平面向量的概念及其线性运算.docx

高中数学——平面向量的概念及其线性运算命题范围：平面向量的概念和几何表示、共线向量、向量的加减、数乘等线性运算．[基础强化]一、选择题1．给出下列四个命题：①若|a|＝|b|，则a＝b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则＝是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④a＝b的充要条件是|a|＝|b|，且a∥b.其中正确命题的序号是(　　)A．②③ B．①②　　C．③④　　D．②④2．设非零向量a、b满足|a＋b|＝|a－b|，则(　　)A．|a|＝|b| B．a∥bC．|a|>|b| D．a⊥b3．[2022·新高考Ⅰ卷，3] 在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA.记＝m，＝n，则＝(　　)A．3m－2n B．－2m＋3nC．3m＋2n D．2m＋3n4．[2022·河北唐山三模]已知菱形ABCD的边长为2，·＝2，则||＝(　　)A． B．2C．1 D．25．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，＝λ(＋)，则实数λ＝(　　)A．－ B．C．2 D．－26．[2022·江苏一模]平面内三个单位向量a，b，c满足a＋2b＋3c＝0，则(　　)A．a，b方向相同B．a，c方向相同C．b，c方向相同D．a，b，c两两互不共线7．[2022·湖南怀化一模]已知平面向量a、b(a≠b)满足|a|＝3，且b与b－a的夹角为30°，则|b|的最大值为(　　)A．2 B．4C．6 D．88．已知平面内一点P及△ABC，若＋＋＝，则点P与△ABC的位置关系是(　　)A.点P段AB上B．点P段BC上C．点P段AC上D．点P在△ABC内部9．在△ABC中，点P满足＝2，过点P的直线与AB，AC所在直线分别交于点M，N，若＝m，＝n(m>0，n>0)，则m＋2n的最小值为(　　)A．3 B．4C． D．二、填空题10．在△ABC中，D是AB边上一点，＝3，且＝λ＋，则λ的值为________．11．在△OAB中，点C满足＝－4，＝x＋y，则y－x＝________．12．[2022·贵州省普通高等学校测试]在平行四边形ABCD中，＝2.若＝λ＋μ，则λ＋μ＝________．[能力提升]13．已知点P是△ABC所在平面内一点，且满足3＋5＋2＝0，已知△ABC的面积为6，则△PAC的面积为(　　)A． B．4C．3 D．14．如图，一直线EF与平行四边形ABCD的两边AB，AD分别交于E，F两点，且交其对角线AC于K，其中，＝，＝，＝λ，则λ的值为(　　)A． B．C． D．15．已知D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB的中点，且＝a，＝b，给出下列命题：①＝a－b；②＝a＋b；③＝－a＋b；④＋＋＝0.其中正确命题的序号为________．16．在△ABC中，＝，P是BN上的一点，若＝m＋，则实数m的值为________．答案1．A　当|a|＝|b|时，a与b的方向不确定，故①不正确；对于②，∵A，B，C，D是不共线的点为大前提，＝⇔ABCD为平行四边形，故②正确；③显然正确；对于④由于当|a|＝|b|且a∥b时a与b的方向可能相反，此时a≠b，故|a|＝|b|且a∥b是a＝b的必要不充分条件，故④不正确．2．D　由|a＋b|＝|a－b|的几何意义可知，以a、b为邻边的平行四边形为矩形，故a⊥b.3．B　因为BD＝2DA，所以＝＋＝＋3＝＋3(－)＝－2＋3＝－2m＋3n.故选B.4．B　根据题意可得＝＋，＝－，∵·＝2，即·(＋)＝2＋·＝2∴·＝－2，||2＝(－)2＝2－2·＋2＝12，即||＝2.5．A　由平行四边形法则可知，＝＋，又O为AC与BD的交点，∴＝－2，∴＝－(＋)，∴λ＝－.6．A　因为a＋2b＋3c＝0，所以3c＝－a－2b，所以(3c)2＝(－a－2b)2，所以9c2＝a2＋4b2＋4a·b，所以9＝1＋4＋4|a||b|cos 〈a，b〉，所以4＝4×1×1cos 〈a，b〉，所以cos 〈a，b〉＝1，所以〈a，b〉＝0，所以a，b方向相同．7．C　以|a|，|b|为邻边作平行四边形ABCD，设＝a，＝b，则＝b－a，由题意∠ADB＝30°，设∠ABD＝θ，(0°<θ<150°)，∵|a|＝3，在△ABD中，由正弦定理可得＝，∴AD＝6sin θ≤6，即|b|的最大值为6.8．C　∵＋＋＝＝－，∴＝－2，∴点P段AC上．9．A　因为＝2，所以－＝2(－)，所以＝＋，又＝m，＝n，所以＝＋.因为M，P，N三点共线，所以＋＝1，所以m＋2n＝(m＋2n)(＋)＝＋＋(＋)≥＋×2＝＋＝3，当且仅当即m＝n＝1时等号成立．所以m＋2n的最小值为3.故选A.10．－解析：∵＝3，∴－＝3(－)，∴4＝＋3，∴＝－＋.又＝λ＋，∴λ＝－.11.解析：根据向量加法的三角形法则得到＝＋＝＋＝＋(－)，化简得到＝－＋，所以x＝－，y＝，则y－x＝＋＝.12.解析：由＝2，得＝＝－＝－，所以＝＋＝－，即λ＝1，μ＝－，所以λ＋μ＝1－＝.13．C　∵3＋5＋2＝0，∴3(＋)＋2(＋)＝0，取AB的中点D，BC的中点E，连接PD，PE，则＋＝2，＋＝2，∴3＋2＝0，∴D、P、E三点共线，∴P到AC的距离为B到AC的距离h的一半，∵S△ABC＝AC·h＝6，∴S△PAC＝AC×＝×6＝3.14．A　∵＝，＝，则＝，＝2，∴＝＋，∴＝λ＝λ(＋)＝λ(＋2)＝λ＋2λ，由E，F，K三点共线可得λ＋2λ＝1，解得λ＝，故选A.15．②③④解析：∵＝a，＝b，＝＋＝－a－b，故①不正确；对于②，＝＋＝a＋b，正确；对于③，＝(＋)＝(－a＋b)＝－a＋b，故③正确；对于④，＋＋＝－b－a＋a＋b＋b－a＝0，故④正确，故正确的有②③④.16.解析：∵N，P，B三点共线，∴＝m＋＝m＋，∴m＋＝1，∴m＝.。