线性代数13个应用案例李尚志ppt课件.ppt

线性代数 应用案例11.平行四边形与三角形的面积 2.平面上的旋转 3.平面上的轴对称 4.平面上的直线方程 5.平面二次曲线的分类 6.空间中平行四边形的面积 7.欧氏空间中的旋转 8.空间中的平面对称 9.二次曲面的分类 10.不定方程 x2+y2=z2的整数解 11.最小二乘法 12.多元函数的极值 13.二次函数的条件极值 2已知直角坐标平面上三点 A(a1,a2), B(b1,b2), O(0,0)求以 OA,OB为一组邻边的平 行 四 边 形 O A C B的 面 积 SO A CB及 三 角 形 O A B的 面 积 SOAB OABC1. 平行四边形与三角形的面积3相关知识点1．行列式的定义 2．行列式的性质 3．行列式的计算解题方法1．利用向量的运算计算面积 2．利用行列式的几何意义计算面积4解题过程解法一：利用向量的运算5解题过程解法二：利用行列式的几何意义三阶行列式的几何意义是行列式的三个行向量所围成的平行六面体的“有向”体积；而二阶行列式的几何意义是行列式的两个行向量围成的平行四边形的有向面积一般的n阶行列式可以看作由平行四边形面积、平行六面体体积推广得到的“n维体积”。

6求直角坐标平面上任意点 P(x,y) 绕原点沿逆时针方向旋转角 a 后到达的点 P’(x’,y’) 的坐标 2.平面上的旋转7相关知识点1．线性变换的矩阵表示 2．矩阵运算的定义解题方法1．考虑基向量旋转之后的象 2．考虑点旋转后幅角的变化8解题过程解法一：先求出基向量旋转之后的象9解题过程解法二：利用点经过旋转后幅角的变化10已知 l 是直角坐标平面上过原点的直线，l 的斜角为a求平面上任意点 P(x,y) 关于 l 的对称点 P’(x’,y’) 的坐标3.平面上的轴对称11相关知识点1．线性变换的矩阵表示 2．矩阵运算的定义解题方法1．考虑基向量关于轴对称的象 2．考虑点经过轴对称后幅角的变化12解题过程解法一，先求出基向量的象13解题过程解法二，利用点经过轴对称之后幅角的变化14进一步的问题对一般位置直线 l，结论如何？ 15已知 A(a1,a2)，B(b1,b2) 是直角坐标平面上给定两点求平面上过 A，B 的直线 lA,B 的方程4.平面上的直线方程16相关知识点1．行列式的计算 2．行列式的应用解题方法三点共线当且仅当三角形面积为零17解题过程A，B，P 三点共线当且仅当由 AP 和 AB 所张成的平行四边形或三角形面积为零。

于是直线 lA,B 的方程为18直角坐标平面上的二次曲线由一般二次方程 a11x2 + 2a12xy + a22y2 + 2a13x + 2a23y + a33 = 0 所确定，其中aij 都是实数且a11,a12,a22不全为零我们已经知道椭圆，双曲线，抛物线都是二次曲线问除这三种外还有其他的二次曲线吗？5.平面二次曲线的分类19相关知识点1．矩阵的相合（合同）关系 2．二次型的标准形与规范形 3．二次型的应用解题方法利用坐标系的变换，化曲线方程为标准形，从而决定曲线的类型和位置20解题过程第一步，将曲线方程写成矩阵形式21解题过程化曲线方程为第二步，旋转坐标系22解题过程化曲线方程为第三步， 若ã22≠0，平移坐标系此时，曲线为椭圆 (ã11ã22 > 0) 或双曲线 (ã11ã22 < 0) 及其退化情形23解题过程化曲线方程为若ã22 = 0，平移坐标系此时，曲线为抛物线及其退化情形24已 知 n 维直角坐标空间中三点 A(a1,…,an), B(b1,…,bn)，O(0,…,0)求平面 OAB中以 O A , O B为 一 组 邻 边 的 平 行 四 边 形 O A C B的 面 积 SO A C B。

OABC6.空间中平行四边形的面积 25相关知识点1．行列式的性质 2．基变换，坐标变换 3．标准正交基解题方法建立新的直角坐标系，利用行列式的几何意义计算面积26解题过程在平面OAB上建立以O为原点的平面直角坐标系 OABC在此坐标系下，xy27解题过程于是， 28进一步的问题推广到计算 n 维空间中 m 维平行多面体的体积29设A是三维欧氏空间上的线性变换，求A是旋转变换的充分必要条件7.欧氏空间中的旋转30相关知识点1．线性变换的矩阵表示 2．正交矩阵，正交变换 3．矩阵的特征值和特征向量的定义解题方法1．先找出A是旋转变换的必要条件 2．再证明这也是充分条件 31解题过程第一步，找出A是旋转变换的必要条件 如果A是旋转变换，选取标准正交基{e1,e2,e3}使得e3平行于转轴，则A在这组基下的矩阵具有形式其中θ是所旋转的角因此A是行列式为1的正交变换32解题过程第二步，证明行列式为1的正交变换都是旋转变换. 设A是正交变换且行列式为 1，则存在特征向量 e3=Ae3 且 |e3| =1将其扩充为标准 正 交 基 { e1, e2, e3} ， 则 A 在 这 组 基 下 的 矩 阵 具 有 形 式 A就是一个以e3为转轴的旋转变换，旋转角度为θ. 33已知三维欧氏空间中平面 Ω由A(a1,a2,a3)，B(b1,b2,b3)，O(0,0,0) 三点张成。

求空 间 中 任 意 点 P(x,y,z)关于 Ω 的 对 称 点 P’(x’,y’,z’)的 坐 标 PP’ Ω8.空间中的平面对称34相关知识点1．向量内积的定义，欧几里得空间 2．向量内积的性质，向量的长度、角度 3． 向量的正交解题方法1．利用平面的单位法向量 2．利用点在平面上的投影35解题过程解法一，利用平面Ω的单位法向量nn 满足 (n, A) = (n, B) = 0 和 (n, n) = 1，解线性方程组可得36解题过程解法二，利用点 P 在平面上的投影 =λA +μB 满足 (Q−P, A) = (Q−P, B) = 0，解线性方程组可得37进一步的问题推广到高维空间中点关于超平面的对称38n 维欧氏空间中二次曲面的一般形式是 xT S x + 2ξT x + c = 0 求二次曲面在仿射变换 y = A x + b 下的分类9.二次曲面的分类39相关知识点1．矩阵的相合（合同）关系 2．二次型的标准形与规范形 3．二次型的应用解题方法通过寻找二次曲面在仿射变换下的不变量，化二次曲面方程为标准形40解题过程首先，将曲面方程写成矩阵形式经过仿射变换 y = A x + b 后曲面方程变为记41解题过程此时，曲线为锥面 (pq≠0) 或平面 (pq=0)。

若 rank G = rank S，则存在仿射变换使得42解题过程此时，曲面为双曲面 (pq≠0)，柱面 (pq=0, p+q

设已测得某平炉的熔毕碳 x (炉料熔化完毕时钢液的含碳量 )与精炼时间 y (从炉料熔化完毕到出钢所用的时间 ) 的一列数据，如下表x (0.01%)104180190177147134150191204121y (分)100200210185155135170205235125希望由这些数据得出x与y的近似函数关系y=f(x) 11.最小二乘法 49相关知识点1．二次函数的极值问题 2．矩阵的相合（合同）关系 3．二次型的标准形与规范形解题方法首先建立数学模型将问题化为求二元二次函数的极小值问题再利用实对称方阵相合对角化的方法将二次型化为标准形，求出所处理的二次函数取最小值的条件50解题过程第一步，将这些数据在平面直角坐标系中画出来51解题过程观察发现这些点近似地在一条直线上，因此可以近似地用某个一次函数 y = k x + b 来描述一般说来, 这样的 k, b 不可能完全适合于所有已知点为此，要求所有这些误差的平方和52解题过程第二步，求函数Δ(k, b) 的最小值53解题过程第三步，将本题所给出的数据代入公式，可得直线方程为 y≈1.2673 x − 30.5143。

54设f (x1,…,xn) 是 含 n 个 实 变量的连续 实值函数，且 对所有变量都有 2 阶连续的偏导数，求 f 的极值12.多元函数的极值55相关知识点1．实二次型的正定性 2．二次型的应用解题方法多元函数局部近似于二次函数，可用求二次函数极值的方法处理多元函数的极值56解题过程将 f 在 x = a 处进行 Taylor 展开，有若f 在x=a 处达到极大值或极小值, 则必有J(a)=0如果H 正定, 则f(a)为极小值如果H 负定, 则 f(a)为极大值57求实函数 f (x,y) = ax2+bxy+cy2 在单位圆 x2 + y2 = 1 上的 极值13.二次函数的条件极值58相关知识点1．矩阵的特征值和特征向量 2．用正交矩阵化实对称矩阵为对角矩阵的方法解题方法1．Lagrange 乘子法 2．用正交矩阵化实对称矩阵为对角矩阵59解题过程方法一，Lagrange 乘子法 考虑函数 h(x,y,z) = f(x,y)−(x2+y2−1)z 的极值点：此时，f(x,y)=z于是 f(x,y) 在单位圆上的极大值, 极小值分别为矩阵的最大, 最小特征值60解题过程方法二，用正交矩阵化实对称矩阵为对角矩阵。

于是 f(x,y) 在单位圆上的极大值, 极小值分别为A的最大, 最小特征值61END62。