沪教版七年级下册数学（全册知识点考点梳理、重点题型分类巩固练习）（基础版）（家教、补习、复习用）.pdf

沪教版初一数学下册知识点梳理重点题型（常 考 知 识 点）巩固练习平方根和开平方（基础）【学习目标】1.了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根.2.了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根.【要点梳理】要点一、平方根和算术平方根的概念1 .平方根的定义如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.叫做被开方数.平方与开平方互为逆运算.2 .算术平方根的定义正数的两个平方根可以用“”表示，其中表示的正平方根（又叫算术平方根），读作“根号”：表示的负平方根，读 作“负根号”.要点诠释：当式子有意义时，一定表示一个非负数，即0,要点二、平方根和算术平方根的区别与联系1 .区别：（1）定义不同；（2）结果不同：和2 .联系：（1）平方根包含算术平方根；（2）被开方数都是非负数；（3）0的平方根和算术平方根均为0.要点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根.（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.要点三、平方根的性质要点四、平方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动2 位,它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1 位.例如：，.【典型例题】类型一、平方根和算术平方根的概念1、下列说法错误的是（）A.5 是 2 5 的算术平方根 B.1 是 1 的一个平方根C.的平方根是一4 D.0的平方根与算术平方根都是0【答案】C；【解析】利用平方根和算术平方根的定义判定得出正确选项.A.因为=5,所以本说法正确；B.因为=1,所 以 1 是 1 的一个平方根说法正确；C.因为=4,所以本说法错误；D.因为=0,=0,所以本说法正确；【总结升华】此题主要考查了平方根、算术平方根的定义，关键是明确运用好定义解决问题.举一反三：【变式】判断下列各题正误，并将错误改正：(1)没有平方根.()(2).()(3)的平方根是.()(4)是的算术平方根.()【答案】V ；X；V；X,提示：(2)；(4)是的算术平方根.2、填空：(1)是 的负平方根.(2)表示 的算术平方根，.(3)的 算 术 平 方 根 为.(4)若，则,若，则.【思路点拨】(3)就是的算术平方根=,此题求的是的算术平方根.【答案与解析】(1)1 6；(2)(3)(4)9；3【总结升华】要审清楚题意，不要被表面现象迷惑.注意数学语言与数学符号之间的转化.举一反三：【变 式 1】下列说法中正确的有()：3是 9的平方根.9的平方根是3.4是 8的正的平方根.是6 4 的负的平方根.A.1 个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】B；提示：是正确的.【变式2】(2 0 1 5凉山 州)的平方根是.【答案】3.解：因为=9,9的平方根是 3,所以答案为3.3、使 代 数 式 有 意 义 的 的 取 值 范 围 是.【答案】；【解析】+120,解得.【总结升华】当式子有意义时，一定表示一个非负数，即2 0,0.举一反三：【变式】代数式=有意义，则的取值范围是.【答案】.类型二、利用平方根解方程4、(2 0 1 5春鄂州校级期中)求下列各式中的x 值，(1)1 6 9 x=1 4 4(2)(x -2)2-3 6=0.【思路点拨】(1)移项后，根据平方根定义求解;(2)移项后，根据平方根定义求解.【答案与解析】解：1 6 9 x 2=1 4 4,X 二.(2)(x -2)2-3 6=0,(x -2)6,x -2=,x -2二 6,/.x=8 或 x=-4.【总结升华】本题考查了平方根，注意一个正数的平方根有两个，他们互为相反数.类型三、平方根的应用5、要在一块长方形的土地上做田间试验，其长是宽的3倍，面积是1 3 23平方米.求长和宽各是多少米？【答案与解析】解：设宽为，长为3,由题意得，3 =1 3 233 =1 3 23=21(舍去)答：长为6 3米，宽为2 1米.【总结升华】根据面积由平方根的定义求出边长，注意实际问题中边长都是正数.沪教版初一数学下册知识点梳理重 点 题 型(常考 知 识点)巩固练习【巩固练习】选择题1 .1 6的平方根是()A.-4 B.42.下列各数中没有平方根的是(A.B.03.下列说法正确的是()C.4)C.D.25 6D.A.1 69 的平方根是1 3 B.1.69 的平方根是1.3C.的平方根是一1 3 D.-(-1 3)没有平方根4 .要使代数式有意义，则的取值范围是()A.B.C.D.5 .(20 1 5 江西校级模拟)下列各等式中，正确的是()A.-=-3 B.=3C.()2=-3 D.=36.一个数的算术平方根是，则比这个数大8数 是()A.+8 B.-4 C.-8 D.+8二.填空题7.计算：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).8 .的 算 术 平 方 根 的 相 反 数 是.9 .的 平 方 根 是；0.0 0 0 1 算 术 平 方 根 是：0的 平 方 根 是.1 0 .的 算 术 平 方 根 是：的 算 术 平 方 根 的 相 反 数 是.1 1 .(20 1 5 春丹江口市期末)若一个正数的两个平方根是2a -1 和-a+2,则 a=,这个正数是.1 2.表不3的；表示3的.三.解答题1 3 .求下列各式中的.(1)；(2)；(3).1 4 .(20 1 5 春福清市期中)福清某小区要扩大绿化带面积，已知原绿化带的形状是一个边长 为 1 0 m 的正方形，计划扩大后绿化带的形状仍是一个正方形，并且其面积是原绿化带面积的4 倍，求扩大后绿化带的边长.1 5 .思考题：估计与最接近的整数.【答案与解析】选择题1 .【答案】C；【解析】正数的平方根有两个，它们互为相反数.2.【答案】D；【解析】负数没有平方根.3 .【答案】B；【解析】1 69 的平方根是，的平方根是.4 .【答案】B；【解析】被开方数为非负数.5 .【答案】A；【解析】解：A、-=_ 3,故 A正确；B、3,故 B 错误；C、被开方数是非负数，故 C错误；D、=3,故 D 错误；故选：A.6.【答案】D；【解析】一个数的算术平方根是，则这个数是.二.填空题7.【答案】1 1；-1 6；9；3；.8 .【答案】；9 .【答案】；0.0 1；0.1 0 .【答案】2；-3；【解析】=4,=9,此题就是求4的算术平方根和9的算术平方根的相反数.1 1 .【答案】-1,9；【解析】解:依题意得，2a-1+(-a+2)=0,解得：a=-1.则这个数是(2a -1)2=(-3)故答案为：-1,9.1 2.【答案】算术平方根；平方根.三.解答题1 3 【解析】解：(1)(2)(3)1 4.【解析】解:原绿化带的面积：1O Z=IOO(m2),后绿化带的面积：4 X 1 0 0=4 0 0 (m ),则扩大后绿化带的边长是=20 (m),答：扩大后绿化带的边长为20 m.1 5 【解析】解：V 25 3 5 3 6即 5 6：3 5 比较接近3 6,.最接近的整数是6.沪教版初一数学下册知识点梳理重 点 题 型(常考 知 识点)巩固练习立方根和开立方【学习目标】1 .了解立方根的含义；2.会表示、计算一个数的立方根，会用计算器求立方根.【要点梳理】：立方根、实数，知识要点】要点一、立方根的定义如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方.要点诠释：一个数的立方根，用表示，其中是被开方数，3是根指数.开立方和立方互为逆运算.要点二、立方根的特征立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.要点诠释：任意一个实数都有立方根，而且只有一个立方根，并且它的符号与这个非零数的符号相同.两个互为相反数的数的立方根也互为相反数.要点三、立方根的性质要点诠释：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题.要点四、立方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动3 位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移 动 1 位.例如，.要点五、次方根如果一个数的次方(是大于1 的整数)等于，那么这个数叫做的次方根.当为奇数时，这个数为的奇次方根；当为偶数时，这个数为的偶次方根.求一个数的次方根的运算叫做开次方，叫做被开方数，叫做根指数.要点诠释：实数的奇次方根有且只有一个，正数的偶次方根有两个，它们互为相反数;负数的偶次方根不存在.；零的次方根等于零，表示为.【典型例题】类型一、立方根的概念：立方根实数，例1】1、下列结论正确的是()A.64 的立方根是4 B.是的立方根C.立方根等于本身的数只有0和 1 D.【答案】D；【解析】64 的立方根是4；是的立方根；立方根等于本身的数只有0和土 1.【总结升华】一个非零数与它的立方根符号相同；.举一反三：【变式】(2 0 15 春滑县期末)我们知道a+b=0 时，a 3+b3=0 也成立，若将a 看成a?的立方根，b 看成b3 的立方根，我们能否得出这样的结论：若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数.(1)试举一个例子来判断上述猜测结论是否成立；(2)若与互为相反数，求 I-的值.【答案】解：(1)+(-2)=0,而且 2 3=8,(-2)3=-8,有 8-8=0,.结论成立；即”若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数.是成立的.(2)由(1)验证的结果知，1 -2 x+3 x -5=0,x=4,1 -=1-2=-1.类型二、立方根的计算：立 方 根 实 数，例2】2、求下列各式的值：(1)(2)(3)(4)(5)【答案与解析】解：(1)(2)(3)(4)(5)【总结升华】立方根的计算，注意符号和运算顺序，带分数要转化成假分数再开立方.举一反三：【变式】计算：(1);(2)；(3).(4).【答案】(1)-0.2；(2)；(3)；(4).类型三、利用立方根解方程3、(2 0 15春罗平县期末)求下列各式中x的值：(1)3 (x -1)3=2 4.(2)(x+1)3=-64.【思路点拨】先整理成x 3=a的形式，再直接开立方解方程即可.【答案与解析】解：(1)3 (x-1)3=2 4,(x -1)M,x -1=2,x=3.(2)开立方得：x+l=-4,解得：x=-5.【总结升华】本题是用开立方的方法解一元三次方程，要灵活运用使计算简便.举一反三：【变式】求出下列各式中的：(1)若=0.3 4 3,则=；(2)若一3=2 13,则=；(3)若+12 5=0,则=；(4)若=8,则=.【答案】(1)=0.7；(2)=6；(3)=5；(4)=3.类型四、立方根实际应用4、在做物理实验时，小明用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱体烧杯中，并用一量筒量得铁块排出的水的体积为64,小明又将铁块从水中提起，量得烧杯中的水位下降了.请问烧杯内部的底面半径和铁块的棱长各是多少？【思路点拨】铁块排出的64水的体积，是铁块的体积，也是高为烧杯的体积.【答案与解析】解：铁块排出的64 的水的体积，是铁块的体积.设铁块的棱长为，可列方程解得设烧杯内部的底面半径为，可列方程，解得6.答：烧杯内部的底面半径为6,铁块的棱长4 .【总结升华】应该熟悉体积公式，依题意建立相等关系（方程），解方程时，常常用到求平方根、立方根，要结合实际意义进行取舍.本题体现与物理学科的综合.举一反三：【变式】将棱长分别为和的两个正方体铝块熔化，制成一个大正方体铝块，这个大正方体的棱长为 o （不计损耗）【答案】；类型五、次方根的运算5、（1）求的5次方根；（2）求的6 次方根.【答案与解析】解：（1）;（2）,还有.【总结升华】正数的偶次方根有两个，它们互为相反数沪教版初一数学下册知识点梳理重 点 题 型（常 考 知 识点）巩固练习【巩固练习】一.选择题1 .下列结论正确的是（）A.的立方根是 B.没有立方根C.有理数。