清华大学2022年自主招生数学试题.docx

清华大学2022年自主招生数学试题 清华大学自主招生数学试题 2022.06 1. 一个四面体棱长分别为6，6，6，6，6，9，求外接球的半径. 2. 求值：1 221 (1sin )x x dx --? . 3. 已知P 为单位圆上一动点，(0,2)A ，(0,1)B -，求2||||AP BP ?的最大值. 4. AB 为圆O 的直径，CO AB ⊥，M 为AC 中点，CH MB ⊥，则下列选项正确的是（ ） A. 2AM OH = B. 2AH OH = C. △BOH ∽△BMA D. 忘记 5. {1,2,3,,15}A =???，{1,2,3,4,5}B =，f 是A 到B 的映射，若满足()()f x f y =，则称有序对(,)x y 为“好对”，求“好对”的个数最小值. 6. 若对c ?∈R ，,a b ?，使得 ()() ()f a f b f c a b -=-成立，则称函数()f x 满足性质T ，下列 函数不满足性质T 的是（ ） A. 32()33f x x x x =-+ B. 21()1 f x x =+ C. 1 ()x f x e += D. ()sin(21)f x x =+ 7. 已知||||1a b ==r r ，1 2 a b ?=r r ，()()0c a c b --=r r r r ，若||1d c -=u r r ，求||d u r 的最大值. 8. 椭圆22 162 x y +=，过(2,0)F 的直线交椭圆于A 、B 两点，点C 在直线3x =上，若 △ABC 为正三角形，求△ABC 的面积. 9. 圆224x y +=上一点00(,)x y 处的切线交抛物线2 8y x =于A 、B 两点，且满足 90AOB ∠=?，其中O 为坐标原点，求0x . 10. 设a 为44444444各位数字和，b 是a 的各位数字之和，c 为b 的各位数字之和，求c 的值. 11. 实数x 、y 满足22 (2)1x y +-≤ 的最大值和最小值. 清华大学自主招生数学试题 2022.06 1. 一个四面体棱长分别为6，6，6，6，6，9，求外接球的半径. 2. 求值：1 221 (1sin )x x dx --? . 3. 已知P 为单位圆上一动点，(0,2)A ，(0,1)B -，求2||||AP BP ?的最大值. 4. AB 为圆O 的直径，CO AB ⊥，M 为AC 中点，CH MB ⊥，则下列选项正确的是（ ） A. 2AM OH = B. 2AH OH = C. △BOH ∽△BMA D. 忘记 5. {1,2,3,,15}A =???，{1,2,3,4,5}B =，f 是A 到B 的映射，若满足()()f x f y =，则称有序对(,)x y 为“好对”，求“好对”的个数最小值. 6. 若对c ?∈R ，,a b ?，使得 ()() ()f a f b f c a b -=-成立，则称函数()f x 满足性质T ，下列 函数不满足性质T 的是（ ） A. 32()33f x x x x =-+ B. 21()1 f x x =+ C. 1 ()x f x e += D. ()sin(21)f x x =+ 7. 已知||||1a b ==r r ，1 2 a b ?=r r ，()()0c a c b --=r r r r ，若||1d c -=u r r ，求||d u r 的最大值. 8. 椭圆22 162 x y +=，过(2,0)F 的直线交椭圆于A 、B 两点，点C 在直线3x =上，若 △ABC 为正三角形，求△ABC 的面积. 9. 圆224x y +=上一点00(,)x y 处的切线交抛物线2 8y x =于A 、B 两点，且满足 90AOB ∠=?，其中O 为坐标原点，求0x . 10. 设a 为44444444各位数字和，b 是a 的各位数字之和，c 为b 的各位数字之和，求c 的值. 11. 实数x 、y 满足22 (2)1x y +-≤ 的最大值和最小值. 。