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个人收集整理 勿做商业用途第六讲 数理统计 8+8+5 （6＋5+5) 本讲内容 6.1 样本与抽样分布 6.2 参数点估计与优良标准 63 参数的区间估计 61总体, 样本和抽样分布61.1 总体和样本的概念与关系 1. 概念总体X、样本X1, X2， …,Xn和样本观测值x1， x2, …，xn ；样本的矩： ， 和 总体的矩 和 ， 2 矩间关系 3 分布间关系及经验df FXj（x）=F(x) 且 定义（经验df） 此时 定理（Гливенко) 由 x1, x2， …,xn 决定的经验df Fn*(x), 对x一致地收敛到总体df F（x），61.2 常用抽样分布与统计量 1 正态总体N (m， s 2)常用的样本函数1) 样本均值～ N （m, s 2/n），故2） Kn2 : = ～ 3） K 2 : = ～ 的分布,及`X和样本方差S2独立4) ~ t （n-1）分布. 5） ~ F （n-1， m-1) 正态总体常用的样本函数间的关系3. c2—分布、t—分布和F—分布性质与百分位点6.1。

3 常用抽样分布（典型模式） 定义与典型模式: c2(n)分布: n个独立的标准正态变量的平方和的分布. t(n)分布: 设rv U与V2独立，且分别～N（0, 1)和c2（n)分布，则, F（n, m)分布: 设rv U 2与V 2独立，且分别~ c2（n）和c2（m）分布，则 2. 正态总体常用的样本函数间的关系3. —分布、t—分布和F-分布性质与百分位点［ 典型例题 ]l 样本与样本函数例6.11 设X1, X2, …，Xn是总体X的容量为n的简单样本如总体, 其中 p， q, r 0, p + q + r = 1. （1） 求X1 - X2方差;(2) 求 顺序统计量X（n）=max｛ X1， X2， …，Xn｝的分布;(3） 设n >10, 求 P( min｛k： Xk 0， 1k10}=3)如果r = 0，其余题设不变 （4) 求样本均值的精确分布； (5) 利用中心极限定理求当n充分大时样本均值的近似分布解 (1） EX 1 = p - q , EX12 = p + q ， DX 1 = EX12 - （EX 1）2 = p + q -(p - q)2 。

D（X 1 -X 2 ） = 2 DX 1 =2［ p + q -(p - q）2 ］（2) (3） P( X 1 =0 ） = r ， P（ X 1 0 ) = 1 - r = p + q ， P（ min｛k: Xk 0， 1k10｝=3) = r 2 (p + q） 或 = r 2 (1 - r) .(4) r = 0，X1， X2, …，Xn iid, , 0 < p, q〈1, p +q = 1. 令， 则，且又 , 故 .(5) ， . 由iid中心极限定理(Lin—Levy）知有近似正态分布从而当n足够大时， .l 抽样分布与典型模式例61.2设X1， X2， …,Xn是来自总体X~ N(0， s 2)的简单随机样本,则统计量 （1) 如n =15， 则 服从的分布是_____. (2) 如果n =2m， 则 统计量 ~ _________分布. 而统计量 ～ ___________分布 【t(m)； F(1, n-1）】(3) 如果 X ~ N(m, s 2）， 则`X -X1 ～_____________ 分布; s未知时, 总体X的m 的置信度为1 - a 的双侧对称置信区间为________________________________.【N（0, (n-1）s 2/n)， （`X—ta/2（n-1)S/（n）1/2， `X+ta/2(n-1)S/(n)1/2）】（4) 对下列总体, 完成填表: X 的分布和的分布n足够大时`X的近似分布设为0—1分布设 ~ P(l） 【X 的分布和的分布n足够大时`X的近似分布为0-1分布B（n, p）N （p, p(1-p）/n）设 ～ P(l） P（nl)N （l, l/n)】【例 （01—3—1(5)) 设总体X服从正态分布N(0, 2 2），而X1， X2， …，Xn是来自总体X的简单随机样本， 则rv服从 分布， 参数为 . 【F(10, 5)】例6.1.3 设X1, X2， …,Xn+1是正态总体的简单样本，和(1) 试求的分布. （2) 试求 的分布。

【 （1) F（1， n -1) （2) t(n -1） 】解 (2）注意Xn+1与X1, X2， …,Xn独立，从而与独立、也与样本方差S2独立 又~ N (）， 进而 － ～ .即 .由 t—分布定义,注意 及Xn+1－与 S 独立即所求分布是参数为 n-1的t分布4 (99—3-12[7］） 设X1, X2， …,X9，是正态总体的简单样本,令， , 和.试证Z ~ t(2）. 【注意而 ～ （2) 】例65. 设总体X的方差存在, X1, X2 , KX n+1 是其简单样本,令， 则用Y n 及Y n+1 估计EX时，估计量Y n+1比Yn 有效 （ ）. 如果总体X ～ N（0, s 2)，则 的分布为 6 （02—3—2（5）) 设rv X和Y都 ～ N(0， 1)， 则 (A） X+Y服从正态分布; (B） X 2+Y 2服从分布；（C） X 2和Y 2都服从分布; (D） X 2/Y 2服从F分布 【 C 】例61.7 (04-3—6[4]） 设总体X服从正态分布N（m1, s 2）, 总体Y服从正态分布N（m2, s 2） 和分别是来自总体X 和Y的简单随机样本， 分别是它们的样本方差，则（1） _______ 【】 (2）＋ 如果X与Y独立,则＝ 。

例68(05-1-14［4]） 设X1, X2， …,Xn （n2)为来自N (0， 1）的简单随机样本，`X 为样本均值,S2为样本方差，则 ( )（A) . （B) (D） 答案为DA）与（C)左方的常系数都应为，而(B）中两个n都是n－1 】6.2 参数的点估计62.1 点估计问题62 矩估计与极大似然估计矩估计: , k =1, 2, ...，m极大似然估计： 由此求得诸的估计值 如L(x;q)关于q 可微， 可从似然方程组 或 得极大似然估计值. 以Xj易xj 得似然估计量.6.23 优良标准1. 概念: 无偏性，有效性与一致性（或相合性)2．重要结论与方法1) 设总体X的k阶矩存在 又设X1， X2, …，Xn是X的一个样本 则不论总体服从什么分布， 一定是k阶总体矩m k的无偏估计. 2） 设总体X为正态，则==，= 且 （1） m 的矩估计量和似然估计量是无偏的; （2) s 2的矩估计量和最大似然估计量是有偏的; (3) 是s 2无偏估计量. [ 典型例题 ］l 点估计的两种方法引例2 设某糖厂用自动包装机集箱外运糖果，某日开工后在生产线上抽测9箱,得数据99.3, 98.7, 100。

5， 101.2， 983， 99.7， 995， 1021， 100.5（kg)如果由以往经验知标准差为1.15kg 试估计生产线上包装机装箱糖果的期望重量（取a =0.05） （用矩估计及似然估计）例61 设总体X～ B(1， p)，X1， X2， …， Xn 是来自X的一个样本, 试求参数p的极大似然估计量=_______， 而概率的估计量 =_________ 2.2 设X1, X2, …,Xn是总体X的一个样本.(1) 设总体X~ U［0， q ］ ， 未知,试求和2) 设总体X~ U[ -q, q ], 试求 【(1），,= X（n）=max{ X1， X2， …,Xn｝. (2) = (3M2）1/2 或 [3S2(n-1)/n]1/2 ; 】l 双参数的点估计问题例6.2.3 （模拟1)设总体X的pdf为 这里m和l(>0)都是参数. 又设X1， X2, …,Xn为该总体的简单样本，而x1, x2， …,xn为其样本观察值 (1) 设l已知，求的极大似然估计 . (2) 设已知，求l的矩估计 . 【（1).＝ (2) 00-1—13［6]) 设某种元件的使用寿命X的pdf为其中q > 0为未知参数. 又设x1， x2, …,xn是X的一组样本观测值， 求q 的最大似然估计值】【(02—3—1(5）） 设总体X的pdf为而X1, X2， …，Xn是来自总体X的简单随机样本, 则为 【 】【(03-1-12[8］ ） 设总体X pdf为其中q 〉0是未知参数. 从总体X中抽取简单随机样本X1， X2， …，Xn， 记= X(1)=min｛ X1, X2, …，Xn｝. （1) 求总体X的df ;(2) 求统计量的df ;(3） 如果用作为q 的估计量, 讨论它是否无偏。

(1） （2) （3） 作为的估计量不具有无偏性. 】【(04—1—23[13]）以及它的简化版（04—1-23［9]）还是这类题. 1999年例64（模拟2）设总体df为, 其中q >0, l>0都是未知参数设X1, X2, …，Xn为简单样本，1） 求q和l的极大似然估计:和 2） 设l已知,上述是否q的无偏估计？它与下例也完全相同:【（04-1—23［13］) 设rvX的df 请注意此类问题! 】【（09-1—23［11］） 设总体X的pdf为，其中参数(〉0)未知，为总体X的简单样本（I) 求l的矩估计量; (II) 求l的极大似然估计量 . [=/］l 估计量的评议例65 设X ~ U［0, q],参数q未知，X1， X2， …，Xn是其大小为n的样本. 则 (1） 矩估计量 是无偏的；（2) 似然估计= X(n）=max{ X1， X2， …,Xn｝，不是q 的无偏估计. 但 是比有效的估计量. 【（2)* 当 ,，q 作无偏化.　 .. 当n 〉1时，.】【例 设总体X~Ex（)，未知参数l =1/q 〉 0, pdf 为 又设X1, X2， …,Xn是来自X的样本， 试证和都是q 的无偏估计量，其中X(1)=min｛ X1， X2, …，Xn}。

［注意，～ Ex （n/θ) ， 从而 即n也是的无偏估计 ]】例6.26 设X1, X2， …，X 2n是来自方差有限的总。