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华数奥赛期末测试华数奥赛期末测试一、填空题一、填空题.（16 分）1.盈盈有 1、2、5、10 元面值的邮票四种，有一天她寄了 12 封信，每封信贴的邮票金额各不相同，且每封信贴的邮票张数要尽可能少，共贴了 80 元邮票，问她共贴了 张邮票.分析 23 解：因为 12 封信贴的邮票金额各不相同，共贴了 80 元，1+2+3+…+12=78，而 80 比 78 多 2，所以只能是 12+2=14，或者11+1=12，12+1=13，即 1，2，5，10（金额的各要 1 张） ；3=2+1，4=2+2，6=1+5，7=2+5，11=1+10（3，4，6，7，11）元金额的各要 2 张；8=1+2+5，9=2+2+5，14=2+2+10（8，9，14 元金额的各要 3 张）.（也可以12=2+10，13=1+2+10 来代替和 14）.所以共贴了 23 张邮票.2.现有长度分别为 1 厘米、2 厘米、3 厘米……9 厘米的小木棍各一根，从中选出若干根来围成正方形，共有 种不同的围法.（不可以将木棍折断）分析 9 解：由于不能将小木棍折断，所以围成正方形的边长至少是 7 厘米：1+6；2+5；3+4；7.这只有一种可能.边长至多是 11 厘米：（1+2+3+…+9）÷4=11……1.边长是 11 厘米的有 9+2；8+3；7+4；6+5，只有一种可能.边长是 10 厘米的有 9+1；8+2；7+3；6+4，也只有一种可能.边长是 9 厘米的有 9；8+1；7+2；6+3；5+4，有 5 种可能.边长是 8 厘米的有 8；7+1；6+2；5+3，只有一种可能.3.从 1 到 1998 的自然数中，有 个数乘以 72 后是平方数。

分析 31 解：72=2³×3²，只要乘的数是平方数的 2 倍，乘积就是完全平方数.1998÷2=999，31²=961<999<32²=1024，因此，小于 999 的平方数有1²，2²，…，31².有 31 个数乘 72 后是完全平方数.4.圆珠笔 5 枝包装售 51 元，8 枝包装售 72 元，张老师教的班有 49 位小朋友，张老师要给每位小朋友 1 枝笔，张老师至少要花 元分析 462 解：买 5 包 8 枝和 2 包 5 枝，虽多出 1 枝，但花的钱比买 3 包8 枝和 5 包 5 枝便宜.所以至少要花 462 元.5.由甲到乙地有一条线路的公交车，全程行驶时间为 42 分钟，到达总站后，司机至少休息 10 分钟，公交车就调头行驶如果这条线路甲、乙两边总站每隔 8 分钟都发一辆（不必是同一时间） ，则这条线路至少需 辆公交车分析 13 解:一辆车在一总站发车,到下一次在这个总站再发车,需要(42+10)×2=104(分钟),104÷8=13(辆).所以,至少需要 13 辆巴士. 6．10 吨货物分装若干箱，每只箱子重量不超过 1 吨。

为了确保在任意分装情况下，都能一次将这批货物运走，那么，载重量为 3 吨的汽车，最少要准备 辆分析 5 解:我们先从整体考虑:因为每只箱子不超过 1 吨,所以每部汽车装的货物至多 3 吨,但一定超过 2 吨,所以 10 吨货物要装备 5 辆车.再让我们具体思考一下.因为“每只箱子重量不超过 1 吨” ，所以每辆车装的箱 数不可能是 3 箱以下，至少是 3 箱.当正好是 4 箱时,每箱重:3000÷4=750(千克). 因为我们要求是在“任意分装情况下”即是要考虑“最坏”情况,所以不妨任意取每箱重量为 吨,这样共有 13 箱,而每辆车上可装 3 箱,但不能装 4 箱,因为 ×4=3 (吨),而 13÷3=4(辆)……1(箱),多的 1 箱只能再装一辆车,所以一共 要4+1=5 辆车.二、操作题二、操作题. .（36 分） 1.写出两组满足条件 + = (a、b 为不同的大于 0 的自然数)的 a、b 的值.分析 答案不惟一 解：这道题实际上是将 拆成两个分数单位的和. 2002=2×7×11×13,2002 的约数有 1、2、7、11、13、14、22、26、77、91、143、154、182、286、1001、2002. 可以先把分子分母同时乘上(1+2)： == = ，则有 a=6006，b=3003.2.右图是某市的部分街路图,有甲、乙、丙、丁四位好友准备从火车站乘出租车回家.图中甲、乙、丙、丁表示各家的位置.如果一辆出租车最多乘坐 4 位乘客,每行驶 1 千米收费 1.50 元,并且随时随地都有出租车服务.请你设计一个最节约的方案,使这四个人乘出租车到各家的车费总和最少,并求出此总和.(图中数据是其相邻路口间距离.单位:千米)分析 28.50 元 解：四人从火车站乘车到 A，丙下车另乘车回家，甲、乙、丁继续乘车到 B，丁下车另乘车回家，甲、乙继续乘车到甲家，甲下车，乙继续乘车回家.车费总等于：1.50×（4+4+2+1+3+4+1）=28.50（元）.3.请找出符合下列性质的所有四位数.(1)它是一个平方数；（2）头两位数的数字要相同；（3）最末两位数的数字要相同.分析 7744 解：设四位数为 aabb.因 aabb=1000a+100a+10b+b=11× a0b，13101310131a1 b1 2002124丁乙甲丙ACB4 134火车站2002120021）（21200221  ）（）（2120022 2120021 30031 60061要 aabb是完全平方数，则 a0b能被质数 11 整除，因而 a0b只能是 902、803、704、605、506、407、3308、209.由这些数被 11 除的商必须是完全平方数知，只有 704 符合.故此求的数是 7744（即a=7，b=4）.4.有 50 张卡片,每一张都分别写着从 1 到 50 的数字.卡片的两面一面是红色,一面是蓝色,两面都写着相同的数字.有一个班正好有 50 个学生,老师把这 50 张卡片都将蓝色朝上摆在桌上,对同学们说:“请同学们按学号顺序(从 1 开始)逐个到前面来翻卡片,规则是:只要卡片上的数字是你自己的学号的倍数,你就把它们翻过来,蓝色的就翻成红色的,红色的就翻成蓝色的.”请问,最后学号是 50的学生按老师要求翻完后,红色朝上的卡片有几张？分析 7 张 解：按翻卡片的要求来看，一个数含有几个约数，就会被翻几次.如果被翻了奇数次，则为红色在上，而只有完全平方数才会有奇数个约数，所以也就是求 1～50 个数中，含有几个完全平方数：1、4、9、16、25、36、49，所以红色朝上的卡片有 7 张.5.有四种不同重量的砝码,分别是 1 克、3 克、8 克和 12 克，每种重量的砝码都各有 3 个，在称物体重量的时候，砝码只能放在天平的一边，而且每次最多用3 个砝码.那么，用这些砝码称物品的重量时，不能称出来的整数克物品的最轻重量是多少克？分析 22 克 解：用实验法对数进行分拆，可以发现，从 1～21 克是可以拆出来的：1、1+1、3、3+1、3+1+1、3+3、3+3+1、8、8+1、8+1+1、8+3、12、12+1、12+1+1、12+3、12+3+1、8+8+1、12+3+3、8+8+3、12+8、12+8+1，由于用三个砝码最大可以称 36 克，因此不能称出的必小于 36，又因为 8+8+8=24，8+8+3=19.因此可以发现要称出 20 克、21 克、22 克、23 克的物品必应用 12 克的砝码.而22 克-12 克=10 克，10 克不能用 1 克、3 克、8 克中的任意两个砝码来表示，因此，22 克为第一个不能用 3 个砝码来称出的物品。

6.从 49 名学生中选正、副班长各一名，A、B、C、D 四人为候选人.统计了 37 张选票后的结果是：A 得 11 票，B 得 10 票，C 得 9 票，D 得 8 票.A、B 至少分别再得几张票才能保证当选班长呢？分析 A：3 张；B：4 张 解：A、B 两人确保当选，最终的选票要比第三名多一票.现在 C 是第三名，因此，剩下的选票：49-37=12（张） ，为 A、B、C 三人竞争.三人选票一共为 49-8=41（张）,41÷3=13……2，所以 A、B 两人最终得 13+1=14（张）才能确保当选.所以 A 还要得 14-11=3（张） ，B 还要得 14-10=4（张）.三、说理题三、说理题. .（30 分）1.有一种挂历上面只印有月、日及星期，为了节约起见，可将此挂历留作日后使用.问公元 1998 年使用过的日历，最早能在公元哪一年再使用？分析 2009 年 解：最早于 2009 年再使用.因为 2000，2004，2008 年闰年.2.如右下图将 1～8 这八个自然数分别填写在正八边形的 8 个顶点上，如果要使任意相邻的 3 个顶点上的三个数的和都大于 13，你能否做到？若能做到，请给出一种答案；若不能做到，请说明理由.分析 无法做到 解：我们可先假设能做到，则任意相邻三个顶点上的数的和至少是 14，则八个和≥112（14×8）.而这八个和实际上是把 1～8 这八个数各加了三遍，（1+2+3+…+8）×3=108＜112，这与上面的假设矛盾，所以无法做到.3.用边长 1 厘米的正方形瓷砖，黑白相间，铺成一个 4×6 的矩形.一只蚂蚁从左上角的 A 点出发沿正方形的边爬到右下角的 B 点.如果蚂蚁在爬行中，它的左边必须始终是黑色的瓷砖，那么蚂蚁至少爬行了多少厘米？（如右下图）分析 12 厘米 解：由于要求中必须是在其左边是黑色的瓷砖，因此首先 A-D 和 N-B 的最短路线是确定的，不确定是从 D-N 的过程，可以通过试验的方法来分析（如下图）.所以一共经过了12 厘米.4.有座长方形城堡，四周有 10 个掩体（如右下图）.守城的士兵有 10 件武器，每个掩体中各有一件武器，各种武器的威力系数如下表：武器手枪步枪自动步枪冲锋枪轻机枪重机枪迫击炮火箭筒加农炮榴弹炮威力系数12345678910A CDN B为了使每一面的武器威力系数都相同，并且尽量大，应如何在 10 个掩体中配备武器？分析 威力系数：22 解：因为四个角的武器每个角都属于两个面，所以四个面的武器的威力系数之和，等于所有武器的威力系数之和，再加上四个角的武器威力系数.推知四个角的武器威力系数应尽量大.因为 1+2+3+…+10=55，当四个角的威力系数为 10、9、8、7 时，55+10+9+8+7=89，89 不是 4 的倍数，所以四个角只能是 10、9、8、6 由此可得每一面的威力系数应是（55+10+9+8+6）÷4=22.分配如下图：5.一个正整数若能表示为两个正整数的平方差，则称这个数为“智慧数” ，比如16=5²-3²，16 就是一个“智慧数” ，那么从 1 开始的自然数列中，第 2003 个“智慧数”是多少？分析 2673 解：a²-b²=（a+b） （a-b） ，因为（a+b）和（a-b）同奇同偶，所以“智慧数”是奇数或是 4 的倍数.①任何大于 1 的奇数都是 “智慧数” ；②任何大于 4 的 4 的倍数都是“智慧数” ；在 1～2672 中共有“智慧数”2002 个，所以第 2003 个“智慧数”是 2673.四、解答题四、解答题. .（18 分）1．在一次数学竞赛中所有参赛者对的分数都是整数，合计是 8640 分.80 分以上的高分者只有三人，分别是 92 分、85 分、81 分，最低分是 25 分.在这次比赛中得相同分数的人只有三人.那么在这次比赛中包括高分的三人在内得到的 60 分以上的人至少有多少人？分。