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微积分(B)上册必考题 微积分的必考可能难题是：求极限，求积分，微分方程，证明等式和不等式，应用题（相关变化率，微分方程，元素法求平面图形体积面积弧长和一些物理问题，此处难点在积分和微分方程的求解） 一、极限 求极限的几个原则: a. 能先求的先求，能化简的化简，能等价无穷小替换就替换 b. 洛必达法则 c. 泰勒公式无敌 后面两种方法要把式子变为分式（可采用倒代换） 1.用四则运算求极限 limx®0x2+3x+4 limx®0(x+13lg(2 +x2)(1 -x)2+cos x) 对于非未定式，考试有可能表达式看起来很难，但实际上直— 欢迎下载 2 接带入求极限，别犯傻！ 2. 用两个重要极限，这里只讲幂指函数极限 limx®p4(tan x)tan2 x 幂指函数，且里面极限是 1，就可以凑一个“1+” ， 在用两个重要极限求极限时，若底数化成 e 指数出现了带有极限变量的乘积项，则可用倒代换化成分式 limx®¥(cosax+ksinax)xelimx®¥x(cosax+ksinax-1) 此时，令x =at,就elimt®0a(cost+ksint-1)t,用泰勒公式展开即可。

3. 等价无穷小的替换， 实际上是泰勒公式的特殊情况， 只不过就展开了一项 4. 能求出的极限先求出来 （其实也是泰勒公式的展开， 只不过就展开了一个常数项而已） limx®0(1+tan x - 1+sin xx 1+sin2x -x) 元素法求平面图形体积面积弧长和一些物理问题此处难点在积分和微分方程的求解一极限求极限的几个原则能先求的先求能化简的化简能等价无穷小替换就替换洛必达法则泰勒公式无敌后面两种方法要把式子变为分式可采用倒代换里只讲幂指函数极限幂指函数且里面极限是就可以凑一个在用两个重要极限求极限时若底数化成指数出现了带有极限变量的乘积项则可用倒代换化成分式就用泰勒公式展开此时令即可等价无穷小的替换实际上是泰勒公式的特殊情况面两个等价无穷小替换下面有一项能先求出来先求出来的向在极限过程中与等价无穷小替换一样必须是一个乘积项洛必达法则用之前判断未定式上下项数不多导数好求缺点比如等等永远无法用多项式表示若遇到上下幂次很高求导将— 欢迎下载 3 limx®0(( 1+tan x - 1+sin x)(1+tan x + 1+sin x)(x 1+sin2x -x)(1+tan x + 1+sin x)) limx®0(tan x(1 -cos x)(x 1+sin2x -x)(1+tan x + 1+sin x)) 上面两个等价无穷小替换，下面有一项能先求出来。

**先求出来的向在极限过程中与等价无穷小替换一样，必须是一个乘积项 5.洛必达法则 **用之前，判断未定式！ ！ ！ 上下项数不多，导数好求缺点：比如 sinx 等等永远无法用多项式表示，若遇到上下幂次很高，求导将变得十分复杂 如：limx®0(1+12x2- 1+x2(cos x-ex)sin( x2)) 00,¥0,1¥三种类型 对于0¥，直接就能看出来 元素法求平面图形体积面积弧长和一些物理问题此处难点在积分和微分方程的求解一极限求极限的几个原则能先求的先求能化简的化简能等价无穷小替换就替换洛必达法则泰勒公式无敌后面两种方法要把式子变为分式可采用倒代换里只讲幂指函数极限幂指函数且里面极限是就可以凑一个在用两个重要极限求极限时若底数化成指数出现了带有极限变量的乘积项则可用倒代换化成分式就用泰勒公式展开此时令即可等价无穷小的替换实际上是泰勒公式的特殊情况面两个等价无穷小替换下面有一项能先求出来先求出来的向在极限过程中与等价无穷小替换一样必须是一个乘积项洛必达法则用之前判断未定式上下项数不多导数好求缺点比如等等永远无法用多项式表示若遇到上下幂次很高求导将— 欢迎下载 4 6.泰勒公式 把非多项式函数近似成多项式函数,用泰勒公式之前， 先想想是否可以等价无穷小替换。

缺点：展开式可能复杂，需要记忆 如： limx®0(ex3-1-x3sin62x) 下面显然可以用等价无穷小替换，而上面只需要第一项的局部麦克劳林公式即可，需要记住这些： ex,ln(1+x),(1+x)a,sinx,cosx,11- x 有关泰勒公式的几个问题： 1. o(x2-x)  o(x2) ? 2. o(x+1) o(x)? 3.o(2x) o(x) 4.x*o(x2)=o(x3)? 5. o(x2)*o(x3)=o(x5)? 元素法求平面图形体积面积弧长和一些物理问题此处难点在积分和微分方程的求解一极限求极限的几个原则能先求的先求能化简的化简能等价无穷小替换就替换洛必达法则泰勒公式无敌后面两种方法要把式子变为分式可采用倒代换里只讲幂指函数极限幂指函数且里面极限是就可以凑一个在用两个重要极限求极限时若底数化成指数出现了带有极限变量的乘积项则可用倒代换化成分式就用泰勒公式展开此时令即可等价无穷小的替换实际上是泰勒公式的特殊情况面两个等价无穷小替换下面有一项能先求出来先求出来的向在极限过程中与等价无穷小替换一样必须是一个乘积项洛必达法则用之前判断未定式上下项数不多导数好求缺点比如等等永远无法用多项式表示若遇到上下幂次很高求导将— 欢迎下载 5 6. 小心：o(x)x要在x®0时才=0！ 想x ®¥时的分式函数能用泰勒公式展开吗？ 二、求积分 求某函数的原函数后，原函数必须在与这个函数的同定义区间内可微。

如 f(x)=sgn(x) 没有原函数（假设有，在 x=0 不可微） ，因此有：每一个有第一类间断点的函数都没有原函数 求积分的几个原则： 1.基本类型 ;)(. 2dxxxf 2. 照方抓药型(相差一个线性函数) 3. sin2xcos5xòdx 型 元素法求平面图形体积面积弧长和一些物理问题此处难点在积分和微分方程的求解一极限求极限的几个原则能先求的先求能化简的化简能等价无穷小替换就替换洛必达法则泰勒公式无敌后面两种方法要把式子变为分式可采用倒代换里只讲幂指函数极限幂指函数且里面极限是就可以凑一个在用两个重要极限求极限时若底数化成指数出现了带有极限变量的乘积项则可用倒代换化成分式就用泰勒公式展开此时令即可等价无穷小的替换实际上是泰勒公式的特殊情况面两个等价无穷小替换下面有一项能先求出来先求出来的向在极限过程中与等价无穷小替换一样必须是一个乘积项洛必达法则用之前判断未定式上下项数不多导数好求缺点比如等等永远无法用多项式表示若遇到上下幂次很高求导将— 欢迎下载 6 有 sin 找 cos，没有现 成的 cos 用半角公式，如： 1sin xdxò,用半角公式： =1sinx2cosx2d(x2)ò =1tanx2cos2x2d(x2)ò =1tanx2d(tanx2)ò 4. 第二类换元法，一般换： 根号下的，角频率中的，重复项，换元后回带 第二类换元法开方出来小心绝对值 根式代换： x51+x2òdx，11+exòdx. 倒代换（分母阶数较高） 1x(x7+2)òdx，.1124dxxx 最小公倍数根式代换 元素法求平面图形体积面积弧长和一些物理问题此处难点在积分和微分方程的求解一极限求极限的几个原则能先求的先求能化简的化简能等价无穷小替换就替换洛必达法则泰勒公式无敌后面两种方法要把式子变为分式可采用倒代换里只讲幂指函数极限幂指函数且里面极限是就可以凑一个在用两个重要极限求极限时若底数化成指数出现了带有极限变量的乘积项则可用倒代换化成分式就用泰勒公式展开此时令即可等价无穷小的替换实际上是泰勒公式的特殊情况面两个等价无穷小替换下面有一项能先求出来先求出来的向在极限过程中与等价无穷小替换一样必须是一个乘积项洛必达法则用之前判断未定式上下项数不多导数好求缺点比如等等永远无法用多项式表示若遇到上下幂次很高求导将— 欢迎下载 7 .11632dxeeexxx ex6=t .)1(13dxxx x6=t 角频率代换： 1+sinxn0npòdx x=nt 5. 分数乘积化为部分分式代数和 二次质因式配方 首先，假分式可以化为真分式 6.使用分部积分 三个典型的分部积分 ①若被积函数是幂函数和正(余)弦函数或幂函数和指数函数的乘积,就考虑设幂函数为 u。

②若被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就考虑设对数函数或反三角函数为 u ③exsin xdxò与.)sin(lndxx出现循环序（每次要把相同的东西往微分符号中凑） 除典型分部积分以外，还有这些要分部： ①e3 xdxò 如果换元变成2 te3tòdt(t =x),变为了典型的分部积分 元素法求平面图形体积面积弧长和一些物理问题此处难点在积分和微分方程的求解一极限求极限的几个原则能先求的先求能化简的化简能等价无穷小替换就替换洛必达法则泰勒公式无敌后面两种方法要把式子变为分式可采用倒代换里只讲幂指函数极限幂指函数且里面极限是就可以凑一个在用两个重要极限求极限时若底数化成指数出现了带有极限变量的乘积项则可用倒代换化成分式就用泰勒公式展开此时令即可等价无穷小的替换实际上是泰勒公式的特殊情况面两个等价无穷小替换下面有一项能先求出来先求出来的向在极限过程中与等价无穷小替换一样必须是一个乘积项洛必达法则用之前判断未定式上下项数不多导数好求缺点比如等等永远无法用多项式表示若遇到上下幂次很高求导将— 欢迎下载 8 ②xearctan x(1 +x2)23dxò 有一大部分都可以往微分符号中放， 如此题中的earctan x ③arctan xdxò,sin(ln x)dxò别无选择，只能分部 7.观察f'(x)g( f(x)) dxò直接凑微分 8.积化和差公式 定积分： 几个常用定积分公式 **观察积分区间和函数奇偶 如2x2+xcos x1+ 1-x2dx-11ò.，可以分出一个偶函数，剩一个奇函数 **直接利用图形面积:1-x201ò,半个单位圆 xf(sin x)dx =p20pòf(sin x)dx0pòf(sin x)dx0p2ò=f(cos x)dx0p2ò 元素法求平面图形体积面积弧长和一些物理问题此处难点在积分和微分方程的求解一极限求极限的几个原则能先求的先求能化简的化简能等价无穷小替换就替换洛必达法则泰勒公式无敌后面两种方法要把式子变为分式可采用倒代换里只讲幂指函数极限幂指函数且里面极限是就可以凑一个在用两个重要极限求极限时若底数化成指数出现了带有极限变量的乘积项则可用倒代换化成分式就用泰勒公式展开此时令即可等价无穷小的替换实际上是泰勒公式的特殊情况面两个等价无穷小替换下面有一项能先求出来先求出来的向在极限过程中与等价无穷小替换一样必须是一个乘积项洛必达法则用之前判断未定式上下项数不多导数好求缺点比如等等永远无法用多项式表示若遇到上下幂次很高求导将— 欢迎下载 9 sinnxdx =cosnxdx =0p2ò0p2òn-1n*n-3n-2*...*34*12*p2(n=2k)n-1n*n-3n-2*...*45*23(n=2k+1) **把极限式化为积分式： S=limn®¥f(xi)*△ xii=1nå S=limn®¥f(xi)*△ xii=1nå(xi= xi) 如果插入分点平均： S=limn®¥f(a+b-ani)*b-ani=1nå=f(x)dxabò *最常用：当 a=0: S=limn®¥f(bni)*bn=f(x)dx0bòi=1nå 再特殊的，b=1，就有…… 它表示曲边梯形面积的代数和，如果求曲边梯形的面积，那么要讨论 f(x) 与 0 的关系！以后看到类似的题，可以先把上面的通式写下来，对号入座找 f。

元素法求平面图形体积面积弧长和一些物理问题此处难点在积分和微分方程的求解一极限求极限的几个原则能先求的先求能化简的化简能等价无穷小替换就替换洛必达法则泰勒公式无敌后面两种方法要把式子变为分式可采用倒代换里只讲幂指函数极限幂指函数且里面极限是就可以凑一个在用两个重要极限求极限时若底数化成指数出现了带有极限变量的乘积项则可用倒代换化成分式就用泰勒公式展开此时令即可等价无穷小的替换实际上是泰勒公式的特殊情况面两个等价无穷小替换下面有一项能先求出来先求出来的向在极限过程中与等价无穷小替换一样必须是一个乘积项洛必达法则用之前判断未定式上下项数不多导数好求缺点比如等等永远无法用多项式表示若遇到上下幂次很高求导将— 欢迎下载 10 例：，乘法变代数和？架在 e 肩膀上！弄出b-an. 广义积分： 极限符号一定要标出左右才不会出错！ 看清瑕点（邻域内无界的点） ，是否为广义积分？ 一些代数恒等变形： 积化和差：角频率不同的函数的积 倍角化为平方，一般凑(sec x)^2 ，及 d(tanx) 如：sin xsin2 xsin3 xdxò 三、微分方程 这里主要看微分方程的类型判断： a.一阶微分方程 ①先可化为dydx= f(x,y),通过上下同除，或凑微分，看看是不是齐次方程 元素法求平面图形体积面积弧长和一些物理问题此处难点在积分和微分方程的求解一极限求极限的几个原则能先求的先求能化简的化简能等价无穷小替换就替换洛必达法则泰勒公式无敌后面两种方法要把式子变为分式可采用倒代换里只讲幂指函数极限幂指函数且里面极限是就可以凑一个在用两个重要极限求极限时若底数化成指数出现了带有极限变量的乘积项则可用倒代换化成分式就用泰勒公式展开此时令即可等价无穷小的替换实际上是泰勒公式的特殊情况面两个等价无穷小替换下面有一项能先求出来先求出来的向在极限过程中与等价无穷小替换一样必须是一个乘积项洛必达法则用之前判断未定式上下项数不多导数好求缺点比如等等永远无法用多项式表示若遇到上下幂次很高求导将— 欢迎下载 11 齐次方程dydx= f(yx) ②把dydx放到左边去， 再找 y 的一次项。

看是否是一阶线性齐次或非其次方程，或伯努利方程如果不行，把自变量与函数，重复以上方法试试 ③如果需要换元，前面积分的换元方法是一种思想记住，换元是一种工具，不是求解特定题（积分）的套路 例：xdy -[ y+xy3(1 +lnx)]dx =0 dydx=y+xy3(1 +lnx)x (步骤①) dydx-yx=(1 +lnx) y3 (步骤②第一句话) 变成伯努利方程，判型成功 dydx=1xsin2(xy)-yx 利用角频率代换，令 xy=u. 那么对于 ln 等 利用凑微分解微分方程 dydx=(x+ y)2，把 x+y 放到左边分子的微分符号中，因为：d(x+ y)dx=1+dydx，所以有了：d(x+ y)dx-1=(x+ y)2,然后把(x+y)当做整体 元素法求平面图形体积面积弧长和一些物理问题此处难点在积分和微分方程的求解一极限求极限的几个原则能先求的先求能化简的化简能等价无穷小替换就替换洛必达法则泰勒公式无敌后面两种方法要把式子变为分式可采用倒代换里只讲幂指函数极限幂指函数且里面极限是就可以凑一个在用两个重要极限求极限时若底数化成指数出现了带有极限变量的乘积项则可用倒代换化成分式就用泰勒公式展开此时令即可等价无穷小的替换实际上是泰勒公式的特殊情况面两个等价无穷小替换下面有一项能先求出来先求出来的向在极限过程中与等价无穷小替换一样必须是一个乘积项洛必达法则用之前判断未定式上下项数不多导数好求缺点比如等等永远无法用多项式表示若遇到上下幂次很高求导将— 欢迎下载 12 b.可降阶的高阶微分方程,观察即可判型： 不显含 x，就別添 x，令y'=p( y)=p 不显含 y，就別添 y，令y'=p(x) =p c.高阶常系数微分方程（齐次，非齐次） 齐次，求特征方程的根，一项一项写： 有一个单实根 r：Cerx 有一个 k 重实根 r：(C1+C2x+...+Ckxk-1)erx 有一对 k 重共轭复根：eax((C1+C2x+...+Ckxk-1)cosbx+(D1+D2x+...+Dkxk-1)sinbx) 非齐次，一般，我们只会求二阶的特解： 类型一：elxPm(x) ,则y*= xkelxPm(x) k 取决于l是特征方程的几重根 类型二：elx(Pl(x)coswx+Pm(x)sinwx)，则y*= xkelx(R1n(x)coswx+R2n(x)sinwx)n=max( l,m) k 取决于l±wi是否为特征方程的根 四、相关变化率应用题 如何列方程？找所求，找已知，用微分形式表达，再找微分变量之间的关系。

元素法求平面图形体积面积弧长和一些物理问题此处难点在积分和微分方程的求解一极限求极限的几个原则能先求的先求能化简的化简能等价无穷小替换就替换洛必达法则泰勒公式无敌后面两种方法要把式子变为分式可采用倒代换里只讲幂指函数极限幂指函数且里面极限是就可以凑一个在用两个重要极限求极限时若底数化成指数出现了带有极限变量的乘积项则可用倒代换化成分式就用泰勒公式展开此时令即可等价无穷小的替换实际上是泰勒公式的特殊情况面两个等价无穷小替换下面有一项能先求出来先求出来的向在极限过程中与等价无穷小替换一样必须是一个乘积项洛必达法则用之前判断未定式上下项数不多导数好求缺点比如等等永远无法用多项式表示若遇到上下幂次很高求导将— 欢迎下载 13 例题： ?,20,120,4000,/803水面每小时上升几米米时问水深的水槽顶角为米形状是长为水库秒的体流量流入水库中米河水以 分析，求dhdt,已知dVdt，而V=40003h2,这样，有了： dVdt=d(40003h2)dt=40003*2hdhdt,发现 h 与 dV/dt 都 已知了 五、等式与不等式的证明 几大方法：中值定理，函数的单调性，函数的凸凹性 罗尔定理三条件，闭区间连续，开区间可导 罗尔定理：两端函数值相等，则必有一点导数值为 0 拉格朗日中值定理：两点割线斜率等于某一点切线斜率 柯西中值定理：函数值的增量比等于某位置导数的比（两个函数） 函数的单调性证明不等式：高中方法，较为简单 函数的凸凹性证明不等式： 元素法求平面图形体积面积弧长和一些物理问题此处难点在积分和微分方程的求解一极限求极限的几个原则能先求的先求能化简的化简能等价无穷小替换就替换洛必达法则泰勒公式无敌后面两种方法要把式子变为分式可采用倒代换里只讲幂指函数极限幂指函数且里面极限是就可以凑一个在用两个重要极限求极限时若底数化成指数出现了带有极限变量的乘积项则可用倒代换化成分式就用泰勒公式展开此时令即可等价无穷小的替换实际上是泰勒公式的特殊情况面两个等价无穷小替换下面有一项能先求出来先求出来的向在极限过程中与等价无穷小替换一样必须是一个乘积项洛必达法则用之前判断未定式上下项数不多导数好求缺点比如等等永远无法用多项式表示若遇到上下幂次很高求导将— 欢迎下载 14 注重凸凹性的定义 f(x1+x22)与f(x1)+ f(x2)2的关系 在不等式中，可以采用如下放缩，估计积分大致范围： (b-a)m£ f(x)dxabò£ (b-a)M,m 是区间上的最小值， M 最大值 **如果证明函数是具体的，如： 试用拉格朗日中值定理证明 当时:,ln().xxxx0212 左右直接相减，用拉格朗日定理后放缩再与 0 比即可 积分中值定理证明 设)(xf可导，且1)(limxfx 求。

解法：令xÎ [x,x+2].直接用积分中值定理 六、图形应用题 弧微分ds =(dx)2+(dy)2= 1+ y'2dx = 1+(dxdy)2dy 曲率K =y''(1 + y'2)23 曲率半径r=1K 元素法求平面图形体积面积弧长和一些物理问题此处难点在积分和微分方程的求解一极限求极限的几个原则能先求的先求能化简的化简能等价无穷小替换就替换洛必达法则泰勒公式无敌后面两种方法要把式子变为分式可采用倒代换里只讲幂指函数极限幂指函数且里面极限是就可以凑一个在用两个重要极限求极限时若底数化成指数出现了带有极限变量的乘积项则可用倒代换化成分式就用泰勒公式展开此时令即可等价无穷小的替换实际上是泰勒公式的特殊情况面两个等价无穷小替换下面有一项能先求出来先求出来的向在极限过程中与等价无穷小替换一样必须是一个乘积项洛必达法则用之前判断未定式上下项数不多导数好求缺点比如等等永远无法用多项式表示若遇到上下幂次很高求导将— 欢迎下载 15 1.求平面图形面积： 直角坐标，参数方程：以小矩形近似代替，积分变量 x,y 都可以 极坐标方程：以圆扇形近似代替 常见的直角坐标方程： x23+ y23=a23 星型线 几个常见的极坐标方程： r2=a2cos2q 双纽线，哑铃型 r=a(1 +cosq) 心脏线 常见的参数方程： 摆线 x =a(t -sint)y =a(1 -cost) 星型线x =acos3ty =asin3tìíïîï 2.求体积 **星型线与其他已经有对称性的线求旋转体时只用求半个部分。

如：星型线绕 x 轴，体积元素为py2dx 元素法求平面图形体积面积弧长和一些物理问题此处难点在积分和微分方程的求解一极限求极限的几个原则能先求的先求能化简的化简能等价无穷小替换就替换洛必达法则泰勒公式无敌后面两种方法要把式子变为分式可采用倒代换里只讲幂指函数极限幂指函数且里面极限是就可以凑一个在用两个重要极限求极限时若底数化成指数出现了带有极限变量的乘积项则可用倒代换化成分式就用泰勒公式展开此时令即可等价无穷小的替换实际上是泰勒公式的特殊情况面两个等价无穷小替换下面有一项能先求出来先求出来的向在极限过程中与等价无穷小替换一样必须是一个乘积项洛必达法则用之前判断未定式上下项数不多导数好求缺点比如等等永远无法用多项式表示若遇到上下幂次很高求导将— 欢迎下载 16 柱壳法：摆线绕 y 轴，原方法积分限比较易错，此时用柱壳法即可，柱壳法小心绝对值柱壳法避免了相减的问题，最后与原方法表达式等价 （相当于底面积为 ydx 或 xdy，高为2pR的薄的柱壳） 3.弧长 直角坐标： ds = 1+ y'2dxds = (dx)2+(dy)2 参数方程：ds =¢f2(t)+¢y2(t)dt 极坐标方程：ds =r2(q)+ ¢r2(q)dq 七、元素法对物理的应用 怎么建系好？一般地，下述规律适用： 对于运动，顺着运动方向建系，选择开始有力的地方作为原点。

如：抽水做功，水从上往下走 对于压力，顺着压力增大的地方建系，选择开始有力的地方做为原点 其他几章的常用方法： 元素法求平面图形体积面积弧长和一些物理问题此处难点在积分和微分方程的求解一极限求极限的几个原则能先求的先求能化简的化简能等价无穷小替换就替换洛必达法则泰勒公式无敌后面两种方法要把式子变为分式可采用倒代换里只讲幂指函数极限幂指函数且里面极限是就可以凑一个在用两个重要极限求极限时若底数化成指数出现了带有极限变量的乘积项则可用倒代换化成分式就用泰勒公式展开此时令即可等价无穷小的替换实际上是泰勒公式的特殊情况面两个等价无穷小替换下面有一项能先求出来先求出来的向在极限过程中与等价无穷小替换一样必须是一个乘积项洛必达法则用之前判断未定式上下项数不多导数好求缺点比如等等永远无法用多项式表示若遇到上下幂次很高求导将— 欢迎下载 17 一、导数与微分 1. 点导数的定义，包括单侧导数，二阶甚至 k 阶导数 2. 莱布尼茨公式， 求 u*v 的 n 阶导——把二项式展开的几次方改为几阶导 Cnkk=0nåu(n-k)v(k)，因为 uv 在乘法中可互换，所以此处 u，v 也可互换 3.一些高阶导数的公式 ax,sinkx,coskx,xa,lnx 有些高阶导数求之前要变形为这几个基本导数 y =1x2-1——化为代数和 y =sin6x+cos6x不停地拆平方和变为 1，最终用倍角表示 4.对数求导法（适用于多个函数相乘和幂指函数） y =(x+1)x-13(x+4)2ex 元素法求平面图形体积面积弧长和一些物理问题此处难点在积分和微分方程的求解一极限求极限的几个原则能先求的先求能化简的化简能等价无穷小替换就替换洛必达法则泰勒公式无敌后面两种方法要把式子变为分式可采用倒代换里只讲幂指函数极限幂指函数且里面极限是就可以凑一个在用两个重要极限求极限时若底数化成指数出现了带有极限变量的乘积项则可用倒代换化成分式就用泰勒公式展开此时令即可等价无穷小的替换实际上是泰勒公式的特殊情况面两个等价无穷小替换下面有一项能先求出来先求出来的向在极限过程中与等价无穷小替换一样必须是一个乘积项洛必达法则用之前判断未定式上下项数不多导数好求缺点比如等等永远无法用多项式表示若遇到上下幂次很高求导将— 欢迎下载 18 二、导数应用（绘制函数图像） .],[)(0)(),() 2(],[)(0)(),(1.),(],[)(上单调减少在那末函数，内如果在上单调增加；在，那末函数内如果在）（导内可上连续，在在设函数baxfyxfbabaxfyxfbababaxfy 导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点． 绘制函数图像的几个步骤： 1.定义域，奇偶性，周期性，与坐标轴交点 2.单调性，凸凹性，求极值点，极值，拐点（列表） 极值点：第一、第二充分条件（使用第二充分条件要看函数是否二阶可导） 极值点有可能是 f’(x)=0 的点或 f’(x)不存在的点 拐点有可能是f ''( x)=0 或f ''( x)不存在的点 注意（一阶与二阶）不可导点和函数的间断点 元素法求平面图形体积面积弧长和一些物理问题此处难点在积分和微分方程的求解一极限求极限的几个原则能先求的先求能化简的化简能等价无穷小替换就替换洛必达法则泰勒公式无敌后面两种方法要把式子变为分式可采用倒代换里只讲幂指函数极限幂指函数且里面极限是就可以凑一个在用两个重要极限求极限时若底数化成指数出现了带有极限变量的乘积项则可用倒代换化成分式就用泰勒公式展开此时令即可等价无穷小的替换实际上是泰勒公式的特殊情况面两个等价无穷小替换下面有一项能先求出来先求出来的向在极限过程中与等价无穷小替换一样必须是一个乘积项洛必达法则用之前判断未定式上下项数不多导数好求缺点比如等等永远无法用多项式表示若遇到上下幂次很高求导将— 欢迎下载 19 3.水平渐近线（x->INF）,铅直渐近线（y->INF），斜渐近线（y=ax+b）,a = limx®¥x®+¥x®-¥f(x)x,b= limx®¥x®+¥x®-¥f(x)-ax，其实，水平渐近线可以和斜渐近线一起考虑 4.取几个特殊点画出函数图像即可 元素法求平面图形体积面积弧长和一些物理问题此处难点在积分和微分方程的求解一极限求极限的几个原则能先求的先求能化简的化简能等价无穷小替换就替换洛必达法则泰勒公式无敌后面两种方法要把式子变为分式可采用倒代换里只讲幂指函数极限幂指函数且里面极限是就可以凑一个在用两个重要极限求极限时若底数化成指数出现了带有极限变量的乘积项则可用倒代换化成分式就用泰勒公式展开此时令即可等价无穷小的替换实际上是泰勒公式的特殊情况面两个等价无穷小替换下面有一项能先求出来先求出来的向在极限过程中与等价无穷小替换一样必须是一个乘积项洛必达法则用之前判断未定式上下项数不多导数好求缺点比如等等永远无法用多项式表示若遇到上下幂次很高求导将。