清华大学【微积分】极限与连续1.1.docx

第1章 极限与连续§1」实数与实数集实数集有理疵集与实数集的关系：稠密、不占满（无理数的存在性）例1・1・1血不是有理数有界集：设A是实数集，若存在正数M>0使得\x\

确界的另一种定义：设A是实数集，0（是实数，若（1） x a）对所有的兀w 4都成立，且（2） 对于任意的ya）,存在xw A使得（%>/）（% 2000时，色随着丿曾大而减少，“距离0越来越近”那例 1.2.1“趋此处， 而增大， 么如何描述？ 定义121设｛色｝是一个数列，A是一个常数若对于任意给定的一 个正数£,都存在正整数N>0,使得时总有|陽 _ A| V £ , 则称A是数列仇｝在时的极限称数列仏”｝收敛，数 歹|J｛~｝收敛于A,记作 lim% = A.HT8 若limaM=0,则称仏”｝是“too时的一个无穷小量HT8 1 J例122用极限定义证明limi±kir = o.川 TOO 722 <£,只要-<£,只要n证> 0,要1 + (-1)"nV^>0, mN = max(l,[?]), 有2 /n>— •从而有1 + (-1)〃n例123用极限定义证明,当0v|g|vl时, 证V£>0,要弹卜£,只要问rt>\,当 £>1;斤 >也二当£<1.In E\/e > 0, BN - max(l,―),1啲|只要从而有\/n > N冇 qn即 limH(d)： = 0刃 Too 72limq"=0・"T8即 limq" =0.HT8若对于任意的常数A,数列仏｝都不收敛于A,则称数列 ｛込｝发散。

i//i严一 1 =00, 3N = 1, XM>N有G>1时，V£>0,要”"一1卜£,即要a-\"一 I "一 2 1a n +" +・・・ + o" +1只要口<£,即心口 n e从而冇 Vr>0, BN = max(l,V/i> N冇严一 1 =0<£,Q〉1 时，0£〉0,要”""_1V£,只要 1-攻八〈1+& 只要 R">1-& n>l,当 £>1;型匕®,当£<1.“ Inez从而有BN = <总上可知，当G>0时,例1.2.5用极限定义证明,1,当心ln(l —£) max(l,— ),in alim严=1.〃T8当a > 1时,证 V^>0,要斗-Ov& BPna1即要lim —= 0.“Too ann当n>2时，即要只要nl + 〃(a_l)+ D(a~])2+ …+ (a — l)w\/£ > 0, 3N = max(2,(cz—iy e72+ 1 ), Vm > 2VTT —<£ ，lim —= 0.〃T8 a"例126证明,若lim%",则lin/严…+色".刃 T8 7?证 V^>0,因为 lima”=A,所以 BN.eQ \/n> Nx\an-A\<-. 时,"Too 2a + • — a a】+ …+ 氐 + cIm .1 +••• + %| "i 丁 丁 竹？ _ 人 |=| i \| 仙+i ” _ 人 |n n(a】 +••• + ◎厂"/) + (伽+1 + …+ a“_(M_NJA)=1 ! ! 1"T8N[+ln(q + …+ Qq —N]A) 1(0"+1 +・・・ + d“ 一("一 NJA) I—I I +n<1(Q] + …+ 伽 一 "/) £l+T2(|q| +…+|伽 l+NjA|)(cl +••• + = 一 N、A) fVm>7V2| 乞——1<取 N = max（N\,NJ,则当刃 > N 时| 坷 + …+ ® -A|

证 设数列｛%｝有两个不同的极限A和3,不妨设AvB・对于正数£ = f 0,日正整数“ >0使得V/i > N｛有庇一內° =色于，人B_A 色 vA + —对于正数£ = W > 0, m正整数N2〉0使得V/1 > N2有\an -B\<£ = W，J>B —B-A2令N = max（N],则当m > N时,同时有v " + "和a > " + "成立,- 2 2 矛盾所以，收敛的数列的极限必唯一定理122 （有界性）收敛的数列必有界证 设lim atl=Ao对于正数£二1,存在N使得V/? > N有an-A\N时有|q“|v|a| + 1・令M =max（同,込|，・・・，|订，|內+ 1），则 对于任意的川有\a.\0,则存在正整数W使得心/V时必 川一>8有an >0.若lim^=A<0,则存在止整数N使得心N时必"T8有an < 0・证只证明A<0的情形（A>0时类似）对于正数£ =岂，存在正整数N,使得当2®时有|^-A|<^ = —,2 2从而有Xfn>N冇a”-即a” <△<（）・»•研究定理1.2.3的逆否命题知，若数列匕｝收敛于All存在正整数W 使得心N时必有 an>0 （<0）,贝'J A>0 （50）.定理1.2.4 （保序性）若lim an= A 9 lim bn = B,且AvB,则存在正整HT8 ”T8数N使得心N时必有J < *・证对于正数e =—存在正整数M使得当n > N|时有w 2 右 a B — A nn A + BVn > N、T\an - A < 、即匕 < 。

2\b„~Bn> N2时有对于正数“二彳，存在正整数M ,使得当B-A<£ = 2_ 2 2综上，存在正整数7V = max(7V,,7V2),使得当时有色 < 苇冬仇定理124的逆否命题是：若limy严A, limb =B,且存在止整数N 打一>8 /r->oo 91使得n> N吋必有 an 0, 因为lima”=A,所以存在止整数"，使得V/? > N｝有|%-A|v£/2;HT8 I因为\imbn = B ,所以存在正整数M ,使得"T8Vn>N2 有\bn-B\<£/2.令/V = max(M，N2),贝U当斤 >何时有|(色土仇)—(A±B)|5|a,厂A| +血—8|<£/2 + £/2 = £所以有lim(a” ±bn) = A± BHT8(2)由有界性定理，存在正数％使得对于任意的斤有\bn\0 ,因为lim an= A ,所以存在正整数，使得XT8V/7 > 7V,有他―A因为hmbn = B”T8所以存在正整数M ,使得V/7> N2 有 bn-B则当n>N时有anbn ~ AB\ = |aA - A" + Abn- AB\ < \anbn - Abn\ +1他- AB\\m(aflbn) = AB ・HT8(2)由有界性定理，存在正数使得对于任意的比有\bn\0 ,因为lim an = A ,所以存在正整数厲，E< ；2MbVn > N、有 - A|因为Y\mb =B 9所以存在正整数N° ,V/7 > A^2 有 \bn - B< 2(1/11 + 1)*令N = max(N、，N2)，则当n>N 时有a嵐- AB\ = \anbn - A" + Abn 一 AB\ < \anbn - Abn\ +1Ab” 一 AB 命同所以有=|陽-州加+皈一b||a <\im(anbn) = AB ・"T8(3)因为BhO,所以圈/2>0・ 对于正数|B|/2>0,存在正整数N。

使得Vh > N°有, \hn-B\<£^, B—也 对于任意的正数£>()，因为lim an幵T8因为Y\mbn = B ,所以存在正HT8 z , , |b|2£仲”如制帀 令 N = max(N(),N|,NJ ,贝lJX//?>N有弓v/2 +些如占A,所以存在正整数"，使得Pn>N\有庇一 A|v整数M ,BeV9使得AanB - Abn3店 一 AB) 一 (Ahn 一 AB)仇BB"B"<4( A+1)+BfeanB- ABB*Bea| v~r^r +1回2-AB"—B B"|A|<|,从而有lim(a“ !bn) = A/B ・例1.2.7设求1曲+ ：+町+…+ ：：・' ' i ]+b + b_ +•••+/?解l + a + d? •…+ a"=―-—,所以有 1-6/1 一严 Hml — a曲 11 + ° + 夕+・・・ + °"二 l-d = “巴 l-G = l-d = —b宀中+戻+…+夕一〃*i —穴 一 1_产 一 1 ~\-alim ;~~-1-b “T8 l-b \-b1.2.3极限存在的充分条件定理126陕逼定理）若存在正整数N使得％ >N都有at