高考数学 第二章 第八节 函数与方程课件 理 苏教版.ppt
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第八节 函数与方程 1.1.函数的零点函数的零点(1)(1)定义：使函数定义：使函数y=f(xy=f(x) )的值为的值为0 0的的____________称为函数称为函数y=f(xy=f(x) )的零的零点点. .(2)(2)零点与相应方程根、函数图象与零点与相应方程根、函数图象与x x轴交点横坐标间的关系：轴交点横坐标间的关系：方程方程f(xf(x)=0)=0有有______________⇔⇔函数函数y=f(xy=f(x) )的图象与的图象与x x轴有轴有__________⇔⇔函函数数y=f(xy=f(x) )有有_____._____.实数实数x x实数根实数根交点交点零点零点 2.2.函数零点的存在性定理函数零点的存在性定理函数函数f(xf(x) )在区间［在区间［a,ba,b］上存在零点的条件：］上存在零点的条件：(1)(1)在区间［在区间［a,ba,b］上的图象是一条］上的图象是一条______________的曲线的曲线. .(2)___________<0.(2)___________<0.不间断不间断f(a)f(a)··f(bf(b) ) 3.3.二次函数二次函数y=axy=ax2 2+bx+c(a>0)+bx+c(a>0)的图象与零点的关系的图象与零点的关系ΔΔ>0>0 ΔΔ=0=0 ΔΔ<0<0 二次函数二次函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c(a>0)(a>0)的图象的图象 与与x x轴的轴的交点交点 __________________________(x(x1 1,0),0) 无交点无交点 零零 点点 x x1 1,x,x2 2 x x1 1 无无 (x(x1 1,0),(x,0),(x2 2,0),0) 判断下面结论是否正确判断下面结论是否正确( (请在括号中打请在括号中打““√√””或或““×”×”).).(1)(1)函数的零点就是函数的图象与函数的零点就是函数的图象与x x轴的交点轴的交点.( ).( )(2)(2)函数函数y=f(xy=f(x) )在区间在区间(a(a，，b)b)内有零点内有零点( (函数图象连续不断函数图象连续不断) )，，则则f(a)f(bf(a)f(b) )＜＜0.( )0.( )(3)(3)二次函数二次函数y=axy=ax2 2+bx+c(a≠0)+bx+c(a≠0)在在b b2 2-4ac-4ac＜＜0 0时没有零点时没有零点.( ).( )(4)(4)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值.( ).( ) 【解析【解析】】(1)(1)错误错误. .函数的零点是函数的图象与函数的零点是函数的图象与x x轴交点的横坐轴交点的横坐标标. .(2)(2)错误错误. .函数函数f(xf(x)=x)=x2 2-x-x在在(-1(-1，，2)2)上有两个零点，但上有两个零点，但f(-1)f(2)f(-1)f(2)＞＞0.0.(3)(3)正确正确. .当当b b2 2-4ac-4ac＜＜0 0时，二次函数图象与时，二次函数图象与x x轴无交点，从而二轴无交点，从而二次函数没有零点次函数没有零点. .(4)(4)错误错误. .当函数零点左右两侧函数值同号时，无法使用二分法当函数零点左右两侧函数值同号时，无法使用二分法求零点的近似值求零点的近似值. .答案：答案：(1)(1)×× (2) (2)×× (3)√ (3)√ (4)(4)×× 1.1.函数函数f(xf(x)= )= 的零点个数是的零点个数是______.______.【解析【解析】】由等价关系零点个数转化为由等价关系零点个数转化为方程方程 的根的个数的根的个数, ,即又转化即又转化为函数为函数y=lgy=lg x x与与 图象交点个数，图象交点个数，由图象得：有一个交点由图象得：有一个交点. .答案：答案：1 1 2.2.函数函数f(xf(x)=mx-1)=mx-1在在(0(0，，1)1)内有零点，则实数内有零点，则实数m m的取值范围是的取值范围是________.________.【解析【解析】】由由f(0)f(1)<0,f(0)f(1)<0,得得(-1)(-1)··(m-1)<0(m-1)<0，，∴∴m>1.m>1.答案：答案：(1(1，，+∞)+∞) 3.3.二次函数二次函数f(xf(x)=ax)=ax2 2+bx+c+bx+c中，中，a a··c c<0,<0,则函数的零点个数是则函数的零点个数是______.______.【解析【解析】】∵c=f(0),∴a∵c=f(0),∴a··c=ac=a··f(0)<0,f(0)<0,即即a a和和f(0)f(0)异号，异号，即即 或或∴∴函数必有两个零点函数必有两个零点. .答案：答案：2 2 4.4.若函数若函数f(xf(x)=ax)=ax2 2-x-1-x-1仅有一个零点，则实数仅有一个零点，则实数a a的取值范围是的取值范围是________.________.【解析【解析】】当当a=0a=0时，则时，则f(xf(x)=-x-1,)=-x-1,易知函数只有一个零点易知函数只有一个零点. .当当a≠0a≠0时，则函数为二次函数，仅有一个零点，时，则函数为二次函数，仅有一个零点，即即Δ=1+4a=0, Δ=1+4a=0, 综上，当综上，当a=0a=0或或 时，函数只有一个零点时，函数只有一个零点. .答案：答案： 考向考向 1 1 函数零点的求解与判断函数零点的求解与判断 【典例【典例1 1】】(1)(2012(1)(2012··天津高考改编天津高考改编) )函数函数f(xf(x)=2)=2x x+x+x3 3-2-2在区间在区间(0(0，，1)1)内的零点个数是内的零点个数是________.________.(2)(2)设函数设函数y=xy=x3 3与与 的图象的交点为的图象的交点为(x(x0 0,y,y0 0),),若若x x0 0∈∈(n,n+1),n∈N,(n,n+1),n∈N,则则x x0 0所在的区间是所在的区间是_______._______. 【思路点拨【思路点拨】】(1)(1)根据零点存在性定理证明有零点，根据函数根据零点存在性定理证明有零点，根据函数的单调性判断零点的个数的单调性判断零点的个数. .(2)(2)画出两个函数的图象寻找零点所在区间画出两个函数的图象寻找零点所在区间. .【规范解答【规范解答】】(1)(1)因为因为f′(xf′(x)=2)=2x xln 2+3xln 2+3x2 2＞＞0,x∈(0,1),0,x∈(0,1),所以函数所以函数f(xf(x)=2)=2x x+x+x3 3-2-2在在(0(0，，1)1)上单调递增，且上单调递增，且f(0)=1+0-2=f(0)=1+0-2=-1-1＜＜0 0，，f(1)=2+1-2=1f(1)=2+1-2=1＞＞0 0，所以有，所以有1 1个零点个零点. .答案：答案：1 1 (2)(2)设设 则则x x0 0是函数是函数f(xf(x) )的零点，在同一坐标系的零点，在同一坐标系下画出函数下画出函数y=xy=x3 3与与 的图象如图所示的图象如图所示. .∵∵∴f(1)f(2)∴f(1)f(2)＜＜0,∴x0,∴x0 0∈(1,2).∈(1,2).答案：答案：(1(1，，2)2) 【互动探究【互动探究】】把本例题把本例题(2)(2)改为改为““方程方程loglog3 3x+x=3x+x=3的解为的解为x x0 0, ,若若x x0 0∈(n∈(n，，n+1)n+1)，，n∈Nn∈N，试判断其解所在的区间，试判断其解所在的区间””. .【解析【解析】】构造函数，转化为求函数的零点所在的区间构造函数，转化为求函数的零点所在的区间. .令令f(xf(x)=log)=log3 3x+x-3,x+x-3,则则f(2)=logf(2)=log3 32+2-3= f(3)=log2+2-3= f(3)=log3 33+3-3+3-3=1>0,3=1>0,又因为函数又因为函数f(xf(x) )在在(0(0，，+∞)+∞)上是连续且单调递增的，所上是连续且单调递增的，所以方程以方程loglog3 3x+x=3x+x=3的解所在的区间为的解所在的区间为(2(2，，3).3). 【拓展提升【拓展提升】】确定函数确定函数f(xf(x) )零点所在区间的常用方法零点所在区间的常用方法(1)(1)解方程法：当对应方程解方程法：当对应方程f(xf(x)=0)=0易解时，可先解方程，再看易解时，可先解方程，再看求得的根是否落在给定区间上求得的根是否落在给定区间上. .(2)(2)利用函数零点的存在性定理：首先看函数利用函数零点的存在性定理：首先看函数y=f(xy=f(x) )在区间在区间［［a,ba,b］上的图象是否连续，再看是否有］上的图象是否连续，再看是否有f(a)f(a)··f(bf(b)<0.)<0.若有，若有，则函数则函数y=f(xy=f(x) )在区间在区间(a(a，，b)b)内必有零点内必有零点. .(3)(3)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x x轴在给定区间轴在给定区间上是否有交点来判断上是否有交点来判断. . 【变式备选【变式备选】】(1)(2013(1)(2013··镇江模拟镇江模拟) )方程方程xlg(x+2)=1xlg(x+2)=1有有____________个实数根个实数根. .【解析【解析】】原方程化为原方程化为作出函数作出函数y=lg(x+2)y=lg(x+2)与与 的图象如图：的图象如图：知两函数有两个交点，故方程有两个实数根知两函数有两个交点，故方程有两个实数根. .答案：答案：2 2 (2)(2013(2)(2013··扬州模拟扬州模拟) )方程方程 在区间在区间［［-2 010,2 012-2 010,2 012］上各根的和为］上各根的和为_______._______. 【解析【解析】】令令 由于函数由于函数y y1 1,y,y2 2的图象都关于的图象都关于点点(1(1，，0)0)对称，对称，y y2 2的周期为的周期为2 2，两函数图象的交点的横坐标即，两函数图象的交点的横坐标即为原方程的根，而这些点均关于为原方程的根，而这些点均关于(1,0)(1,0)对称，每相应一对根是对称，每相应一对根是以以1 1为中点，它们的和为为中点，它们的和为1 1××2=22=2，在区间［，在区间［-2 010-2 010，，2 0122 012］］上，当上，当x>1x>1时有时有1 005.51 005.5个周期，共个周期，共2 0102 010个交点，个交点，x<1x<1时有时有1 005.51 005.5个周期，共个周期，共2 0102 010个交点，则有个交点，则有2 0102 010对点关于对点关于(1(1，，0)0)对称，故所有根的和为对称，故所有根的和为2 2××2 010=4 020.2 010=4 020.答案：答案：4 0204 020 考向考向 2 2 函数零点的应用函数零点的应用 【典例【典例2 2】】已知函数已知函数f(xf(x)=-x)=-x2 2+2ex+m-1, +2ex+m-1, (1)(1)若若g(xg(x)=m)=m有实数根，求有实数根，求m m的取值范围的取值范围. .(2)(2)确定确定m m的取值范围，使得的取值范围，使得g(x)-f(xg(x)-f(x)=0)=0有两个相异实根有两个相异实根. .【思路点拨【思路点拨】】解答解答(1)(1)可用基本不等式求出最值或数形结合法可用基本不等式求出最值或数形结合法求解求解.(2).(2)转化为两个函数转化为两个函数f(xf(x) )与与g(xg(x) )有两个交点，从而用数形有两个交点，从而用数形结合法求解结合法求解. . 【规范解答【规范解答】】(1)(1)方法一：方法一：∵ ∵ 等号成立等号成立的条件是的条件是x=e,x=e,故故g(xg(x) )的值域是［的值域是［2e,+∞)2e,+∞)，因此，只需，因此，只需m≥2e,m≥2e,则则g(xg(x)=m)=m就有实数根就有实数根. .方法二：作出方法二：作出 的大致图象如图：的大致图象如图：可知若使可知若使g(xg(x)=m)=m有实数根，则只需有实数根，则只需m≥2e.m≥2e. (2)(2)若若g(x)-f(xg(x)-f(x)=0)=0有两个相异的实根，即有两个相异的实根，即g(xg(x) )与与f(xf(x) )的图象有的图象有两个不同的交点，作出两个不同的交点，作出 的大致图象的大致图象. . ∵∵f(xf(x)=-x)=-x2 2+2ex+m-1=-(x-e)+2ex+m-1=-(x-e)2 2+m-1+e+m-1+e2 2，，∴∴f(xf(x) )的图象的对称轴为的图象的对称轴为x=e,x=e,开口向下，最大值为开口向下，最大值为m-1+em-1+e2 2. .故当故当m-1+em-1+e2 2>2e,>2e,即即m>-em>-e2 2+2e+1+2e+1时，时，g(xg(x) )与与f(xf(x) )有两个交点，即有两个交点，即g(x)-g(x)-f(xf(x)=0)=0有两个相异实根有两个相异实根.∴m.∴m的取值范围是的取值范围是(-e(-e2 2+2e+1,+2e+1,+∞).+∞). 【拓展提升【拓展提升】】已知函数有零点已知函数有零点( (方程有根方程有根) )求参数取值范围常用求参数取值范围常用的方法和思路的方法和思路(1)(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围过解不等式确定参数范围. .(2)(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决解决. .(3)(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解画出函数的图象，然后数形结合求解. . 【变式训练【变式训练】】设函数设函数 在区间在区间(1(1，，2)2)内有零内有零点，则实数点，则实数a a的取值范围是的取值范围是______.______.【解析【解析】】由题意知方程由题意知方程 在区间在区间(1(1，，2)2)上有解，由上有解，由1 1＜＜x x＜＜2 2得得∴ ∴∴ ∴a∈(loga∈(log3 32 2，，1).1).答案：答案：(log(log3 32,1)2,1) 【易错误区【易错误区】】忽视定义域导致求函数零点个数失误忽视定义域导致求函数零点个数失误【典例【典例】】(2012(2012··湖北高考改编湖北高考改编) )函数函数f(x)=xcosf(x)=xcos 2x 2x在区间［在区间［0 0，，2π2π］上的零点的个数为］上的零点的个数为_______._______.【误区警示【误区警示】】本题易出现的错误主要有两个方面本题易出现的错误主要有两个方面(1)(1)忽视忽视x=0x=0这一零点致误这一零点致误. .(2)(2)误把误把y=cosy=cos 2x 2x在［在［0 0，，2π2π］上的零点与］上的零点与y=cosy=cos x x在［在［0 0，，2π2π］上的零点等同，导致错误］上的零点等同，导致错误. . 【规范解答【规范解答】】当当x=0x=0时，时，f(xf(x)=0.)=0.令令t=2x,t=2x,则则∵x∈∵x∈［［0,2π0,2π］］,∴t∈,∴t∈［［0,4π0,4π］］, ,则则y=cosy=cos t t的零点为的零点为 故故y=cosy=cos 2x 2x在［在［0 0，，2π2π］］ 上的零点为上的零点为 所以所以f(xf(x) )在区间［在区间［0 0，，2π2π］上的零点个］上的零点个数为数为5.5.答案：答案：5 5 【思考点评【思考点评】】解答本题应注意的两个问题解答本题应注意的两个问题(1)(1)区间［区间［0 0，，2π2π］是］是x x的范围而不是的范围而不是2x2x的范围的范围. .(2)(2)用整体的思想求解，即令用整体的思想求解，即令t=2xt=2x，先求出，先求出t t的范围，再在这个的范围，再在这个范围内寻找使范围内寻找使coscos t=0 t=0的的t t值即可值即可. . 1.(20121.(2012··北京高考改编北京高考改编) )函数函数f(xf(x)= )= 的零点的个数为的零点的个数为_______._______.【解析【解析】】在同一平面直角坐标系内作出在同一平面直角坐标系内作出 与与 的图象如图所示，易的图象如图所示，易知，两函数图象只有一个交点，因此函知，两函数图象只有一个交点，因此函数数 只有只有1 1个零点个零点. .答案：答案：1 1 2.(20132.(2013··徐州模拟徐州模拟) )若关于若关于x x的方程的方程 有三个不等的实有三个不等的实数根，则实数数根，则实数k k的取值范围是的取值范围是_______._______.【解析【解析】】令令 y y2 2=kx=kx，作出两函数的图象如图：，作出两函数的图象如图：故当两函数有三个交点时，故当两函数有三个交点时，k∈k∈答案：答案： 3.(20133.(2013··潍坊模拟潍坊模拟) )偶函数偶函数f(xf(x) )满足满足f(x-1)=f(x+1)f(x-1)=f(x+1)，且在，且在x∈x∈［［0 0，，1 1］时，］时，f(xf(x)=1-x)=1-x，则关于，则关于x x的方程的方程 在在x∈x∈［［0 0，，3 3］上解的个数是］上解的个数是________.________.【解析【解析】】由由f(x-1)=f(x+1),f(x-1)=f(x+1),得得f(x+2)=f(xf(x+2)=f(x) )，即函数，即函数f(xf(x) )的周的周期为期为2 2，又函数，又函数f(xf(x) )是偶函数，是偶函数，从而函数从而函数y=f(xy=f(x) )，， 在［在［-1-1，，3 3］上的图象如图所示，从］上的图象如图所示，从而方程而方程 在在x∈x∈［［0 0，，3 3］上有］上有4 4个解个解. .答案：答案：4 4 4.(20134.(2013··南京模拟南京模拟) )设函数设函数f(xf(x)=x)=x3 3-2ex-2ex2 2+mx-ln x,+mx-ln x,记记 若函数若函数g(xg(x) )至少存在一个零点，则实数至少存在一个零点，则实数m m的取值范的取值范围为围为_______._______.【解析【解析】】∵∵函数函数g(xg(x) )至少存在一个零点，至少存在一个零点，∴∴x x2 2-2ex+m- =0-2ex+m- =0有解，有解，即即m=-xm=-x2 2+2ex+ +2ex+ 令令y=-xy=-x2 2+2ex++2ex+ ∵∵令令y′=0,y′=0,得得x=e.x=e.又又∵∵当当0
