高中数学 第二节 直线与圆的位置关系课件 理 新人教A版选修41.ppt

第二节 直线与圆的位置关系1.1.圆周角和圆心角定理圆周角和圆心角定理(1)(1)圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的______________的一半的一半. .(2)(2)圆心角定理：圆心角的度数等于圆心角定理：圆心角的度数等于__________________的度数的度数. .推论推论1 1：同弧或等弧所对的：同弧或等弧所对的______________相等；同圆或等圆中，相等相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的的圆周角所对的______也相等也相等. .推论推论2 2：半圆：半圆( (或直径或直径) )所对的圆周角是所对的圆周角是__________；；9090°°的圆周角所的圆周角所对的弦是对的弦是_____._____.圆心角圆心角它所对弧它所对弧圆周角圆周角弧弧直角直角直径直径2.2.圆的内接四边形的性质与判定定理圆的内接四边形的性质与判定定理 定理定理1 1：圆的内接四边形的对角：圆的内接四边形的对角_____._____. 定理定理2 2：圆内接四边形的外角等于：圆内接四边形的外角等于 它的它的___________.___________. 定理：如果一个四边形的对角互补，定理：如果一个四边形的对角互补， 那么这个四边形的四个顶点那么这个四边形的四个顶点_____._____. 推论：如果四边形的一个外角等于它的推论：如果四边形的一个外角等于它的 内角的对角，那么这个四边形的四个内角的对角，那么这个四边形的四个 顶点共圆顶点共圆. .互补互补内角的对角内角的对角共圆共圆3.3.圆的切线的性质与判定及弦切角定理圆的切线的性质与判定及弦切角定理(1)(1)圆的切线的性质与判定圆的切线的性质与判定. .性质定理：圆的切线垂直于经过切点的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的_____._____.推论推论1 1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过：经过圆心且垂直于切线的直线必经过_____._____.推论推论2 2：经过切点且垂直于切线的直线必经过：经过切点且垂直于切线的直线必经过_____._____.判定定理：经过半径的外端并且判定定理：经过半径的外端并且__________于这条半径的直线是圆于这条半径的直线是圆的切线的切线. .(2)(2)弦切角定理弦切角定理. .弦切角等于它所夹的弧所对的弦切角等于它所夹的弧所对的_______._______.半径半径切点切点圆心圆心垂直垂直圆周角圆周角4.4.与圆有关的比例线段与圆有关的比例线段定理定理内容内容相交弦定理相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积的积__________割线定理割线定理从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积线与圆的交点的两条线段长的积__________切割线定理切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，从圆外一点引圆的切线和割线，______________是这是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项切线长定理切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的从圆外一点引圆的两条切线，它们的______________相相等，圆心和这一点的连线平分等，圆心和这一点的连线平分__________________的夹角的夹角相等相等相等相等切线长切线长切线长切线长两条切线两条切线判断下面结论是否正确判断下面结论是否正确( (请在括号中打请在括号中打““√√””或或““×”×”).).(1)(1)圆心角等于圆周角的圆心角等于圆周角的2 2倍倍.( ).( )(2)(2)相等的圆周角所对的弧也相等相等的圆周角所对的弧也相等.( ).( )(3)(3)任意一个四边形、三角形都有外接圆任意一个四边形、三角形都有外接圆.( ).( )(4)(4)等腰梯形一定有外接圆等腰梯形一定有外接圆.( ).( )(5)(5)弦切角所夹弧的度数等于弦切角的度数弦切角所夹弧的度数等于弦切角的度数.( ).( )【解析【解析】】(1)(1)错误，若弧不一样，则圆心角与圆周角的关系不错误，若弧不一样，则圆心角与圆周角的关系不确定确定. .(2)(2)错误，只有同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧才相等错误，只有同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧才相等．．(3)(3)错误，任意一个四边形不一定有外接圆，但任意一个三角错误，任意一个四边形不一定有外接圆，但任意一个三角形一定有外接圆形一定有外接圆. .(4)(4)正确，正确， 可以推出等腰梯形的对角互补，所以有外接圆可以推出等腰梯形的对角互补，所以有外接圆. .(5)(5)错误错误, ,弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角，所夹的弧的度弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角，所夹的弧的度数等于该弧所对圆心角的度数，所以弦切角所夹弧的度数等于数等于该弧所对圆心角的度数，所以弦切角所夹弧的度数等于弦切角度数的弦切角度数的2 2倍倍. .答案答案: :(1)(1)×× (2) (2)×× (3) (3)×× (4)√ (5) (4)√ (5)××考向考向 1 1 圆周角定理圆周角定理【典例【典例1 1】】(1)(2013(1)(2013··中山模拟中山模拟) )如图，如图，ABAB为为⊙O⊙O的直径，弦的直径，弦ACAC，，BDBD交于点交于点P P，若，若ABAB＝＝3 3，，CDCD＝＝1 1，则，则sin∠CBDsin∠CBD＝＝____.____.(2)(2013(2)(2013··汕头模拟汕头模拟) )点点A A，，B B，，C C是圆是圆O O上的点，且上的点，且ABAB＝＝2 2，，BCBC＝＝ ∠CAB∠CAB＝＝ 则则∠ABC=____∠ABC=____．．【思路点拨【思路点拨】】(1)(1)连接连接ADAD，结合圆周角定理、正弦定理得到，结合圆周角定理、正弦定理得到 再利用再利用AD=ABsin∠ABDAD=ABsin∠ABD求解．求解．(2)(2)连接连接COCO，把，把∠CAB∠CAB＝＝ 转化为转化为∠BOC∠BOC＝＝ 利用等腰三角形利用等腰三角形BOCBOC求出半径，可得求出半径，可得△AOB△AOB为等腰直角三角形，再利用圆周角定为等腰直角三角形，再利用圆周角定理转化即可理转化即可. .【规范解答【规范解答】】(1)(1)连接连接ADAD，，因为因为ABAB是圆是圆O O的直径，的直径，所以所以∠ADB∠ADB＝＝∠ACB∠ACB＝＝9090°°. .又又∠ACD∠ACD＝＝∠ABD∠ABD，，∠CBD∠CBD＝＝∠CAD∠CAD，，所以在所以在△ACD△ACD中，中，由正弦定理得：由正弦定理得：＝＝ ＝＝ABAB＝＝3 3，又，又CDCD＝＝1 1，，所以所以sin∠CADsin∠CAD＝＝ 又又∠CBD∠CBD＝＝∠CAD∠CAD，，所以所以sin∠CBDsin∠CBD＝＝答案答案: :(2)(2)连接连接COCO，因为，因为∠CAB∠CAB＝＝ 所所以优弧以优弧BCBC所对的圆心角为所对的圆心角为从而从而∠BOC∠BOC＝＝ 在等腰三角形在等腰三角形BOCBOC中可求得半径中可求得半径OBOB＝＝ 因为因为ABAB＝＝2 2，所以，所以△AOB△AOB为等腰直角三角为等腰直角三角形，所以形，所以∠AOB= ∠AOB= 所以所以∠∠AOC= ,∠ABC= ∠AOC= .AOC= ,∠ABC= ∠AOC= .答案答案: :【拓展提升【拓展提升】】圆周角定理常用的三种转化圆周角定理常用的三种转化(1)(1)圆周角与圆周角之间的转化圆周角与圆周角之间的转化. .(2)(2)圆周角与圆心角之间的转化圆周角与圆心角之间的转化. .(3)(3)弧的度数与圆心角和圆周角之间的转化弧的度数与圆心角和圆周角之间的转化. .【变式训练【变式训练】】(1)(1)如图所示，圆的内接三角形如图所示，圆的内接三角形ABCABC的角平分线的角平分线BDBD与与ACAC交于点交于点D D，与圆交于点，与圆交于点E E，连接，连接AEAE，已知，已知EDED＝＝3 3，，BDBD＝＝6 6，则，则线段线段AEAE的长＝的长＝____.____.【解析【解析】】∵∠E∵∠E＝＝∠E∠E，，BEBE平分平分∠ABC∠ABC，，∠EAD=∠EBC∠EAD=∠EBC，所以，所以∠EAD∠EAD＝＝∠EBA∠EBA，，∴△EDA∽△EAB∴△EDA∽△EAB，，∴ ∴ 即即AEAE2 2＝＝EDED··BEBE＝＝3 3××9 9＝＝2727，，∴AE∴AE＝＝答案答案: :(2)(2)如图，已知如图，已知PAPA，，PBPB是圆是圆O O的切线，的切线，A A，，B B分别为切点，分别为切点，C C为圆为圆O O上上不与不与A A，，B B重合的另一点，若重合的另一点，若∠ACB = 120∠ACB = 120°°，则，则∠∠APB =____.APB =____.【解析【解析】】如图所示，连接如图所示，连接OAOA，，OB, ∵∠ACB =120OB, ∵∠ACB =120°°. .∴∴优弧优弧ABAB所对的圆心角为所对的圆心角为240240°°，从而，从而∠∠AOB=120AOB=120°°. .又又PA,PBPA,PB是圆是圆O O的切线，的切线，∴∠OAP=∠OBP=90∴∠OAP=∠OBP=90°°，，∴∠∴∠APB=60APB=60°°. .答案答案: :6060°°考向考向 2 2 圆内接四边形的判定与性质圆内接四边形的判定与性质【典例【典例2 2】】(1)(1)如图所示，在梯形如图所示，在梯形ABCDABCD中，中，AD∥BCAD∥BC，点，点E E，，F F分别分别在边在边ABAB，，CDCD上，设上，设EDED与与AFAF相交于点相交于点G G，若，若B B，，C C，，F F，，E E四点共四点共圆．且圆．且AGAG＝＝1 1，，GFGF＝＝2 2，，DGDG＝＝ 则则GEGE＝＝____.____.(2)(2)如图所示，已知如图所示，已知APAP是是⊙O⊙O的切线，的切线，P P为切点，为切点，ACAC是是⊙O⊙O的割线，的割线，与与⊙O⊙O交于交于B B，，C C两点，圆心两点，圆心O O在在∠PAC∠PAC的内部，点的内部，点M M是是BCBC的中点．的中点．若若∠OAM=25∠OAM=25°°，则，则∠APM =____∠APM =____．．【思路点拨【思路点拨】】(1)(1)连接连接EFEF，由，由AD∥BCAD∥BC及及B B，，C C，，F F，，E E四点共圆，四点共圆，可判断可判断A A，，D D，，F F，，E E四点共圆，再利用相交弦定理求四点共圆，再利用相交弦定理求GE.(2)GE.(2)连接连接OPOP，，OMOM，可证，可证 A A，，P P，，O O，，M M四点共圆，由四点共圆，由∠OAM∠OAM＝＝∠OPM∠OPM即可求即可求解解. .【规范解答【规范解答】】(1)(1)如图所示，如图所示，连接连接EF.EF.∵B∵B，，C C，，F F，，E E四点共圆，四点共圆，∴∠ABC∴∠ABC＝＝∠∠EFD.EFD.∵AD∥BC∵AD∥BC，，∴∠BAD∴∠BAD＋＋∠ABC∠ABC＝＝180180°°. .∴∠BAD∴∠BAD＋＋∠EFD∠EFD＝＝180180°°. .∴A∴A，，D D，，F F，，E E四点共圆．四点共圆．由相交弦定理，由相交弦定理，可得可得AGAG··GFGF＝＝DGDG··GE.GE.因此因此答案答案: :(2)(2)连接连接OPOP，，OM.OM.∵AP∵AP与与⊙O⊙O相切于点相切于点P P，，∴∴OP⊥AP.OP⊥AP.∵M∵M是是⊙O⊙O的弦的弦BCBC的中点，的中点，∴∴OM⊥BC,OM⊥BC,∴∠OPA∴∠OPA＋＋∠OMA∠OMA＝＝180180°°, ,∴A∴A，，P P，，O O，，M M四点共圆．四点共圆．∴∠OAM∴∠OAM＝＝∠∠OPM =25OPM =25°°, ,∴∠APM∴∠APM＝＝9090°°-25-25°°=65=65°°. .答案答案: :6565°°【拓展提升【拓展提升】】圆内接四边形的重要结论圆内接四边形的重要结论(1)(1)内接于圆的平行四边形是矩形内接于圆的平行四边形是矩形. .(2)(2)内接于圆的菱形是正方形内接于圆的菱形是正方形. .(3)(3)内接于圆的梯形是等腰梯形内接于圆的梯形是等腰梯形. .【变式训练【变式训练】】(2013(2013··广州模拟广州模拟) )如图，如图，⊙O⊙O中，直径中，直径ABAB和弦和弦DEDE互相垂直，互相垂直，C C是是DEDE延长线上一点，连接延长线上一点，连接BCBC与圆与圆O O交于交于F F，若，若∠CFE=40∠CFE=40°°，则，则∠∠DEB=____.DEB=____.【解析【解析】】∵AB⊥DE∵AB⊥DE，，∴∠BDE=∠DEB,∴∠BDE=∠DEB,根据圆的内接四边形性质根据圆的内接四边形性质定理，定理，∠∠BDE=∠CFE,∴∠DEB=∠CFE=40BDE=∠CFE,∴∠DEB=∠CFE=40°°. .答案答案: :4040°°考向考向 3 3 圆的切线的性质与判定、弦切角定理圆的切线的性质与判定、弦切角定理【典例【典例3 3】】(1)(2012(1)(2012··广东高考广东高考) )如图，圆如图，圆O O的半径为的半径为1 1，，A A，，B B，，C C是圆周上的三点，满足是圆周上的三点，满足∠ABC=30∠ABC=30°°，过点，过点A A作圆作圆O O的切线与的切线与OCOC的延长线交于点的延长线交于点P P，则，则PA=____.PA=____.(2)(2)如图所示，如图所示，ABAB是是⊙O⊙O的直径，的直径，⊙O⊙O过过BCBC的中点的中点D D，，DE⊥AC.DE⊥AC.若若∠ADE∠ADE＝＝5050°°，则，则∠ABD∠ABD＝＝____.____.【思路点拨【思路点拨】】(1)(1)连接连接OAOA，，ACAC从而可得从而可得△AOC△AOC为等边三角形，为等边三角形，∠PAC=30∠PAC=30°°,△PAC,△PAC为等腰三角形，再由为等腰三角形，再由AC=CP=1AC=CP=1可得结果可得结果. .(2)(2)连接连接ODOD，证明，证明DEDE是圆是圆O O的切线，再利用弦切角定理进行转化的切线，再利用弦切角定理进行转化即可即可. .【规范解答【规范解答】】(1)(1)连接连接AOAO，，ACAC，因为，因为∠∠ABC=30ABC=30°°, ,∴∠CAP=30∴∠CAP=30°°, , ∠AOC=60∠AOC=60°°. .又又∵OA=OC∵OA=OC，，∴△AOC∴△AOC为等边三角形，则为等边三角形，则∠∠ACP=120ACP=120°°, ,∴∠APC=30∴∠APC=30°°,∴△ACP,∴△ACP为等腰三角形，为等腰三角形，且且AC=CP=1,∴AP=2AC=CP=1,∴AP=2××1 1××sin 60sin 60°°= =答案答案: :(2)(2)连接连接OD.∵BDOD.∵BD＝＝CDCD，，OAOA＝＝OBOB，，∴OD∴OD是是△ABC△ABC的中位线的中位线, ,∴OD∥AC.∴OD∥AC.又又∵∠DEC∵∠DEC＝＝9090°°，，∴∠ODE∴∠ODE＝＝9090°°. .又又∵D∵D在圆周上，在圆周上，∴DE∴DE是是⊙O⊙O的切线．的切线．因此因此∠ABD∠ABD＝＝∠ADE∠ADE＝＝5050°°. .答案答案: :5050°°【互动探究【互动探究】】若例若例(2)(2)条件不变，则条件不变，则∠∠BAC=____.BAC=____.【解析【解析】】∵OD⊥DE∵OD⊥DE，，∠ADE=50∠ADE=50°°，，∴∠∴∠ADO=40ADO=40°°. .∵OD=OA∵OD=OA，，∴∠DAO=∠ADO=40∴∠DAO=∠ADO=40°°.∵OD∥AE.∵OD∥AE，，∴∠DAE=∠ADO=40∴∠DAE=∠ADO=40°°，，∴∠∴∠BAC=∠DAE+∠DAO=40BAC=∠DAE+∠DAO=40°°+40+40°°=80=80°°. .答案答案: :8080°°【拓展提升【拓展提升】】证明直线是圆的切线的常用方法证明直线是圆的切线的常用方法(1)(1)若已知直线与圆有公共点，则需证明圆心与公共点的连线若已知直线与圆有公共点，则需证明圆心与公共点的连线垂直于已知直线即可垂直于已知直线即可. .(2)(2)若已知直线与圆没有明确的公共点，则需证明圆心到直线若已知直线与圆没有明确的公共点，则需证明圆心到直线的距离等于圆的半径．的距离等于圆的半径． 【提醒【提醒】】在求解有关角与长度的问题时，注意运用初中阶段所在求解有关角与长度的问题时，注意运用初中阶段所学的知识，如平行线的判定与性质、中垂线的性质、等腰三角学的知识，如平行线的判定与性质、中垂线的性质、等腰三角形的三线合一、直角三角形的性质等，只有这样才能更灵活地形的三线合一、直角三角形的性质等，只有这样才能更灵活地解决问题解决问题. .【变式备选【变式备选】】(1)(1)如图所示，如图所示，ABAB为为⊙O⊙O的直径，的直径，C C为为⊙O⊙O上一点，上一点，ADAD和过和过C C点的切线互相垂直，垂足为点的切线互相垂直，垂足为D.D.若若∠BAC∠BAC＝＝3535°°，则，则∠CAD∠CAD＝＝____.____.【解析【解析】】连接连接OC.OC.∵CD∵CD是是⊙O⊙O的切线，的切线，∴∴OC⊥CD.OC⊥CD.又又∵AD⊥CD∵AD⊥CD，，∴OC∥AD.∴OC∥AD.由此得由此得∠ACO∠ACO＝＝∠∠CAD.CAD.∵OC∵OC＝＝OAOA，，∴∠BAC∴∠BAC＝＝∠∠ACO.ACO.∴∠CAD∴∠CAD＝＝∠BAC.∠BAC.又又∠BAC∠BAC＝＝3535°°，，故故∠CAD∠CAD＝＝3535°°. .答案答案: :3535°°(2)(2013(2)(2013··湛江模拟湛江模拟) )如图，已知如图，已知PAPA是圆是圆O O的切线，切点为的切线，切点为A A，直，直线线POPO交圆交圆O O于于B,CB,C两点，两点，ACAC＝＝2 2，，∠PAB∠PAB＝＝120120°°，则圆，则圆O O的面积为的面积为________．． 【解析【解析】】由题意知由题意知∠BAC∠BAC＝＝9090°°，则，则∠PAC∠PAC＝＝120120°°－－9090°°＝＝3030°°. .由弦切角定理知，由弦切角定理知，∠B∠B＝＝3030°°，，∴BC∴BC＝＝2AC2AC＝＝4 4，，∴∴圆圆O O的面积的面积S S＝＝4π.4π.答案答案: :4π4π考向考向 4 4 与圆有关的比例线段与圆有关的比例线段【典例【典例4 4】】(1)(2012(1)(2012··天津高考天津高考) )如图，已知如图，已知ABAB和和ACAC是圆的两条是圆的两条弦，过点弦，过点B B作圆的切线与作圆的切线与ACAC的延长线相交于点的延长线相交于点D D，过点，过点C C作作BDBD的的平行线与圆相交于点平行线与圆相交于点E E，与，与ABAB相交于点相交于点F F，，AF=3AF=3，，FB=1FB=1，，EF= EF= 则线段则线段CDCD的长为的长为____.____.(2)(2)如图，如图，△ABC△ABC是是⊙O⊙O的内接三角形，的内接三角形，PAPA是是⊙O⊙O的切线，的切线，PBPB交交ACAC于点于点E E，交，交⊙O⊙O于点于点D.D.若若PA=PEPA=PE，，∠ABC=60∠ABC=60°°，，PD=1PD=1，，PB=9PB=9，则，则PA=____PA=____，，EC=_____.EC=_____.【思路点拨【思路点拨】】(1)(1)利用相交弦定理求利用相交弦定理求CF,CF,再利用切割线定理和比再利用切割线定理和比例线段有关知识列方程求解例线段有关知识列方程求解. .(2)(2)利用切割线定理求利用切割线定理求PAPA的长度，再判断的长度，再判断△PAE△PAE为等边三角形，为等边三角形，最后用相交弦定理求最后用相交弦定理求EC.EC.【规范解答【规范解答】】(1)(1)因为因为AFAF··FB=CFFB=CF··FE,FE,所以所以CF=2,CF=2,又又∵ ∴∵ ∴BD=BD=∵CF∥BD∵CF∥BD，，∴∴设设CD=x,CD=x,则则AD=4x,∴BDAD=4x,∴BD2 2=x=x··4x4x，，∴∴x= .x= .答案答案: :(2)(2)由切割线定理可知由切割线定理可知PAPA2 2=PD=PD··PB=1PB=1××9 9，，∴PA=3.∵∠ABC=∠PAC=60∴PA=3.∵∠ABC=∠PAC=60°°，，PA=PEPA=PE，，∴△APE∴△APE为等边三角形，为等边三角形，∴AE=AP=3∴AE=AP=3，，∵PD=1∵PD=1，，∴ED=PE-PD=2∴ED=PE-PD=2，，BE=PB-PE=6BE=PB-PE=6，，由相交弦定理可知：由相交弦定理可知：AEAE··EC=BEEC=BE··EDED，，∴∴3 3··EC=6EC=6××2 2，，∴∴EC=4.EC=4.答案答案: :3 43 4【互动探究【互动探究】】在本例在本例(1)(1)中，若把条件中，若把条件““EF= EF= ””改为改为““EF=2EF=2””，则，则AD=____.AD=____.【解析【解析】】设设CD=x,CD=x,则则AD=4x,AD=4x,由相交弦定理可得，由相交弦定理可得，AFAF··FB=EFFB=EF··CF,CF,所以所以CF= ,CF= ,又又∵ ∴BD=2∵ ∴BD=2，，又又BDBD2 2=CD=CD··AD,AD,所以所以4=4x4=4x2 2,x=1,,x=1,所以所以AD=4.AD=4.答案答案: :4 4【拓展提升【拓展提升】】与圆有关的比例线段解题思路与圆有关的比例线段解题思路见到圆的两条相交弦就要想到相交弦定理；见到圆的两条割线见到圆的两条相交弦就要想到相交弦定理；见到圆的两条割线就要想到割线定理；见到圆的切线和割线就要想到切割线定理就要想到割线定理；见到圆的切线和割线就要想到切割线定理．．【提醒【提醒】】与圆有关的比例线段问题，常常结合方程思想进行计与圆有关的比例线段问题，常常结合方程思想进行计算，即利用代数方法解决几何问题．算，即利用代数方法解决几何问题．【变式备选【变式备选】】如图所示，已知如图所示，已知P P是是⊙O⊙O外一点，外一点，PDPD为为⊙O⊙O的切的切线，线，D D为切点，割线为切点，割线PEFPEF经过圆心经过圆心O O，若，若PFPF＝＝1212，，PDPD＝＝ 则则∠EFD∠EFD的度数为的度数为________．．【解析【解析】】由切割线定理得由切割线定理得PDPD2 2＝＝PEPE··PFPF⇒⇒PEPE＝＝＝＝4 4⇒⇒EFEF＝＝8 8，，ODOD＝＝4.4.∵OD⊥PD∵OD⊥PD，，ODOD＝＝ POPO，，∴∠P∴∠P＝＝3030°°. .∴∠POD∴∠POD＝＝6060°°，，∠EFD∠EFD＝＝3030°°. .答案答案: :3030°°1 1．如图所示，．如图所示，ABAB，，ACAC是是⊙O⊙O的两条切线，切点分别为的两条切线，切点分别为B B，，C C，，D D是优弧是优弧BCBC上的点，已知上的点，已知∠BAC∠BAC＝＝8080°°，， 那么那么∠BDC∠BDC＝＝____.____.【解析【解析】】连接连接OBOB，，OCOC，则，则OB⊥ABOB⊥AB，，OC⊥ACOC⊥AC，，∴∠BOC∴∠BOC＝＝180180°°－－∠BAC∠BAC＝＝100100°°，，∴∠BDC∴∠BDC＝＝ ∠BOC∠BOC＝＝5050°°. .答案答案: :5050°°2.(20132.(2013··广州模拟广州模拟) )如图所示，过点如图所示，过点D D作圆的切线切于作圆的切线切于B B点，作割点，作割线交圆于线交圆于A A，，C C两点，其中两点，其中BDBD＝＝3 3，，ADAD＝＝4 4，，ABAB＝＝2 2，则，则BCBC＝＝___.___.【解析【解析】】由切割线定理得：由切割线定理得：BDBD2 2＝＝CDCD··ADAD，，∴CD∴CD＝＝又又∵∠A∵∠A＝＝∠DBC∠DBC，，∠D∠D＝＝∠D∠D，，∴△ABD∽△BCD∴△ABD∽△BCD，，∴ ∴ 解得解得BCBC＝＝答案答案: :3 3．如图所示，．如图所示，ABAB，，CDCD是半径为是半径为a a的圆的圆O O的两条弦，它们相交于的两条弦，它们相交于ABAB的中点的中点P P，，PDPD＝＝ ∠OAP∠OAP＝＝3030°°，则，则CPCP＝＝____.____.【解析【解析】】由题意知由题意知OP⊥ABOP⊥AB，且，且AP=BPAP=BP＝＝根据相交弦定理得根据相交弦定理得APAP2 2＝＝CPCP··PDPD，，∴CP∴CP＝＝ . .答案答案: :4.(20124.(2012··湖北高考湖北高考) )如图，点如图，点D D在在⊙O⊙O的弦的弦ABAB上移动，上移动，AB=4AB=4，连，连接接ODOD，过点，过点D D作作ODOD的垂线交的垂线交⊙O⊙O于点于点C C，则，则CDCD的最大值为的最大值为____.____.【解析【解析】】取取ABAB的中点为的中点为E E，连接，连接OCOC，，OEOE，则，则= = 要求要求CDCD的最大值，则点的最大值，则点D D与与E E重合重合. .可知结果可知结果为为2.2.答案答案: :2 25.5.如图所示，如图所示，ACAC为为⊙O⊙O的直径，弦的直径，弦BD⊥ACBD⊥AC于点于点P P，，PC=2PC=2，，PA=8PA=8，，则则cos∠ACBcos∠ACB的值为的值为____.____.【解析【解析】】∵AC∵AC是直径是直径, ,∴∠ABC=90∴∠ABC=90°° ，，又又BD⊥AC,BD⊥AC,BCBC2 2=PC=PC··AC=2AC=2××1010，， ∴∴BC= BC= 在在Rt△BPCRt△BPC中，中，cos∠ACBcos∠ACB= =答案答案: :6 6．． (2013(2013··汕头模拟汕头模拟) )如图所示，正如图所示，正△ABC△ABC的边长为的边长为2 2，点，点M M，，N N分别是边分别是边ABAB，，ACAC的中点，直线的中点，直线MNMN与与△ABC△ABC的外接圆的交点为的外接圆的交点为P P，，Q Q，则线段，则线段PMPM＝＝____.____.【解析【解析】】设设PMPM＝＝x x，则，则QNQN＝＝x x，由相交弦定理可得，由相交弦定理可得PMPM··MQMQ＝＝BMBM··MA,MA,即即x x··(x(x＋＋1)1)＝＝1 1，解得，解得答案答案: :7.7.如图所示，如图所示，BDBD为为⊙O⊙O的直径，的直径，ABAB＝＝ACAC，，ADAD交交BCBC于于E E，，AEAE＝＝2 2，，EDED＝＝4.4.则则ABAB的长为的长为________．．【解析【解析】】∵AB=AC,∴∠ABC∵AB=AC,∴∠ABC＝＝∠C∠C，，又又∵∠C∵∠C＝＝∠D∠D，，∴∠ABC∴∠ABC＝＝∠D∠D，又，又∠BAE∠BAE＝＝∠DAB∠DAB，，∴△ABE∽△ADB∴△ABE∽△ADB，，∴∴ABAB2 2＝＝AEAE··ADAD，，∴AB∴AB＝＝答案答案: :8.(20128.(2012··陕西高考陕西高考) )如图所示，在圆如图所示，在圆O O中，直径中，直径ABAB与弦与弦CDCD垂直，垂直，垂足为垂足为E E，，EF⊥DBEF⊥DB，垂足为，垂足为F F ，若，若AB=6AB=6，，AE=1AE=1，则，则DFDF··DB=____.DB=____.【解析【解析】】连接连接AD,AD,因为因为AB=6AB=6，，AE=1,AE=1,所以所以BE=5, BE=5, 在在Rt△ABDRt△ABD中，中，DEDE2 2=AE=AE··BE=1BE=1××5=5,5=5,在在Rt△BDERt△BDE中中, ,由射影定理得由射影定理得DFDF··DB=DEDB=DE2 2=5.=5.答案答案: :5 59 9．如图所示，．如图所示，ADAD是是⊙O⊙O的切线，的切线，ACAC是是⊙O⊙O的弦，过的弦，过C C作作ADAD的垂线，的垂线，垂足为垂足为B B，，CBCB与与⊙O⊙O相交于点相交于点E E，，AEAE平分平分∠CAB∠CAB，且，且AEAE＝＝2 2，则，则ABAB＝＝__________，，ACAC＝＝_____. _____. 【解析【解析】】∵∠CAE∵∠CAE＝＝∠EAB∠EAB，，∠EAB∠EAB＝＝∠ACB∠ACB，，∴∠ACB∴∠ACB＝＝∠CAE∠CAE＝＝∠EAB.∠EAB.又又∵CB⊥AD∵CB⊥AD，，∴∠ACB∴∠ACB＝＝∠CAE∠CAE＝＝∠EAB∠EAB＝＝3030°°. .又又∵AE∵AE＝＝2 2，，∴AB∴AB＝＝ ACAC＝＝答案答案: :10.10.如图所示，已知圆上的如图所示，已知圆上的 过过C C点的圆的切线与点的圆的切线与BABA的延的延长线交于长线交于E E点，若点，若∠ACE∠ACE＝＝3535°°，则，则∠BCD∠BCD＝＝____.____.【解析【解析】】因为因为 所以所以∠ABC=∠BCD.∠ABC=∠BCD.又因为又因为ECEC与圆相切于与圆相切于点点C C，，故故∠ACE∠ACE＝＝∠ABC.∠ABC.所以所以∠ACE∠ACE＝＝∠∠BCD.BCD.又又∠ACE∠ACE＝＝3535°°，因此，因此∠BCD∠BCD＝＝3535°°. .答案答案: :3535°°11.11.如图所示，四边形如图所示，四边形ABCDABCD是圆是圆O O的内接四边形，延长的内接四边形，延长ABAB和和DCDC相相交于点交于点P P，若，若 则则 的值为的值为__________．．【解析【解析】】由割线定理知：由割线定理知：PBPB··PAPA＝＝PCPC··PDPD，，又又∵PA∵PA＝＝2PB2PB，，PDPD＝＝3PC3PC，，∴∴PBPB··2PB2PB＝＝ PDPD··PDPD，，∴∴PBPB2 2＝＝ PDPD2 2，，∴PB∴PB＝＝ PD.PD.又又∵△PBC∽△PDA∵△PBC∽△PDA，，∴∴答案答案: :1212．如图所示，在．如图所示，在△ABC△ABC中，中，ADAD是高，是高，△ABC△ABC的外接圆直径的外接圆直径AEAE交交BCBC边于点边于点G G，有下列结论：，有下列结论：①①ADAD2 2＝＝BDBD··CDCD；；②②BEBE2 2＝＝EGEG··AEAE；；③AE③AE··ADAD＝＝ABAB··ACAC；；④AG④AG··EGEG＝＝BGBG··CG.CG.其中正确的结论有其中正确的结论有________．．【解析【解析】】①①中仅当中仅当∠BAC∠BAC为直角时才成立；为直角时才成立；②②中仅当中仅当BG⊥AEBG⊥AE时时才成立；因为才成立；因为∠AEB=∠ACD∠AEB=∠ACD，，∠ABE=∠ADC,∠ABE=∠ADC,所以所以△AEB∽△ACD△AEB∽△ACD，故，故 即即AEAE··ADAD＝＝ABAB··ACAC，故，故③③正确；正确；由相交弦定理知由相交弦定理知④④正确．正确．答案答案: :③④③④13.(201213.(2012··广东高考广东高考) )如图所示，直线如图所示，直线PBPB与圆与圆O O相切于点相切于点B,DB,D是是弦弦ACAC上的点，上的点，∠PBA=∠DBA.∠PBA=∠DBA.若若AD=m,ACAD=m,AC=n,=n,则则AB=____.AB=____.【解析【解析】】由题意知由题意知∠ABP=∠ACB=∠ABD∠ABP=∠ACB=∠ABD，，又又∠A=∠A∠A=∠A，所以，所以△△ABD∽△ACB,ABD∽△ACB,所以所以所以所以AB= =AB= =答案答案: :1414．如图所示，四边形．如图所示，四边形ABCDABCD内接于内接于⊙O⊙O，，BCBC是直径，是直径，MNMN与与⊙O⊙O相相切，切点为切，切点为A A，，∠MAB∠MAB＝＝3535°°，则，则∠ADC∠ADC＝＝____.____.【解析【解析】】连接连接BDBD，，由题意知，由题意知，∠ADB∠ADB＝＝∠MAB∠MAB＝＝3535°°，，∠BDC∠BDC＝＝9090°°，故，故∠ADC∠ADC＝＝∠ADB∠ADB＋＋∠BDC∠BDC＝＝125125°°. .答案答案: :125125°°1515．．EBEB，，ECEC是是⊙O⊙O的两条切线，的两条切线，B B，，C C是切点，是切点，A A，，D D是是⊙O⊙O上的两上的两点，如果点，如果∠E∠E＝＝4646°°，，∠DCF∠DCF＝＝3232°°，那么，那么∠BAD∠BAD＝＝_____._____.【解析【解析】】连接连接OBOB，，OCOC，，ACAC，，根据弦切角定理，可得根据弦切角定理，可得∠BAD∠BAD＝＝∠BAC∠BAC＋＋∠CAD∠CAD＝＝ (180(180°°－－∠E)∠E)＋＋∠DCF∠DCF＝＝6767°°＋＋3232°°＝＝9999°°. . 答案答案: :9999°°16.16.如图所示，如图所示，ABAB是是⊙O⊙O的直径，的直径，CBCB切切⊙O⊙O于点于点B B，，CDCD切切⊙O⊙O于点于点D D，直线，直线CDCD交直线交直线ABAB于点于点E.E.若若ABAB＝＝3 3，，EDED＝＝2 2，则，则CBCB的长为的长为______．．【解析【解析】】由切割线定理得，由切割线定理得，EDED2 2＝＝EAEA··EBEB，，∴4∴4＝＝EA(EAEA(EA＋＋3)3)，，∴EA∴EA＝＝1.∵CB1.∵CB是是⊙O⊙O的切线，的切线，∴EB⊥CB∴EB⊥CB，，∴∴EBEB2 2＋＋CBCB2 2＝＝CECE2 2. .又又∵CD∵CD是是⊙O⊙O的切线，的切线，∴CD∴CD＝＝CBCB，，∴∴4 42 2＋＋CBCB2 2＝＝(CB(CB＋＋2)2)2 2，，∴CB∴CB＝＝3.3.答案答案: :3 317.17.如图所示，如图所示，ABAB为为⊙O⊙O的直径，的直径，C C为为⊙O⊙O上一点，上一点，APAP和过和过C C的切的切线互相垂直，垂足为线互相垂直，垂足为P P，过，过B B的切线交过的切线交过C C的切线于的切线于T T，，PBPB交交⊙O⊙O于于Q Q，若，若∠BTC∠BTC＝＝120120°°，，ABAB＝＝4 4，则，则PQPQ··PBPB＝＝____.____.【解析【解析】】连接连接OCOC，，ACAC，则，则OC⊥PCOC⊥PC，则，则O O，，C C，，T,BT,B四点共圆，四点共圆，∵∠BTC∵∠BTC＝＝120120°°，，∴∠COB∴∠COB＝＝6060°°，， 故故∠AOC∠AOC＝＝120120°°. .由由AOAO＝＝OCOC＝＝2 2，知，知ACAC＝＝在在Rt△APCRt△APC中，中，∠ACP∠ACP＝＝6060°°，，因此因此PCPC＝＝根据切割线定理得根据切割线定理得PQPQ··PBPB＝＝PCPC2 2＝＝3.3.答案答案: :3 31818．．(2013(2013··佛山模拟佛山模拟) )如图所示，如图所示，ABAB是是⊙O⊙O的直径，的直径，D D为为⊙O⊙O上上一点，过一点，过D D作作⊙O⊙O的切线交的切线交ABAB的延长线于点的延长线于点C C，若，若DADA＝＝DCDC，且，且BCBC＝＝5 5，则，则ABAB＝＝____.____.【解析【解析】】如图所示，连接如图所示，连接ODOD，，∵CD∵CD是是⊙O⊙O的切线，的切线，∴∠ODC∴∠ODC＝＝9090°°. .设设∠C∠C＝＝θθ，则，则∠A∠A＝＝θθ，，∠ADO∠ADO＝＝θ.θ.∵θ∵θ＋＋θθ＋＋θθ＋＋9090°°＝＝180180°°，，∴θ∴θ＝＝3030°°，，∴OC∴OC＝＝2OD.2OD.设圆设圆O O的半径为的半径为r r，则，则OCOC＝＝2r2r，，∴BC∴BC＝＝r.r.∴AB∴AB＝＝2BC2BC＝＝10.10.答案答案: :101019.19.如图所示，已知如图所示，已知⊙O⊙O的直径的直径ABAB＝＝5 5，，C C为圆周上一点，为圆周上一点，BCBC＝＝4 4，过点，过点C C作作⊙O⊙O的切线的切线l，过点，过点A A作作l的垂线的垂线ADAD，垂足为，垂足为D D，则，则CDCD＝＝____.____.【解析【解析】】∵CD∵CD是是⊙O⊙O的切线，的切线，∴∠B∴∠B＝＝∠ACD∠ACD，，又又ABAB为直径，为直径，∴∠ACB∴∠ACB＝＝∠ADC=90∠ADC=90°°，，∴△ABC∽△ACD∴△ABC∽△ACD，，∴∴∵AB∵AB＝＝5 5，，BCBC＝＝4 4，，∴AC∴AC＝＝3 3，，∴CD∴CD＝＝答案答案: :20.20.如图所示，割线如图所示，割线PBCPBC经过圆心经过圆心O O，，OBOB＝＝PBPB＝＝1 1，，OBOB绕点绕点O O逆时逆时针旋转针旋转120120°°到到ODOD，连接，连接PDPD交圆交圆O O于点于点E E，则，则PEPE＝＝____.____.【解析【解析】】依题意得，依题意得，PDPD＝＝又又PEPE··PDPD＝＝PBPB··PCPC，，因此因此PEPE＝＝答案答案: :2121．．Rt△ABCRt△ABC中，中，∠C∠C＝＝9090°°，，∠A∠A＝＝3030°°，圆，圆O O经过经过B B，，C C且与且与ABAB，，ACAC相交于相交于D D，，E.E.若若AEAE＝＝ECEC＝＝ 则则ADAD＝＝______，圆，圆O O的半径的半径r r＝＝____.____.【解析【解析】】在在Rt△ABCRt△ABC中，中，∠BAC∠BAC＝＝3030°°，，ACAC＝＝ 所以所以BCBC＝＝4 4，，ABAB＝＝8 8，由割线定理得，由割线定理得AEAE··ACAC＝＝ADAD··ABAB，所以，所以ADAD＝＝ 因为因为∠C∠C＝＝9090°°，连接，连接BEBE，则，则BEBE是圆是圆O O的直的直径．所以径．所以 所以圆所以圆O O的半径的半径r r＝＝ . .答案答案: :3 3 22.22.如图所示，如图所示，A A，，E E是半圆周上的两个三等分点，直径是半圆周上的两个三等分点，直径BCBC＝＝4 4，，AD⊥BCAD⊥BC，垂足为，垂足为D D，，BEBE与与ADAD相交于点相交于点F F，则，则AFAF的长为的长为__________．．【解析【解析】】如图，连接如图，连接CECE，，AOAO，，AB.AB.根根据据A A，，E E是半圆周上的两个三等分点，是半圆周上的两个三等分点，BCBC为直径，可得为直径，可得∠CEB∠CEB＝＝9090°°，，∠CBE∠CBE＝＝3030°°，，∠AOB∠AOB＝＝6060°°，故，故△AOB△AOB为等边三角形，为等边三角形，ADAD＝＝ODOD＝＝BDBD＝＝1 1，，∴DF∴DF＝＝∴AF∴AF＝＝ADAD－－DFDF＝＝答案答案: :2323．已知．已知EBEB是半圆是半圆O O的直径，的直径，A A是是BEBE延长线上一点，延长线上一点，ACAC切半圆切半圆O O于点于点D D，，BC⊥ACBC⊥AC于点于点C C，若，若BCBC＝＝6 6，，ACAC＝＝8 8，则，则AEAE＝＝________，，ADAD＝＝____.____.【解析【解析】】∵OD⊥AC∵OD⊥AC，，BC⊥ACBC⊥AC，，∴△ADO∽△ACB∴△ADO∽△ACB，，∴∴∵BC∵BC＝＝6 6，，ACAC＝＝8 8，，∴AB∴AB＝＝1010，，设设ODOD＝＝R R，则，则AOAO＝＝ R R，，∴R∴R＋＋ R R＝＝1010，，∴R∴R＝＝AEAE＝＝ABAB－－2R2R＝＝ ，， ∴AD∴AD＝＝5.5.答案答案: : 5 524.24.如图所示，过圆如图所示，过圆C C外一点外一点P P作一条直线与圆作一条直线与圆C C交于交于A A，，B B两点，两点，ABAB＝＝2AP2AP，，PTPT与圆与圆C C相切于相切于T T点．已知圆点．已知圆C C的半径为的半径为2 2，，∠CAB∠CAB＝＝3030°°，则，则PTPT＝＝_____._____.【解析【解析】】∵AC∵AC＝＝2 2，，∠CAB∠CAB＝＝3030°°，，∴AB∴AB＝＝2ACcos 302ACcos 30°°＝＝2 2××2 2×× ＝＝∴AP∴AP＝＝ ABAB＝＝ ∴PB∴PB＝＝APAP＋＋ABAB＝＝∵PT∵PT是是⊙C⊙C的切线，的切线，∴∴PTPT2 2＝＝APAP··PBPB＝＝9 9，，∴PT∴PT＝＝3.3.答案答案: :3 325.25.如图所示，已知如图所示，已知⊙⊙O O1 1与与⊙⊙O O2 2相交于相交于A A，，B B两点，过点两点，过点B B作两圆作两圆的割线，分别交的割线，分别交⊙⊙O O1 1，，⊙⊙O O2 2于点于点D D，，E.E.过过E E作作CE∥ADCE∥AD交交⊙⊙O O2 2于于C C，，连连ACAC交交DEDE于点于点P. P. 若若ADAD是是⊙⊙O O2 2的切线，且的切线，且PAPA＝＝6 6，，PCPC＝＝2 2，，BDBD＝＝9 9，则，则ADAD的长为的长为__________．．【解析【解析】】设设BPBP＝＝x x，，PEPE＝＝y.y.∵PA∵PA＝＝6 6，，PCPC＝＝2 2，，∴∴由相交弦定理得由相交弦定理得PAPA··PCPC＝＝BPBP··PEPE，即，即xyxy＝＝12①12①，，∵AD∥CE∵AD∥CE，，∴ ∴ ②∴ ∴ ②，，由由①②①②可得，可得，∴DE∴DE＝＝9 9＋＋x x＋＋y y＝＝16.16.∵AD∵AD是是⊙⊙O O2 2的切线，的切线，DEDE是是⊙⊙O O2 2的割线，的割线，∴∴ADAD2 2＝＝BDBD··DEDE＝＝9 9××1616，，∴AD∴AD＝＝12.12.答案答案: :1212。