种根据劳动者对社会所作贡献及其所具备享受养老保险 的资格，以货币形式支付的保险待遇，用于保障职工退休后的基本生活需要我国企业把职工工资总额按一定比例（20%）作为基础养老金，再把职工个人工 资按一定比例（8%）缴纳到个人账户退休后，按职工在职期间每月（或年）的缴费 工资与社会平均工资之比（缴费指数） ，再考虑到退休前一年的社会平均工资等因素， 然后基础养老金加上个人账户养老金作为退休后每个月的养老金养老金会随着社会 平均工资的调整而调整如果职工死亡，基础养老金不退给职工而个人账户中的余额 可继承。

个人账户储存额以银行当时公布的一年期存款利率计息，利率统一设定为 3%影响养老保险基金收支平衡的一个重要因素是替代率替代率是指职工刚退休时 的养老金占退休前工资的比例按照国家对基本养老保险制度的总体思路，未来基本 养老保险的目标替代率确定为 58.5%. 替代率较低，退休职工的生活水准低，养老保险 基金收支平衡容易维持；替代率较高，退休职工的生活水准就高，养老保险基金收支 平衡较难维持，可能出现缺口所谓缺口，是指当养老保险基金入不敷出时出现的收 支之差 附件 1 是山东省职工历年平均工资数据；附件 2 是 2009 年山东省某企业各年龄段 职工的工资分布情况，附件 3 是养老金的计算办法请建立数学模型，解决如下问题：问题一：对未来中国经济发展和工资增长的形势做出你认为是简化、合理的假设， 并参考附件 1，预测从 2011 年至 2035 年的山东省职工的年平均工资 问题二：根据附件 2 计算 2009 年该企业各年龄段职工工资与该企业平均工资之比 如果把这些比值看作职工缴费指数的参考值，考虑该企业职工自 2000 年起分别从 30 岁、40 岁开始缴养老保险，一直缴费到退休（55 岁，60 岁，65 岁） ，计算各种情况下 的养老金替代率。

问题三：假设该企业某职工自 2000 年起从 30 岁开始缴养老保险，一直缴费到退 休（55 岁，60 岁，65 岁） ，并从退休后一直领取养老金，至 75 岁死亡计算养老保险 基金的缺口情况，并计算该职工领取养老金到多少岁时，其缴存的养老保险基金与其 领取的养老金之间达到收支平衡 问题四：如果既要达到目标替代率，又要维持养老保险基金收支平衡，你认为可 以采取什么措施请给出你的理由二、模型假设1、假设在 2010～2035 年山东省的经济不会出现较大的震荡，并维持相对稳定 2、假设在问题 2 中各范围的工资部分相对稳定 3、假设企业缴纳的基本养老保险基金与职工个人缴纳的个人账户养老基金按年度按时 缴纳，不会出现中断 4、假设在 2011～2035 年，山东省养老制度基本不变 5、假设以 2009 年为参照水平，各年龄阶段职工工资与社会平均工资之比以及各年龄3阶段平均工资与企业平均企业工资之比不变 6、假设职工在退休时的个人账户存储额不再产生利息 7、假设养老保险金不存在隐性债务危机三、符号说明取分别表示对应年t1,2,,58L19782035:表示按阻滞增长第 年省平均工资tyt表示第 个年龄段的平均工资与企业的平均工资之比，且ii1,2,,9i L表示第 个年龄段的平均工资与社会的平均工资之比，且ioi1,2,,9i L表示替代率，且kR1,2,,6k L表示退休时的养老金kh表示基础养老金kho表示个人帐户养老金kh表示退休前的工资kw其他参数，文中另作说明四、模型的建立与求解4.1 问题一 4.1.1 问题的分析 从 1978 年开始，中国步入改革开放的新时代。

在相关政策的实施下，中国的经济 处于蓬勃的发展问题一要求预测 2011 年到 2035 年山东省职工的年平均工资，而工 资的增长由于经济增长相关所以，在预测 2011 年到 2035 年的职工年平均工资，就 必须对经济发展和工资增长的形式作出合理的、简化的假设 首先，应该对附件一的数据进行分析，画出经济增长的散点图根据工资增长的 趋势，进行函数拟合然后，在对拟合出的函数进行检验，检验其是否符合经济变化 的趋势如果不符合经济增长的规律，就必须对拟合的函数进行改进，直到拟合出的 工资增长函数与经济变化和市场经济的客观规律相符合那么通过拟合出的函数预测 2011 年到 2035 年山东省职工年平均工资就符合市场经济变化趋势最后，还要用拟合 的函数算出 1978 年到 2010 年的年平均工资，与已知数据对比，进行拟合度检验4.1.2 模型一的分析与建立由题目附件一给出的山东省 1978 年到 2010 年职工年平均工资数据作出如下表格 （表一）：4表 一 山东省职工历年平均工资统计表年份197819791980198119821983198419851986平均 工资56663274575576978998511101313年份198719881989190019911992199319941995平均 工资142817821920215022922601314943385145年份199619971998199920002001200020022003平均 工资5809624168547656877210007113741256714332年份2004200520062007200820092010平均 工资16614192282284426404296883207416614根据以上表格中的数据利用 MATLAB 数学软件画出年份与平均工资的散点图：0510152025303500.511.522.533.5x 104与 与与 与 与 与 与与 与 与 与 与 与 1978与 2010与 与 与 与 与 与 与 与 与图 1 由图 1 可以观察，职工年平均工资呈指数型增长，因此建立如下拟合函数（1）bxyae4.1.3 模型的求解将（1）式进行线性化处理，等式两边同时取对数，得5lnlnyabx令则该方程变为12ln,ln,,yYab12Yx利用 MATLAB 求解模型可得出，从而126.0398,0.131916.0398419.8091ee则年份与平均工资的关系为：（2）0.1319419.8091xye由（1） 、 （2）式可以可以绘制出原图形与拟合图像：0510152025303500.511.522.533.5x 104与 与与 与 与 与 与与 与 与 与 与 与 与 与 与 与 与图 2 观察上图可以看出，模型拟合度比较好，在 1978 年到 2010 年间，用指数函数拟 合的年平均工资与已知的年平均工资非常逼近。

但是，模型一存在着如下不足：当年 份时，职工年平均工资这明显与实际情况不相符，经济不可能达到无限t  c   增长此模型还存在不足，因此，模型还有待改善4.1.5 模型一的改进基于模型一的不足，考虑到人口老龄化而导致劳动力减弱，农村劳动力转移城镇等 多种可能情况对经济增长的影响，借助“人口阻滞模型”的相关规律，在经济增长的6规律中，经济不可能无限增长那么，可以认为在经济增长的过程中，也存在着类似 “阻滞模型”变化的规律仍引用表一的数据，借助“人口阻滞模型”类似的可以得到如下“经济阻滞模型”（3） (1)01 (1)mr tmNyNeN 其中，表示职工年平均工资可能取到的最大值；为 1978 年的职工年平均工mN0N资； 为经济自然增长率；（分别表示年） r1,2,,58;t L19782035:元，年，利用 MATLAB 进行非线性拟合，编写程序（附录一）计0566N 33x 算得出：，290000.0000mN0.1295r 则函数表达式为：（4） 0.1295(1)290000 2900001 (1)566ty e 用非线性拟合出图形为：010203040506000.511.522.5x 105与 与与 与 与 与 与与 与 与 与 与 与 与 与 与图 3 由图 3 可以看出，此模型拟合度较高，随着时间的增加在某一点将会出现“拐点” ； 之后，年平均工资增长将会趋于相对稳定。

而由公式（4）可知，随年份时，职x   工年平均工资将会最终趋于稳定这也和市场经济的客观规律相吻合，还符合中国经 济发展的要求因为，在 21 世纪中叶中国的人均国民生产总值将会达到中等发到国家7的水平，经济发展将会变缓由图 3 观察， “拐点”将出现在在二十一世纪中叶所以 “经济阻滞增长”模型符合客观实际 预测出年山东省平均工资（表二）：20102035:表 二 年山东省平均工资20102035: 年份20112012201320142015 年平均 工资35654.2739904.1844571.9049677.1655235.58年份20162017201820192020 年平均 工资61257.4067746.2874698.0582099.6689928.35年份20212022202320242025 年平均 工资98151.12106724.68115595.91124702.80133976.01年份20262027202820292030 年平均 工资143340.82152719.49162033.84171207.79180169.86年份20312032203320342035 年平均 工资188855.24197207.52205179.86212735.62219848.444.2 问题二 4.2.1 问题的分析问题二需要解决的问题是养老金替代率，即是指劳动者退休时的养老金领取水平 与退休前工资收入水平之间的比率。

它是衡量劳动者退休前后生活保障水平差异的 基本指标之一 从题目以及附件三中的相关信息可得：=100%刚退休时的养老金替代率退休前工资=+刚退休时的养老金基础养老金个人账户养老金=+基础养老金（全省上年度在岗职工月平均工资本人指数化月平均工资）21% 缴费年限=12全省上年度月平均工资退休前一年预测全省职工年平均工资=本人指数月平。