人教高中数学选修23《计数原理》学案设计.doc

人教高中数学选修2-3《计数原理》学案设计第一课时　分类加法计数原理温故知新学习目标课前思索我们常用的加法是计数最基本的技巧，这种技巧经过推广就是将要学习的分类加法计数原理.那么这个原理是怎样的呢？①理解分类加法计数原理，特别是该原理成立的前提条件；②理解“一件事情”的含义，并会用原理分析和解决一些简单的计数应用问题.原理成立的前提条件是什么？适用范围是什么？应用原理时有哪些方法步骤？■课前准备（我准备 我成功）■课堂学习（合作探究 深化理解）1.学习引领（1）分类加法计数原理：分类加法计数原理又叫分类计数原理、加法原理，它是数学中公认为正确的理论依据. 原理的条件是分类，结论是加法，目的是计数. 原理也是一种最基本、最重要的思想方法：当面临一个复杂问题时，可以分解为若干个简单的问题，然后分类解决，各个击破，再用加法将它们整合起来得到整个问题的解决，达到以简驭繁、化难为易的效果.（2）分类加法计数原理的适用范围：原理可以从两类推广为类都成立的情形.如果完成一件事情有几类办法，这几类办法彼此之间相互独立，无论哪一种办法中的哪一种方法都能单独完成这件事，求完成这件事的方法种数就用分类加法计数原理.（3）解决问题的方法步骤：①判断；②分类；③加法计算.在判断时首先要弄清“一件事情”是什么，只有准确理解了“一件事情”的含义，才能进一步分析有几类方案去“完成一件事情”，用每一类的任何一种方法是否都可以“独立完成一件事情” 等问题，同时分类时要突出一个原则，那就是“不重不漏”.2.合作探究例1 判断下列各题中运用分类加法计数原理解答是否正确，并说明理由.（１）某同学有7支不同的水笔，9本不同的笔记簿，他要从中任取1支水笔，1本笔记簿，则共有7+9=16种不同的方法；（２）某商场南面有3个门，北面有2个门，某人去该商场购物，则进门或出门的不同方式共有3+2=5种；（３）已知，则方程表示圆心在坐标轴上的圆共有3+3=6个；（４）若集合，映射满足，则不同映射的个数共有2+3+2=7个.解析：（１）错误.错在把一件事情当作“选1支水笔或1本笔记簿”，事实上只选1支水笔或只选1本笔记簿这件事并没有完成，从而误用分类加法计数原理得出了错误结论.（２）错误.因为一件事情是“进门或出门”，并没有规定从南门进北门出，所以进门或出门都有5种不同的方式，故根据分类加法计数原理共有5+5=10种.（３）错误. 错在分类不彻底计数有遗漏，事实上应分为圆心在原点、圆心在轴上且不含原点、圆心在轴上且不含原点这三类，故圆心在坐标轴上的圆共有1+3+3=7个.（４）正确.按的取值分为三类：时，有和这2种情况；时，有、和这3种情况；时，有和这2种情况. 根据分类加法计数原理，共有2+3+2=7个映射.点评：从“一件事情”是什么入手，既是判断是否可以运用分类加法计数原理解决问题的关键，又是打开谁来分类、如何分类、分成几类的钥匙.并注意运用列举法、表格法、树形图法等计数的常用策略.例2（1）用数字0，1，2，3，6组成没有重复数字的三位数，其中比210大的共有多少个？（2）如图，电路中有4个电阻和一个电流表，若没有电流流过电流表，其原因仅因电阻断路的可能性共有多少种？解：（1）以百位数字为标准分为三类：百位为2时，十位为1且比210大的三位数有2个，十位为3的有3个，十位为6的也有3个，共有2+3+3=8个；百位为3时，十位为0，1，2，6时各为3个，共有3+3+3+3=12个；百位为6时，同理也有12个．根据分类加法计数原理，共有8+12+12=32个．（2）以同时考虑是否断路为标准分为三类：第一类，若断路断路，则或可断路也可不断路，有4种情况；第二类，若断路不断路，则与至少有一个断路，有3种情况；第三类，若不断路断路，则或可断路也可不断路，有4种情况．根据分类加法计数原理，共有4+3+4=11种可能性．点评：标准不同其分类的结果也不同，若选择条件较多的元素为分类标准，则具有类少易分的特征；若选择条件较少的元素为分类标准，则具有类多易算的特征．应根据具体情况选择更好的元素为分类标准，如本例（2）虽然也可以只考虑（或）是否断路为标准分为两类，但这时求某类的方法数可能会困难一些．3.基础练习（1）用“风、雅、颂、松、竹、梅”中的一个字或“赤、橙、黄、绿、青、蓝、紫”中的一个字给学校的文明寝室命名，则总共能够命名出的寝室个数为（　　）（Ａ）6或7　　（Ｂ）7 （Ｃ）13 　（Ｄ）42（2）某班48人中有26人只会英语，12人只会日语，其余的人既会英语又会日语，现从中选一位同学为上海世博会做日语翻译，则不同的选法种数为（　　）（Ａ）12　　 （Ｂ）22 （Ｃ）36 　（Ｄ）48（3）假期到了，如果你想到北京去旅游，选中比较理想的旅游路线有：坐火车有4种方法，坐飞机有2种方法，坐汽车有3种方法，则你有 种不同的走法．（4）平面内有14个红色点和蓝色点，其中12个红色点都在同一条直线上，此外无三点共线，则这14个点可连成不同直线的条数是 ．（5）若，且，则有序自然数对的个数是 ．■作业习题（我巩固 我提高）（1）一道数学题可用2种方法完成，有3人会用第1种方法完成，另外人会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这道数学题，若不同的选法种数是12，则（　　）（Ａ）9 （Ｂ）8 （Ｃ）6 （Ｄ）4（2）把10个相同的小球分成三堆，要求每堆至少1个，则不同的分法共有（　　）（Ａ）4种 （Ｂ）7种 （Ｃ）8种 （Ｄ）21种（3）从数字1，2，3，4，7，9中任取不相同的两个数，分别作为对数的底数和真数，则对数值中不同的且小于1的共有 个．（4）已知，且表示椭圆．①焦点在轴上的椭圆有几个？②焦点在轴上的椭圆有几个？③不同的椭圆共有几个？（5）已知三角形的三边长均为正整数，且最大边长为．①分别求出最大边长为时的三角形个数；②观察①的结论，猜测最大边长为时的三角形个数；③猜测最大边长为时的三角形个数；④请自己设计一些最大边长为非奇数的数，探索其一般规律．作业反思 自我总结知识归纳方法总结错误总结基础练习答案与提示：（1）Ｃ．以两类不同的字为标准分为两类，共有6+7=13种不同的命名方法，故选(Ｃ)．（2）Ｂ．以只会日语和日语英语都会为标准分为两类，共有12+（48-26-12）=22种不同的选法，故选(Ｂ)．（3）9．以不同的交通工具为标准分为三类，共有4+2+3=9种不同的走法．（4）26．以点的颜色为标准分为全红、全蓝和一红一蓝三类，共有1+1+（12+12）=26条不同的直线．（5）20．以横坐标为标准分为五类：时，由知可取0至5这6种情况；时，可取0至4这5种情况；时，依次为4，3，2种情况．根据分类加法计数原理，有序自然数对的个数共有6+5+4+3+2=20个．作业习题答案与提示：（1）Ａ．以不同的方法为标准分为两类，共有3+=12，解得，故选(Ａ)．（2）Ｃ．以个数最少的一堆为标准分为三类：一堆为1个时，有，，，，即有4种分法；一堆为2个时，有，，，即有3种分法；一堆为3个时，有，即有1种分法．根据分类加法计数原理，共有4+3+1=8种不同的分法，故选(Ｃ)．（3）10．以底数为标准分为五类：底数为2时，由底数大于真数得真数只能为1，即1种情况；底数为3时，真数只能为2（若真数为1则与重复），即1种情况；底数为4时，真数只能为2，3，即2种情况；底数为7时，真数只能为2，3，4，即3种情况；底数为9时，真数只能为2，4，7（若真数为3则与重复），即3种情况．根据分类加法计数原理，共有1+1+2+3+3=10个满足题意的对数值．（4）①10；②25；③35．①由椭圆的焦点在轴上得，从而以为标准分为四类：时，，即1个；时，，即2个；时，，即3个；时，，即4个．根据分类加法计数原理，共有1+2+3+4=10个不同的椭圆．②由椭圆的焦点在轴上得，还是以为标准分为五类：时，取2～8，即7个；时，取3～8，即6个；时，取4～8，即5个；时，取5～8，即4个；时，取6～8，即3个．根据分类加法计数原理，共有7+6+5+4+3=25个不同的椭圆．③所有的椭圆分为焦点在轴上两类，根据分类加法计数原理且由①②得，共有10+25=35个不同的椭圆．（5）①1，4，9；②36；③；④如当时，有个三角形．①当三角形最大边长为时，其它边长也只能为1，则共有1个所求的三角形．当时，若一边长为1，则另一边长必为3，即有1个；若一边长为2，则另一边长可为2，3，即有2个；若一边长为3，则另一边长也为3，即有1个．根据分类加法计数原理，共有1+2+1=4个所求的三角形．当时，若一边长为1，则另一边长必为5，即有1个；若一边长为2，则另一边长可为4，5，即有2个；若一边长为3，则另一边长可为3，4，5，即有3个；若一边长为4，则另一边长可为4，5，即有2个；若一边长为5，则另一边长也为5，即有1个．根据分类加法计数原理，共有1+2+3+2+1=9个所求的三角形．②观察①的结论，当时，有个三角形；当时，有个三角形；当时，有个三角形．猜测当时，有个三角形．③由①②猜测最大边长为时，有个三角形．④如当时，分别有2，6，12个三角形．由此猜测当时，有个三角形．第二课时　分步乘法计数原理温故知新学习目标课前思索我们常用的乘法是计数最基本的技巧，这种技巧经过推广就是将要学习的分步乘法计数原理.那么这个原理又是怎样的呢？①理解分步乘法计数原理，特别是该原理成立的前提条件；②理解“一件事情”的含义，并会用原理分析和解决一些简单的计数应用问题.原理成立的前提条件是什么？适用范围是什么？应用原理时有哪些方法步骤？■课前准备（我准备 我成功）■课堂学习（合作探究 深化理解）1.学习引领（1）分步乘法计数原理：分步乘法计数原理又叫分步计数原理、乘法原理，它也是数学中公认为正确的理论依据. 原理的条件是分步，结论是乘法，目的是计数. 原理也是一种最基本、最重要的思想方法：当面临一个复杂问题时，可以分解为若干个简单的步骤，然后分步解决，各个击破，再用乘法将它们整合起来得到整个问题的解决，所以我们要把原理放在首要的位置，达到正确理解、准确选用的程度.（2）分步乘法计数原理的适用范围：原理可以从两步推广为步都成立的情形.如果完成一件事情分为几个步骤，各个步骤中的方法彼此之间是相互依存的，只有各个步骤都完成之后才算完成这件事，求完成这件事的方法种数就用分步乘法计数原理.（3）解决问题的方法步骤：①判断；②分步；③乘法计算.在判断时首先要弄清“一件事情”是什么，只有准确理解了“一件事情”的含义，才能进一步分析问题与分类有关还是与分步有关，如果分步又要分几步去“完成一件事情”等问题. 在分步时，同样必须有明确的标准，这样才可做到使结果不重不漏.2.合作探究例1 判断下列各题中运用分步乘法计数原理解答是否正确，并说明理由.（１）有两个写作小组，人数分别为10，8，从中选1人参加作文比赛，则不同的选法共有10×8=80种；（2）6名同学都参加100米、200米和跳远比赛，且每项比赛都没有并列冠军，则共有种不同的冠军获得情况；（3）有3张卡片的正反两面上，分别写上1，2，3和5，7，8，将它们并排组成三位数，则共有6×5×4=120个不同的三位数；（4）圆周上有个等分点（），以。