导数中证明不等式技巧构造切线放缩二元变量凹凸反转唯手熟尔.docx

本文格式为Word版，下载可任意编辑导数中证明不等式技巧构造切线放缩二元变量凹凸反转，唯手熟尔 导数中的不等式证明 导数中不等式的证明是历年的高考中是一个永恒的话题，由于不等式证明的生动性，多样性，该考点也备受命题者的青睐本文通过四个方面系统介绍了一些常规的不等式证明的手段 命题角度1 构造函数 命题角度2 放缩法 命题角度3 切线法 命题角度4 二元或多元不等式的证明思路 命题角度5 函数凹凸性的应用 命题角度1 构造函数 【典例1】（赣州市2022届高三摸底考试）已知函数f?x??1?lnxae1,g(x)?x??bx，若曲线y?f?x?与曲xex线y?g?x?的一个公共点是A?1,1?，且在点A处的切线彼此垂直． （1）求a,b的值； （2）证明：当x?1时，f?x??g(x)?【解析】（1）a?b??1； （2）g(x)??e12lnxe1??x，f?x??g(x)??1??x??x?0， xexxxex2?x?1?，那么 x2． x令h?x??f?x??g(x)?h?x??1?h??x???lnxe1?x??x， xex1?lnxe1lnxe?x?2?1?2?x?1， 2xexxelnxe??1?0， x2exlnxe1?x??x?0， xex由于x?1，所以h??x??所以h?x?在?1.???单调递增，h?x??h?1??0，即1?所以当x?1时，f?x??g(x)?2． x【审题点津】待证不等式的两边都含有同一个变量，一般地，可以直接构造“左减右”的函数，应用导数研究其单调性，借助于所构造函数的单调性加以证明. 命题角度2 放缩法 【典例2】（石家庄市2022届高三下学期4月一模考试）已知函数f(x)?(x?b)(ex?a)(b?0)，在 - 1 - (?1,f(?1))处的切线方程为(e?1)x?ey?e?1?0. （1）求a,b； （2）若m?0，证明：f(x)?mx2?x. 【解析】（1）a?1，b?1； （2）由（1）可知f(x)?(x?1)(ex?1)，f(0)?0,f??1??0， 由m?0，可得x?mx2?x， 令g(x)??x?1??ex?1??x，那么g?(x)??x?2?ex?2， 当x??2时，g?(x)??x?2?ex?2??2?0， 当x??2时，设h(x)?g?(x)??x?2?ex?2，那么h?(x)??x?3?ex?0， 故函数g?(x)在??2,???上单调递增， 又g?(0)?0，所以当x????,0?时，g?(x)?0，当x??0,???时，g?(x)?0， 所以函数g(x)在区间???,0?上单调递减，在区间?0,???上单调递增， 故g(x)?g(0)?0，即?x?1??ex?1??x?mx2?x. 故f(x)?mx2?x. 【方法归纳】函数解析式中含有已知范围的参数，可以考虑借助于常识或已知的范围裁减变量，对参数适当放缩达成证明的目标. 【典例3】（成都市2022届高中毕业班二诊理科）已知函数f?x??xlnx?ax?1,a?R. （1）当x?0时，若关于x的不等式f?x??0恒成立，求a的取值范围； （2）当n?N*时，证明： n3?ln22?ln2?2n?42?ln2n?1n? nn?1【解析】（1）??1,???； （2）设数列?an?,?bn?的前n项的和分别为Sn?nn,Tn?，那么 2n?4n?1?1?S1?n?1?,由于an??，解得an?； n?1n?2????S?Sn?2,???n?1?n同理，bn?1， n?n?1?- 2 - — 3 —。