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微元法在高中物理题中的运用简说摘要：无限分割与逼近是研究数学与物理学的一种重要思想方法 我国魏晋时刘徽首创“割圆法”，科学巨匠牛顿将无限分割与逼近的思维 方法引入到对物理问题的研究中，并且创立了微分学，极大地推动了物理 学和数学的发展随着高中新课程的推广，这种微元法思想也融入了高中 物理教学中关键词：微元法；无限分割；逼近微积分在高中要求不是很高，但它的思想可以说贯穿整个高中物理 比如瞬时速度、瞬时加速度、感应电动势、匀变速直线运动位移公式、重 力做功的特点等都用到了微元法的思想，学会这种研究问题的方法可以丰 富我们处理问题的手段，拓展我们的思维，特别是解决高层面物理问题时, 常常会起到事半功倍的效果微元法即在处理问题时，从事物的极小部分（微元）分析入手，达到 解决事物整休问题的方法微元法基本思想内涵可以概括为两个重要方 面：一是“无限分割”（取微元）；二是“逼近”（对微元做“低细节”描 述）用微元法解决问题的特点是“大处着眼，小处着手”，即对事物做整 体客观地观察后，必须取出该事物的某一小单元，即微元进行分析，通过 微元构造“低细节”的物理描述，最终解决整体问题所以，微元法解决 问题的“两要诀”就是取微元与对微元做“低细节”描述。

如何取微元呢？可以対整体对象进行无限分割得到“线元”、“面元”、“体元”、“角元”等；也可以分割一段时间或过程，得到“时间元”、“元 过程冬还可以对各种物理量进行分割，得到诸如“元电荷”、“元功”、“元 电流”等相应的元物理量;这些微元都是通过无限分割得到的要多么小就 有多么小的“无穷小量”，解决整体问题就耍从它们入手对微元作“低 细节”描述，即通过对微元性质作合理近似描述，在微元是无穷小量的前 提下，通过求取极限，达到向精确描述的逼近一、常见的几种逼近1・“直”向“曲”的逼近例如：质量为m的物体由A沿曲线运动到B时，计算重力做的功我们将曲线AB细分成n段小弧，任意一段元 弧可以近似地看成一段直线，则重力做的元功为Wi=mglicos?兹=mgHi, 在无限分割下，即的条件下，WG二工Wi二mgH2.平均值向瞬时值的逼近例如：瞬时速度的求解，设某时刻t至邻近一时间点己 长度为Ax, 则物体在时间A t内平均速度为v=・，当At—O时，该时间元的平均速度 即t时刻的瞬时速度3 •常量向变量的逼近例如：由v-t图推导匀变速直线运动位移时间关系时,任意时间间隔At内ViHVi+1,当At-0时ViHVi+1, 位移元Xi二Vi At,所以，X二=Xi二梯形的面积。

微元法解决问题的一般思维与操作程序有这么三个过程：首先决定是 否是用微元法；然后选择适当的微元；最后对微元做物理及数学处理二、中学物理中下列情景可考虑用微元法求解1 •整体对称问题整体对称属于整体内部的一种对称联系，这时可对整体做均匀细分， 取其中任何一微元做“隔离体”加以研究，这样就将整体内部关系转化为 微元与其余部分的相互关系，以便应用反应事物相互联系的物理规律求 解例1•如图所示，质量为M的均质圆环半径为R,圆心在0点，另有一 大小可以不计、质量为m的物体B放在位于环心0且垂直于环面的光滑导轨上，物体与环心相距为do则整个圆环与物体Z 间的万有引力大小为多少？如图将圆环细分，每一份就是一个质量元，其中任一质量元AM当n —8可以看成质点处理，可以计算出该质量元与m之间的万冇引力Fi = ・, 由环的对称性可知AW与AM的万有引力产生的竖直方向的分量相互平 衡,故整个圆环与物体Z间的万有引力为F二・Fi・・・cos 0 o2.暂态问题即问题所述情景属事物变化全景中的某特殊场景这时，需选取一与 该状态逼近的相邻状态，从而获得一元过程，对该微元过程运用相应的物 理规律求解例题2•如图（1）,长为L、质量均匀为M的链条套在一表面光 滑，顶角为Q的圆锥上，当链条在圆锥上静止时，链条中的张力是多少？任取链条上一小微元段，其所对圆心角为A 0二.（n-8）,其质量 AM=・，分析其受力如图（2）：重）｝ A Mg,圆锥面支持力FMi及小链元两 端所受链条其余部分拉力的合力Fi,由图（3）可知：Fi=2TsinB, A 0很小时，sin 0 0 , Fi二T・，由链元平衡，得：T■二・cot・，T二・cot・。

3.变量问题即问题所处物理情景涉及的物理量是变化的，诸如变力、变质量、变 位置、变化的场、变化的过程等等这类问题需要在对整体做无穷细分后, 选取某特定微元做研究对象，将对微元的处理结果进一步推广到一般微 元，最终得解例题3.如图所示，一水平放置的光滑平行导轨上放一质量为m的金属 杆，导轨间距为1,导轨的一端连接一阻值为R的电阻，其他电阻不计， 磁感应强度为B的匀强磁场垂直于导轨平面现给金属杆一个水平向右的 初速度V0,然后任其运动，导轨足够长，试求：金属杆在导轨上向右移动 的最大距离是多少？金属杆在整个运动过程中速度是变化的，设某一时刻速度为Vi,则此 时 F !=■,得 ai二■二■,取速度变化元△ Vi=ai At=B, S AVi=SB,得 VO 二■dmax,所以 dmax=H从上面儿个例题分析可知，微元法基本遵循这样的解题过程：首先分 割取微元逼近，然后找出规律求解计算在采用微元法Z后，微元的选择 是否“适当”将直接影响问题解决的成败与难易这里“适当”包含两层 含义:1.微元必须保留着作为整体成员所具备的木质特征因而可对其运用 规律，又能作为无穷小量发挥莫特别功能，从而可以对其进行“低细节” 描述。

2•被分割的整体对象是什么，应该视具体问题定夺，以使问题能在初 等数学范畴内解决选取微元后，如何对微元做“低细节”描述这才是难 点之处，但也是微元法精彩之处因为在解决此类物理问题时，都需要对 研究对象做物理及数学的处理以求得结论，这对学生的能力要求非常高作者单位 江苏省仪征市技师学院）。