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利用对称性计算曲线积分与曲面积分摘要：借助于（平面）空间曲线及空间曲面的直观几何意义，利用曲线、曲面关于坐标轴及坐标面得对称性，探讨了对于定义在具有对称性的曲线、曲面上的奇（偶）函数，如何利用对称性计算曲线积分及曲面积分这种积分方法使得曲线（面）积分更为简便、快捷，同时，也有利于避免因符号处理不当而导致的积分错误而第二类曲线积分与曲面积分涉及到方向性问题，因此利用对称性来计算较为困难，文中给出了利用对称性计算第二类曲线积分与曲面积分的方法，并证明了方法的可行性，并通过实例表明，此方法有时能起到简化计算的作用关键词：奇（偶）函数 曲线积分 曲面积分 对称 计算引： 在高等数学的学习和研究中，各种积分的运算，有时会给我们带来较多的困难，而借助于（平面）空间曲线及空间曲面的直观几何意义，定义在关于坐标轴及坐标面对称的曲线、曲面上的奇（偶）函数，利用它们的对称性计算曲线积分及曲面积分，可以使得曲线（面）积分更为简便、快捷 一、 曲线积分（一） 第一类曲线积分的对称问题 定义1 设函数定义在二维光滑曲线上，（1）若满足关系式=或=，则称为关于或的偶函数；（2）若满足关系式=-或=-，则称为关于或的奇函数； 定义2 设函数定义在三维光滑曲线上（1）若满足关系式=或=或=，则称为关于或或的偶函数；（2）若满足关系式=-或=-或=-，则称为关于或或的奇函数； 定理1 设函数在二维光滑（或分段光滑）曲线上可积，且曲线关于（或）对称，则： （1）当偶函数时，=2（其中是位于对称轴一侧的部分）； （2）当是（或）的奇函数时，=0 证 设关于轴对称的光滑曲线（其中、分别是曲线位于轴上、下两侧的部分）； 则： = 用曲线上关于轴对称点系分割，在上的小弧段中任取一点（，），在上关于对称于轴的小弧段中任取一点（，-），构造和式：+ 令：诸小弧段中最长者为，由于在上可积且=,于是 （1）当是的偶函数，即=时， =[+] =2 =2 （2）当是的奇函数，即=-时， =[+] ={+} ==0 （证毕）定理2 设函数在三维光滑或（分段光滑）曲线上可积，且曲线对称于（或或）坐标面，则（1）当为关于（或或）的偶函数时，有=2（其中是位于对称坐标面一侧的部分）；（2）当为关于（或或）奇函数时，有=0 推论 设函数在二维光滑（或分段光滑）曲线上可积，对称于和轴，则 （1）当是关于和的偶函数时，有=4（其中是位于第Ⅰ象限中的部分） （2）当是关于和中至少某一变量的奇函数时，有=0例1 计算 解：∵积分曲线既对称于轴又对称于轴，且被积函数=是的奇函数 y ∴原式===0 x注：除利用对称性之外，还用到了利用积分曲线方程化简被积函数的技巧。

二）第二类曲线积分的对称问题 定理3 设为平面上关于轴对称的一条有向光滑曲线弧，其方程是一双值函数，设为，（）记,分别为位于轴的上半部分与下半部分，,分别在轴上的投影的方向相反，函数在上连续，那么 （1）当关于为偶函数时，则 =0 （2）当关于为奇函数时，则 =2证明 依定理条件不妨设：，从点变到点：，从点变到点 于是由对坐标曲线积分的性质及计算方法有=+ = + =故（1）当关于为偶函数时，有 ===0 （2）当关于为奇函数时，有= =2 =2 注：对于有类似定理1的结论例2 计算I=，其中我抛物线从点A（1，-1到点B（1，1）的一段弧 解：依题设条件知，该曲线积分满足定理3，故有 I=2=2= 其中，：，从点0变到点1关于曲线积分还有另一个对称性的结论是:定理4 设为平面上关于轴对称的一条有向光滑曲线弧，奇方程为，（），记,分别为位于轴的右半部分与左半部分，,分别在轴上的投影方向相同，函数在上连续，那么 （1）当关于为奇函数时，则 =0 （2）当关于为偶函数时，则 =2 证明 依定理条件不妨设 ：，从点0变到点：，从点-变到点0于是由对坐标曲线积分的性质及计算方法有=+ = +对右端第2个积分，令，有 ==因此有 =+ = 故 （1）当在上关于为奇函数时，有= ==0 （2）当在上关于为偶函数时，有 = =2=2 注：对于有类似定理4的结论例3 计算I=，其中为（＞0）按逆时针方向从点A（，0）到点B（-，0）的上半圆周 解 可将原式改写为3个曲线积分的代数和，即 I=-2- 依题设条件分析知，等式右端第一、第二、第三个曲线积分满足定理4，故有 I==2=2=-2二 曲面积分 （一）第一类曲面积分的对称问题 定理5 设函数在光滑（或分片光滑）曲面上可积，且对称于（或或）坐标面，则 （1）当是关于，和的偶函数时， =8（其中是位于对称坐标面一侧的部分） （2）当是关于，和的奇函数时， =0 推论 设函数在光滑（或分片光滑）曲面上可积，且关于,,坐标面均对称，则 （1）当是关于，和的偶函数时，=8（其中是在第Ⅰ卦限的部分） （2）当是关于，和中至少某一变量的奇函数时，=0例4 计算，其中：平面，之间的圆柱面 解：因为积分曲面对称于坐标面，且被积函数= 是关于的奇函数，所以= 0 z H o y R x 例5 计算，其中： 解：令：，，，，则：≤ ds== 因为对称于三个坐标面，且被积函数=是关于，,,的偶函数，所以由对称性知 =8 =8a=8a =8a = （二）第二类曲面积分的对称问题 与第二类曲线积分类似有以下结论定理6 设为关于xoy平面对称的有向光滑曲面，其方程式一双直函数，设为，∈（其中为在平面的投影区域），记，分别位于平面的上半部分与下半部分，与的侧关于平面相反，函数在上连续，那么 （1）当关于为偶函数时，则 =0 （2）当关于为奇函数时，则 =2证明 依定理条件不妨设：，∈，取上侧：，∈，取下侧于是由对坐标的曲面积分的性质及计算方法有=+ =- 故 （1）当关于为偶函数时，有 = ==0 （2）当关于为奇函数时，有 = =2 =2 注：对于，有类似定理6的结论例6 计算I=，式中为球面的外侧位于≥0，≥0的部分。

解：依题设条件分析知，该曲面积分满足定理6，故有 I=2=2 = = 其中：z=，∈={∣≤1，≥0，≥0}例7 I=.其中，为锥面z=1-被平面=0所截得的部分，取上侧 解：原式可写为三个曲面积分之和，即 I=++2 依题设条件可知右端第一，第二曲面积分均满足定理3的结论，故有 I=2 =2 =2 = 其中：={︱≤1}.三 结束语由以上几例可以看出利用对称性计算曲线积分与曲面积分不仅是可行的，而且有时还可以起到简化计算的作用，在学习中可以充分利用对称性计算曲线积分与曲面积分，提高运算速度和效果，给学习带来很多方便参考文献：[1] 格·马·菲赫金哥尔茨数学分析原理[M].北京：人民教育出版社，1979.[2] 同济大学数学系.高等数学[M].北京：高等教育出版社，1997.[3] 翁莉娟，韩云瑞.光滑曲线与可求长曲线数学的实践与认识，2006，36（5）：308-310[4] 时统业，周本虎.第二类平面曲线积分的对称性质及其应用.高等数学研究，2006，112（2）：25-29[5] 同济大学数学教研室，高等数学.北京：高等教育出版社，2002[6] 钱吉林，肖新平.高等数学词典.武汉：华中师范大学出版社，1999Methods of Applying Symmetry to Calculate Curvilinear Integral and Surface IntegralName:zhangjinming Student Number:5 Advisor:niuxiangyangAbstract:By the help of geometric significance of plane or space curve and space surface,and by use of the symmetry of curve and surface to coordinate 。