上海交通大学考研资料--《量子力学教程》考研冲刺串讲及模拟六套卷精讲.pdf

冲刺串讲（ 一） 重点、 难点掌握一、 绪论１ ． 了解光的波粒二象性的主要实验事实；２ ． 掌握德布罗意关于微观粒子的波粒二象性的假设二、 波函数和薛定谔方程（ １ ） 理解量子力学与经典力学在关于描写微观粒子运动状态及其运动规律时的不同观念 ２ ） 掌握波函数的标准化条件： 有限性、 连续性、 单值性．（ ３ ） 理解态叠加原理以及任何波函数 Ψ（ ｘ ， ｔ ） 按不同动量的平面波展开的方法及其物理意义．（ ４ ） 了解薛定谔方程的建立过程以及它在量子力学中的地位； 薛定谔方程和定态薛定谔方程的关系； 波函数和定态波函数的关系 ５ ） 对于求解一维薛定谔方程， 应掌握边界条件的确定和处理方法．（ ６ ） 关于一维定态问题要求如下：ａ ． 掌握一维无限深势阱的求解方法及其物理讨论；ｂ ． 掌握一维谐振子的能谱及其定态波函数的一般特点：ｃ ． 了解势垒贯穿的讨论方法及其对隧道效应的解释．三、 力学量用算符表达（ １ ）掌握算符的本征值和本征方程的基本概念； 厄米算符的本征值必为实数； 坐标算符和动量算符以及量子力学中一切可观察的力学量所对应的算符均为厄米算符．（ ２ ） 掌握有关动量算符和角动量算符的本征值和本征函数， 它们的归一性和正交性的表达形式，以及与这些算符有关的算符运算的对易关系式．（ ３ ） 电子在正点电荷库仑场中的运动提供了三维中心力场下薛定谔方程求解的范例， 应由此了解一般三维中心力场下求解薛定谔方程的基本步骤和方法， 特别是分离变量法．（ ４ ） 掌握力学量平均值的计算方法． 将体系的状态波函数 Ψ（ ｘ ） 按算符 Ｆ＾的本征函数展开是这些方法中常用的方法之一， 应掌握这一方法计算力学量的可能值、 概率和平均值． 理解在什么状态下力学量 具有确定值以及在什么条件下， 两个力学量 同时具有确定值．（ ５ ） 掌握不确定关系并应用这一关系来估算一些体系的基态能量（ ６ ） 掌握如何根据体系的哈密顿算符来判断该体系中可能存在的守恒量如： 能量、 动量、 角动量、宇称等．四、 态和力学量的表象（ １ ） 理解力学量所对应的算符在具体的表象下可以用矩阵来表示； 厄米算符与厄米矩阵相对应；力学量算符在自身表象下为一对角矩阵；—１—（ ２ ） 掌握量子力学公式的矩阵形式及求解本征值、 本征矢的矩阵方法．（ ３ ） 理解狄拉克符号及占有数表象。

五、 微扰理论（ １ ） 了解定态微扰论的适用范围和条件：（ ２ ） 对于非简并的定态微扰论要求掌握波函数一级修正和能级一级、 二级修正的计算．（ ３ ） 对于简并的微扰论， 应能掌握零级波函数的确定和一级能量修正的计算．（ ４ ） 掌握变分法的基本应用；（ ５ ） 关于与时间有关的微扰论要求如下：ａ ． 了解由初态跃迁到末态的概率表达式， 特别是常微扰和周期性微扰下的表达式；ｂ ． 理解由微扰矩阵元 Ｈｆ ｉ≠０可以确定选择定则；ｃ ． 理解能量与时间之间的不确定关系： Δ Ｅ Δ ｔ ∽ ｄ ． 理解光的发射与吸收的爱因斯坦系数以及原子内电子由 ｋ 态跃迁到 ｍ态的辐射强度均与矩阵元 ｒ 的模平方? ｒ ?２成正比， 由此可以确定偶极跃迁中角量子数和磁量子数的选择定则．（ ６ ） 了解氢原子一级斯塔克效应及其解释．六、 自旋和全同粒子（ １ ） 了解斯特恩—格拉赫实验． 电子自旋回转磁比率与轨道回转磁比率．（ ２ ） 掌握自旋算符的对易关系和自旋算符的矩阵形式（ 泡利矩阵） ． 与自旋相联系的测量值、 概率、 平均值等的计算以及本征值方程和本征函数的求解方法．（ ３ ） 了解简单塞曼效应的物理机制．（ ４ ） 了解 Ｌ－ Ｓ 耦合的概念及碱金属原子光谱双线结构和物理解释．（ ５ ） 根据量子力学的全同性原理、 多体全同粒子波函数有对称和反对称之分． 掌握玻色子体系多体波函数取交换对称形式， 费米子体系取交换反对称形式， 以及费米子服从泡利不相容原理．（ ６ ） 理解在自旋与轨道相互作用可以忽略时， 体系波函数可写为空间部分和自旋部分乘积形式．对于两电子体系则有自旋单重态和三重态之分． 前者自旋波函数反对称， 空间波函数对称； 后者自旋波函数对称， 空间波函数反对称．—２—冲刺串讲（ 二） 重要内容回顾一、 概述量子力学的诞生１ ． 两个理论相对论与量子论是 ２ ０世纪的两个最重大的科学发现。

光速 ｃ 和普朗克（ Ｐ ｌ ａ ｎ ｃ ｋ ） 常数 ｈ 分别是其标志性常数当 υ  ｃ 时， 相对论退化为牛顿（ Ｎ ｅ ｗ ｔ ｏ ｎ ） 力学当 ｌ ｐ  ｈ 时， 量子论退化为牛顿（ Ｎ ｅ ｗ ｔ ｏ ｎ ） 力学式中， υ 为粒子的运动速率， ｌ 与 ｐ 分别为粒子运动的范围与动量２ ． 三个实验（ １ ） 黑体辐射维恩（ Ｗｉ ｅ ｎ ） 公式 ρνｄ ν＝ｃ１ｅ ｘ ｐ （ －ｃ２ν Ｔ） ν３ｄ ν瑞利（ Ｒ ａ ｙ ｌ ｅ ｉ ｇ ｈ ）－ 金斯（ Ｊ ｅ ａ ｎ ｓ ） 公式ρνｄ ν＝８ π ｋ Ｔｃ３ν２ｄ ν普朗克公式ρνｄ ν＝８ π ｈｃ３ν３ｅ ｘ ｐ （ｈ νｋ Ｔ）－１ｄ ν普朗克的能量子假说 ε＝ｈ ν式中， ν 为振子频率， ρν为能量密度， ｋ 为玻尔次曼（ Ｂ ｏ ｌ ｔ ｚ ｍ ａ ｎ ｎ ） 常数， Ｔ为温度， ε 为振子能量， ｃ１与 ｃ２为常数 ２ ） 光电效应爱因斯坦（ Ｅ ｉ ｎ ｓ ｔ ｅ ｉ ｎ ） 的光量子假说 ε＝ｈ ν由１ ２ｍ υ２＝ｈ ν－Ｗ０可知， 只有当光子的频率 ν 不小于阈值 ν０＝Ｗ０ ｈ时， 才有光电子的发射。

式中， ｍ与 υ 分别为电子的质量和运动速率， Ｗ０为脱出功， ε为光子能量 ３ ） 原子光谱玻尔（ Ｂ ｏ ｈ ｒ ） 的旧量子论 原子在能量分别为 Ｅｎ和 Ｅｍ（ Ｅｎ＞Ｅｍ）的两个定态之间跃迁时， 发射或吸收的电磁辐射的频率 ν满足如下关系式ｈ ν＝Ｅｎ－Ｅｍ光谱项为 Ｔ （ ｎ ）＝－Ｅｎ ｈ—３—３ ． 三个飞跃（ １ ） 普朗克量子假说 ε＝ｈ ν ， Ｅｎ＝ｎ ε（ ｎ＝０ ， １ ， ２ ， …）（ ２ ） 德布罗意（ ｄ ｅＢ ｒ ｏ ｇ ｌ ｉ ｅ ） 物质波假设Ｅ＝ ω ；→ ｐ＝→ ｋ式中， ＝ｈ２ π， ω＝２ π ν 为角频率，→ ｋ 为波矢量，→ ｐ 为动量， Ｅ为能量 ３ ） 薛定谔（ Ｓ ｃ ｈ ｒ ｏ ｄ ｉ ｎ ｇ ｅ ｒ ） 方程与波恩（ Ｂ ｏ ｒ ｎ ） 概率波解释ｉ  ｔψ （→ｒ ， ｔ ）＝Ｈ＾ ψ （→ｒ ， ｔ ）式中， ψ （→ｒ ， ｔ ）为描述体系状态的波函数，ψ （→ｒ ， ｔ ）２表示 ｔ 时刻在 ｒ 附近单位体积元内发现粒子的概率， Ｈ＾为哈密顿（ Ｈ ａ ｍ ｉ ｌ ｔ ｏ ｎ ） 算符。

４ ． 五个基本原理（ １ ） 波函数的概率波解释 体系的状态用波函数 ψ （→ｒ ， ｔ ）来描述，ψ （→ｒ ， ｔ ）２表示 ｔ 时刻在 ｒ 附近单位体积元内发现粒子的概率 ２ ） 状态叠加原理 若体系具有一系列可能的状态 ψ１， ψ２， ψ３， …， ψｎ， 则这些可能状态的任意线性组合ψ＝ｃ１ψ１＋ｃ２ψ２＋ｃ３ψ３＋… ＋ｃｎψｎ＝∑ｎｍ＝ １ｃｍψｍ也一定是该体系的一个可能状态， 其中 ｃ１， ｃ２， ｃ３， …， ｃｎ为任意复常数 ３ ） 薛定谔方程 状态随时间的变化遵循薛定谔方程ｉ  ｔψ （→ｒ ， ｔ ）＝Ｈ＾ ψ （→ｒ ， ｔ ）（ ４ ） 算符化规则 经典物理学中的力学量用厄米（ Ｈ ｅ ｒ ｍ ｉ ｔ ｅ ） 算符来代替， 并且上述的替代关系是一一对应的 ５ ） 全同性原理 在全同粒子体系中， 交换任意两个粒子的坐标不改变体系的状态基本内容包括波函数、 算符和薛定谔方程三要素特色 在力学量取值量子化、 势垒隧穿及不确定关系等内容上与经典力学有本质差别二、 波函数１ ． 波函数的物理内涵（ １ ） 波函数 ψ （→ｒ ， ｔ ）是描述体系状态的复函数， 满足薛定谔方程ｉ  ｔψ （→ｒ ， ｔ ）＝Ｈ＾ ψ （→ｒ ， ｔ ）（２ ） 波函数表示—４—波函数可以在任意表象中写出来， 例如 ψ （→ｒ ， ｔ ） 、 Φ（→ ｐ ， ｔ ） 、 ｛ Ｃ ｎ（ ｔ ） ｝分别表示坐标、 动量和任意力学量 Ｆ表象中的波函数， 也可以用狄拉克（ Ｄ ｉ ｒ ａ ｃ ） 符号表示为 ｜ ψ （ ｔ ） 〉。

３ ） 波函数的模方表示其自变量的取值概率（ 密度）例如，Ｃｎ（ ｔ ）２、ψ （→ｒ ， ｔ ）２、Φ（→ ｐ ， ｔ ）２分别表示力学 Ｆ 、→ｒ 、→ ｐ 的取值概率（ 密度） ２ ． 波函数应满足的条件（ １ ） 波函数应该是平方可积的函数∫?－ ?ψ （→ｒ ， ｔ ）２ｄ τ＝有限（ ２ ） 自然条件波函数还应该是单值、 有限和连续的函数 ３ ） 边界条件Ａ ． 在位势的间断点 ａ 处， 波函数及其一阶导数连续ψ１（ ａ ）＝ψ２（ ａ ） ；ψ ′１（ ｘ ）ａ ｍ １＝ψ ′２（ ｘ ）ａ ｍ ２式中， ｍ １、 ｍ ２分别为粒子在第一和第二区域中的有效质量当一个区域中的位势为无穷大 时， 只要求波函数连续Ｂ ． δ 位势 Ｖ （ ｘ ）＝±Ｖ０ａ δ （ ｘ ）要求波函数连续， 而波函数的一阶导数应满足ψ ′ （ ０＋）－ψ ′ （ ０－）＝±２ ｍ ２Ｖ０ａ ψ （ ０ ）其中， ａ 具有长度量纲， Ｖ０具有能量量纲３ ． 具有特殊性质的波函数（ １ ） 本征态定义 满足本征方程 Ｆ＾｜ ｎ 〉＝ｆｎ｜ ｎ 〉的状态 ｜ ｎ 〉称为 Ｆ＾的本征态。

正交归一化条件〈 ｍ｜ ｎ 〉＝δｍ ｎ封闭关系∑ ｎ｜ ｎ 〉 〈 ｎ ｜ ＝１测量 在 Ｆ＾的本征态 ｜ ｎ 〉上， 测量力学量 Ｆ得其本征值 ｆｎ ．（ ２ ） 定态定义 定态是能量取确定值的状态性质 定态之下不显含时间力学量的取值概率与平均值不随时间改变条件 哈密顿算符不显含时间； 初始时刻的波函数为定态 ３ ） 束缚态与非束缚态束缚态 在无穷远处为零的状态为束缚态， 束缚态相应的本征值是断续的非束缚态 在无穷远处不为零的状态为非束缚态， 非束缚态相应的本征值是连续的 ４ ） 简并态与非简并态简并态 一个本征值对应一个以上线性独立的本征态时， 称该本征值简并， 所对应本征态称为简—５—并态， 简并态的个数为简并度非简并态 一个本征值对应一个本征态时， 称为非简并态， 非简并态的简并度为 １ ５ ） 正宇称态与负宇称态正宇称态 将波函数中坐标变量改变符号， 若得到的新波函数与原来的波函数相同， 则称该波函数描述的状态为正宇称态负宇称态 将波函数中坐标变量改变符号， 若得到的新波函数与原来的波函数相差一个负号， 则称该波函数描述的状态为负宇称态 ６ ） 耦合波函数和非耦合波函数以两个自旋为 ２的粒子为例， ｓ１＝ｓ２＝１ ２， 总自旋量子数 Ｓ＝０ ， １非耦合波函数为 ｜ ＋ ＋ 〉 ， ｜ － － 〉 ， ｜ ＋ － 〉 ， ｜ － ＋ 〉耦合波函数为 ｜ ０ ０ 〉 ， ｜ １ ０ 〉 ， ｜ １ １ 〉 ， ｜ １－１ 〉耦合波函数与非耦合波函数的关系为｜ １ １ 〉＝ ｜ ＋ ＋ 〉｜ １－１ 〉＝ ｜ － － 〉｜ １ ０ 〉＝１槡２［ ｜ ＋ － 〉＋ ｜ － ＋ 〉 ］｜ ０ １ 〉＝１槡２［ ｜ ＋ － 〉－ ｜ － ＋ 〉 ］其中， ｜ ± ± 〉＝｜ ± 〉１｜ ± 〉２是两个粒子体系的非耦合波函数，｜ ± 〉ｋ＝｜１２，±１２〉ｋ为第 ｋ （＝ １ ， ２ ） 个粒子在 ｓ２、 ｓ ｚ表象下的本征态。

７ ） 对称波函数与反对称波函数反对称波函数 全同费米（ Ｆ ｅ ｒ ｍ ｉ ） 子体系的状态用反对称波函数描述， 对二体问题而言， 有ψａ＝１槡２φ１（ ｘ１）。