线性代数第1章第4节行列式按行展开.ppt

1,第一章 行列式,第四节 行列式按行（列）展开,一、行列式按某一行（列）展开,三、行列式按某 k 行（列）展开,,,,二、行列式计算方法类型举例,,,2,观察三阶行列式定义,3,对于三阶行列式，容易验证：,,可见一个三阶行列式可以转化成三个二阶行列式的计算.,问题：一个n 阶行列式是否可以转化为若干个 n－1 阶行列式来计算？,一、行列式按某一行（列）展开,4,定义1：,在 n 阶行列式中，把元素,所在的第 i 行和,第 j 列划去后，余下的 n－1 阶行列式叫做元素,的,余子式，,记为,称,为元素,的代数余子式．,例如：,,,5,,,,,,,注意：行列式的每个元素都分别对应着一个余子式和一个代数余子式．,6,定理1：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即,证明：,（先特殊，再一般）,分三种情况讨论，我们只对行来证明此定理．,(1),假定行列式D的第一行除,外都是 0 ．,7,由行列式定义，D 中仅含下面形式的项,其中,恰是,的一般项．,所以，,8,(2),设 D 的第 i 行除了,外都是 0 ．,把D转化为(1)的情形,把 D 的第,行依次与第,行，第,行，······，,第2行，第1行交换；再将第,列依次与第,列，,第,列，······，,第2列，第1列交换，这样共经过,次交换行与交换列的步骤．,9,由性质2，行列式互换两行（列）行列式变号，,得，,10,(3),一般情形,11,例如，行列式,按第一行展开，得,证毕．,12,定理2：行列式任一行（列）的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即,证明：,由定理1，行列式等于某一行的元素分别与它们代数余子式的乘积之和．,在,中，如果令第 i行的元素等于 另外一行，譬如第k行的元素.,13,则,第i行,右端的行列式含有两个相同的行，值为 0 ．,,,14,综上，得公式,在计算数字行列式时，直接应用行列式展开公式并不一定 简化计算，因为把一个n阶行列式换成n个（n－1）阶行列 式的计算并不减少计算量，只是在行列式中某一行或某一 列含有较多的零时，应用展开定理才有意义．但展开定理 在理论上是重要的．,15,利用行列式按行按列展开定理，并结合行列式性质，可简化行列式计算：计算行列式时，可先用行列式的性质将某一行（列）化为仅含1个非零元素，再按此行（列）展开,变为低一阶的行列式，如此继续下去，直到化为三阶或二阶行列式．,16,例：按某行（列）展开计算行列式,解法一：按第一行展开,,17,解法二：按第三列展开,,18,解法三：先调整，再展开．,,19,例: 计算行列式,,,解:,原式,20,,,21,例：计算,解：,,,22,例：计算行列式,解：,23,,例: 计算 n 阶(n > 1)行列式,解一：,按第一列展开,,,,,,,24,解二：,按第一行展开,而,25,例：已知四阶行列式D中第三列元素依次为－1, 2, 0, 1．它们的余子式依次分别为5, 3, －7, 4，求D =？,解：,由题意知,而,所以,26,例：已知四阶行列式D中第一行上元素分别为1, 2, 0, －4;第三行上元素的余子式依次为6, x, 19, 2．试求x 的值．,解：,由题意知,a11=1，a12=2，a13=0，a14=－4 ；,A31=6，A32=－x，A33=19，A34=－2．,而,故,所以 x = 7．,27,例：设,求4A12+2A22－3A32+6A42，其中Ai2为D中元素ai2(i =1, 2, 3, 4) 的代数余子式．,解：,因4, 2,－3, 6 恰好为D中第3列元素，而A12，A22，A32，A42 为D中第2列元素的代数余子式．,故,4A12+2A22－3A32+6A42=0．,28,例：已知5阶行列式,试求 其中A2j为D中元素a2j ( j =1,2,3,4,5)的代数余子式．,解：,由行列式展开定理有,29,由,有,解方程组得,30,例：已知5阶行列式,试求 其中A4j为D中元素a4j ( j =1,2,3,4,5)的代数余子式．,解：,由行列式展开定理有,31,由,有,解方程组得,32,例：设,次记作Aij ，求D 中第四行各元素的代数余子式之和，即求A41+ A42+ A43+ A44 ．,解：,,构造行列式,D与D1前三行相同，所以D与D1的第四行各元素的代数余,子式相同．,D中元素aij 的代数余子式依,33,将D1按第四行展开，,所以有,有,34,例：设,D中元素aij 的余子式和代数余子式依次记作Mij 和Aij ，求,及,解：,注意到,,等于用1，1，1，1代替D,中的第一行所得行列式，,即,35,36,37,例：,按第二列展开,按第二行展开,三、行列式计算方法类型举例,38,例5 计算 n 阶行列式,39,解法一（直接法）,将行列式第一行的（- 1）倍,分别加到其余各行，得,这种形状的行列式称为,40,41,那么将第 i 列的 (-bi/ai)倍 (i = 2,3,…,n) 统 统加到第１列，得,爪型行列式,(ai  0,i=2,3, … ,n),爪型行列式及其计算,42,其中,所以 Dn = c1a2…an .,已化为三 角行列式,43,解法二（加边法或升阶法）,,44,45,例：,46,D=,47,例：,箭形行列式,目标：把第一列化为,成三角形行列式,48,例：,49,=,50,例：,（可以化为箭形行列式）,51,52,求第一行各元素的代数 余子式之和,解:,第一行各元素的代数余子式之和可以表示成,例：设n阶行列式,53,例：计算行列式,解：当x＝0 或y＝0时，显然D＝0，现假设x≠0，且y≠0，有,加边法,54,例：计算n阶行列式,解法一：化三角形法．（略）,解法二：按第一行展开，得,递推法,55,即D1，D2，…，Dn 组成一个等差数列．,又,因此可知D1，D2，…，Dn 的是首项2，公差为1的等差数列，于是,56,例：用递推关系法求行列式,解：将行列式降阶展开,57,58,例：计算n阶行列式(递推公式法),解: 由行列式Dn可知,将Dn按第1列展开,59,这个式子对任何n(n2) 都成立,故有,60,例：利用递推公式法计算,解：按第一行展开,61,返回,上一页,下一页,62,例:,证明范德蒙德(Van der monde)行列式,63,证明：,用数学归纳法,(1) 当n=2时,,结论成立．,(2) 设n－1阶范德蒙德行列式成立，往证n阶也成立．,64,65,证毕．,n-1阶范德蒙德行列式,66,例: 利用范德蒙行列式求解,解：,67,例：设a > b > c > 0，试用范德蒙德行列式证明,证明：,68,证毕,69,例：计算 n 阶行列式,解：,70,71,三、行列式按某 k 行（列）展开*,定义：在n阶行列式D=|aij|中，任意选定k行k列(1≤k≤n)，位于这些行和列交叉点上的k2个元素按原来顺序组成的一个k阶行列式M，称为D的一个k阶子式．在D中划去这k行、k列后，余下的元按原来的顺序组成的一个n-k 阶行列式N，称为k阶子式M的余子式．如果k阶子式M在D中所在的行和列的标号分别为i1, i2, …,ik；j1,j2,…,jk，则在M的余子式N的前添加符号,后，所得到的n-k阶行列式，称为k阶子式M的代数余子式．子式M的代数余子式记为B，即,72,例：四阶行列式,若选定第一、三行，第二、三列，则,,,,,,,,,,,,,73,定理（拉普拉斯定理） 在n阶行列式中，任意取定k行（列）(1≤k≤n-1)，由这k行（列）组成的所有k阶子式Mi ( i=1,2…,t )与它们的代数余子式Bi ( i=1,2…,t )的乘积之和等于行列式 D．,其中,74,例：用拉普拉斯定理求,解：按第一行和第二行展开,,,,,,75,拉普拉斯定理推论：设A、B分别为m阶和n阶方阵，则,76,例：用拉普拉斯定理计算行列式,解：,,,77,小 结,利用定义计算行列式只限于二、三阶或特殊类型，如三角形等．对一般行列式的计算，主要是利用行列式的性质，将其化为三角形或降阶，加边法、递推法有时也会用到．在证明题中，常用数学归纳法．,。