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微积分基本知识第一章、 极限与连续一、 数列的极限1． 数列定义：按着正整数的顺序排列起来的无穷多个数x1,K , xn ,L 叫数列，记作 xn ，并吧每个数叫做数列的 项，第 n 个数叫做 数列的第 n 项或通项界的概念：一个数列xn，若M0 ， st..对nN *，都有xnM，则称xn是有界的 ：若不论M有多大，总m N *， st..xmM，则称xn是无界的若 a xn b ，则 a 称为 xn 的下界 ， b 称为 xn 的上界xn 有界的充要条件： xn 既有上界，又有下界2． 数列极限的概念定义：设xn为一个数列， a 为一个常数，若对0 ，总N , st.. 当 n N时，有xna则称 a 是数列 xn的极限，记作 lim xna 或 xna( n)n数列有极限时，称该数列为收敛的，否则为 发散的几何意义：从第 N1项开始， xn 的所有项全部落在点 a 的邻域 (a , a)3． 数列极限的性质①唯一性②收敛必有界③保号性：极限大小关系数列大小关系（ nN 时）二、函数的极限1. 定义：两种情形①xx0 ：设 f ( x) 在点 x0 处的某去心邻域内有定义，A 为常数，若对0 ，0，st.. 当 0 x x0时，恒有 f ( x)A成立， 则称 f ( x) 在 xx0 时有极限 A记作 limf ( x) A 或 f ( x)A(xx0 )xx0几何意义 ：对0 ，0 ， st.. 当0 xx0时， f ( x) 介于两直线 yA单侧极限 ：设 f ( x) 在点 x0 处的右侧某邻域内有定义，A 为常数，若对0 ，0 ，st.. 当 0xx0时，恒有 f ( x) A成立，称 f ( x) 在 x0 处有右极限 A ，记作 limf ( x)A 或 f ( x0 )Ax x0limf (x)A 的充要条件 为： f ( x0 )f (x0 ) = Ax x0垂直渐近线： 当 limf ( x)时， xx0 为 f (x) 在 x0 处的渐近线x x0② x：设函数 f ( x) 在 x b0 上有定义， A 为常数，若对0 ， Xb, s..t当 xX 时，有 f (x)A成立，则称 f ( x) 在 x时有极限 A ，记作lim f ( x)A 或 f (x)A( x)xlimf ( x)A 的充要条件 为： limf (x) limf (x)Axxx水平渐进线 ： 若 limf( )A或limf ( x) A，则yA是f ( x)的水平渐近线xxx2. 函数极限的性质：①唯一性 ②局部有界性 ③局部保号性（②③在当 0 x x0 时成立）三、 极限的运算法则1． 四则运算法则设 f ( x) 、 g(x) 的极限存在 ， lim f ( x)A,lim g( x) B 则① lim f ( x)g ( x)AB② lim[ f (x) g( x)]AB③ lim f (x)A（当 B0 时）g(x) B④ lim cf (x)cA（ c 为常数）⑤ lim[ f ( x)] kAk（ k 为正整数 ）2． 复合运算法则设 y f [ (x)] ，若 lim(x)a ，则 limf [ ( x)] f (a)x x0x x0可以写成 limf [ ( x)]f [lim( x)]（换元法基础）x x0 x x0四、极限存在准则及两个重要极限1．极限存在准则①夹逼准则设有三个数列 xn ， yn ， zn ，满足yn xn zn ， lim yn lim zn a 则 lim xn an n n②单调有界准则有界数列必有极限3． 重要极限① lim sin x② lim 1 1x11e 或 lim 1 x x ex 0xxxx 0五、无穷大与无穷小1．无穷小：在自变量 某个变化过程中 lim f ( x) 0 ，则称 f (x) 为 x 在该变化过程中的无穷小※ 若 f ( x)0 ，则 f ( x) 为 x 在所有变化过程中的无穷小若 f (x)，则 f ( x) 不是无穷小性质： 1. 有限个无穷小的代数和为无穷小2. 常量与无穷小的乘积为无穷小3. 有限个无穷小的乘积为无穷小4. 有极限的量与无穷小的乘积为无穷小5. 有界变量与无穷小的乘积为无穷小定理： lim f ( x) A 的充要条件 是 f ( x) A ( x) ，其中 ( x) 为 x 在该变化中过程中的无穷小无穷小的比较： ( 趋于 0 的速度的大小比较 )( x), (x) ，为同一变化过程中 的无穷小若 lim c （ c 0 常数） 则 是 的同阶无穷小 （当 c 1时为等价无穷小 ）若 lim k c （ c 0 常数） 则 是 的 k 阶无穷小若 lim 0 则 是 的高阶无穷小常用等价无穷小： ( x 0 ) x : sin x : tan x : arcsin x : arctan x : ln(1 x) : ex 1；1 cos x : x2； (1x) 1 :x ； ax1 : x ln a22．无穷大：设 函数 f (x) 在 x的某去心邻域内有定义。

若对于 M0 ，0s..t当00 xx0时，恒有 f ( x) M称 f (x) 当 xx0 时为无穷大，记作 limf (x)x x01无穷大 为无穷小lim f ( x)定理： lim f ( x) （下：趋于某点，去心邻域不为 0）1无穷小 为无穷大lim f (x)※ 无穷大的乘积为无穷大，六、连续函数1．定义其和、差、商不确定设函数yf ( x)在x0 某邻域有定义，若对0 ，0 st..当 0x x0时，恒有：f ( x)f (x0 )也可记作lim f (x)x x0f (x0 )或 lim x 0y0f ( x0 )f (x0 )（或f ( x0)f ( x0 )）为左（或右）连续2．函数的间断点左右极限相等，该处无定义 可去间断点第一类间断点：左右极限存在左右极限不等 跳跃间断点第二类间断点：无穷间断点，震荡间断点等3. 连续函数的运算若函数 f ( x) 与 g( x) 都在 x 处连续，则函数f ( x) g( x) ， f ( x) g( x) ， f (x)（ g (x) 0 ）g (x)定理： yf [ g (x)] ， g (x0 ) u0，若 g( x) 在 x0 处连续，f (g ) 在 u0 处连续，则yf [ g( x)] 在 x0 处连续4． 闭区间连续① 最值定理：函数的性质f (x) 在 [a,b]上连续， 则x1, x2 ，对一切x[ a, b] 有f (x1)f (x)f (x2 )②介值定理：f( x)在[a,b]上连续，对于f (a) 与f (b) 之间的任何数u ，至少一点，st.. f ( ) u第二章、 导数一、导数的概念定义：设函数 y f ( x) 在点 x0 的某邻域有定义，如果极限limf (x0 x)f ( x0 )存在，则称函数 yf ( x) 在点x 0xx0 可导，极限值为函数 yf 。