高等数学概率的基本公式.ppt

返回第二节 概率的基本公式一、概率的加法定理1. 设A; B 为任意两个事件,则: P(A+B) = P(A) +P(B) – P(AB) ABP(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)–P(AB)-P(AC)-P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)–P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)P(BC)+P(ABC)返回例题1l右图A,B开关的开与关概率均为1/2 , 求灯亮的概率.l解:P(灯亮) = P(A+B) = P(A)+P(B)-P(AB) =AB法2：返回推论1. 若A. B 为互不相容的两个事件,则P(A+B) = P(A) + P(B)一般地,若A1 ,A2,…,An 两两互不相容,则返回推论推论 2对任一事件A, 有推论推论 3若事件A B,则P(A-B)=P(A)-P(B) 返回例题2l盒中有32只红球, 4只白球,从中任取2支,求: 至少有1只白球的概率.l解：解：P(恰好1只白球)=P(A) =P(恰好2只白球)=P(B) =P(至少1只白球)=P(A+B) =P(A)+P(B)解法2:返回例题3l10名学生为同一年出生, 问至少二人同一天生日的概率.l解解: P(二人同一天)=1-P(没有人同一天生日) =1- 返回例题4一盒试样共20支，放置一段时间后，其中有6支澄明度较差，有5只标记不清，有4只澄明度和标记都不合要求，现从中任取1支，求这只无上述问题的概率。

解：解：A=｛澄明度较差｝；B=｛标记不清｝返回二、概率的乘法公式1.条件概率定义:事件A和B,若P(A)≠0,则下式称为在事件事件A A 发生的条件下发生的条件下B B发生的概率发生的概率或BA返回例题1l10件物品中有2件次品,若不放回地抽取,问:第一次取到正品后第二次取得正品的概率.l解解: 设 A={第一次取到正品} B= {第二次取到正品} 则所求概率为:返回例题2一群人中,聋子的概率为0.005,盲人的概率为0.0085,而聋子中是盲人的概率为0.12,求某人又聋又盲的概率.解解: 设A={聋子}; B={盲人} 则: 所求概率： P(又聋又盲)=P(AB)返回条件概率的性质:l1. P(B/A) ≥0l2. P(U/A)=1 , P(V/A)=0l3. P(B/A)=1- P(B/A)l4. P(B1+B2/A)=P(B1/A)+P(B2/A)-P(B1B2/A)特别地: 当条件A= UA= U 时,条件概率就变成无条件概率了. 即:P(B/U)=P(B)返回2. 独立事件与乘法公式独立事件独立事件定义: 若P(B)=P(B/A)P(B)=P(B/A),则称事件B与事件A独立由于：定理定理2:2:事件A与B相互独立返回l例题例题1 甲打中的概率为0.7,乙打中的概率为0.9。

设A=｛甲打中｝；B=｛乙打中｝，则:1.甲乙两人都打中的概率为: 2.目标被打中的概率为: 3.P(甲脱靶/目标击中)返回例题2甲.乙.丙三人能破译某密码的概率分别为问密码能被破译出来的概率.解:例题例题3 (见142页例6-18)返回 例题例题4: 彩电使用10000小时无故障的概率为95%,使用15000小时无故障的概率为60%;现有一台彩电已使用了10000小时无故障,问该彩电继续使用到15000小时无故障的概率?解:设A={使用10000小时无故障}; B={使用15000小时无故障}所求概率为: P(B/A)==返回三、全概率公式及Bayes公式完备事件组完备事件组:事件A1 , A2 ,,… , An两两互不相容,且P(Ai)>0;.全概率公式全概率公式设事件A1 , A2 ,,… , An为一完备事件组,则对任一事件B,都有:返回证明:A1A2AiAn……B返回例题1口袋中有3红2白球，现无放回无放回地取2球，问第二次取到红球的概率？解：设A：第一次取到红球 B：第二次取到红球返回例2： 甲、乙、丙三车间的次品率分别为1%，1.5%，2%，且全厂各车间产品所占比例为25%，35%，40%，求全厂的次品率？解：设Ai (I=1,2,3)：分别为抽得甲、乙、丙三车间的产品 B：表示抽到次品。

则：P（B）返回Bayes公式（逆概率公式）另：返回例例3：：患结核病的人胸透被诊断为结核病的概率为0.95，而未患病的人误诊的概率为0.002，又知某城镇居民的结核病患病率为0.001，现有一人经胸透被诊断为结核病，问确实患有结核病的概率？解：解：设A：被诊断为结核病；B：确实患有结核病 P（B/A）返回四、独立重复试验和伯努利（四、独立重复试验和伯努利（Bernoulli)Bernoulli)概型概型独立重复试验：在相同条件下重复试验，各次试验的结果相互独立的随机试验伯努利（Bernoulli) 试验：每次试验结果只有A与A的独立重复试验例：扔硬币；射击等返回定理：定理：n次Bernoulli试验中，事件A出现k次的概率为：并且其中P(A)=p，p+q=1例1：扔5次硬币正面出现3次的概率为：返回例例2：：5个细菌随机出现在3个试管溶液中，则第一个试管溶液中的细菌不多于一个的概率？解：设：P(A)=P(某个细菌落在第一个试管)。