07第06讲函数的连续性ppt课件.ppt

高等院校非数学类本科数学课程—— 一元微积分学 大 学 数 学〔一）第十二讲第十二讲第十二讲第十二讲 函数的连续性函数的连续性函数的连续性函数的连续性.第二章 函数的极限与连续性第八节 函数的连续性及其性质一、连续函数的概念一、连续函数的概念二. 函数的间断点三.连续函数的运算四. 及其初等函数的连续性 四.连续函数在闭区间上的性质.一、连续函数的概念极限形式增量形式.1.连续性概念的增量形式在某过程中, 变量 u 的终值 u2 与它的初值 u1 的差 u2  u1, 称为变量 u 在 u1处的增量, 记为 u = u2－u1.定义定义定义定义u 是一个整体记号, 它可以取正值、负值或零. 有时我们也称 u 为变量 u 在 u1 处的差分.. 设函数 f (x) 在 U(x0)内有定义, xU(x0) , 则称x = x  x0 为自变量 x 在 x0 点处的增量. = f (x0 +  x)  f (x0 )y = f (x)  f (x0 )xyOx0xxyy = f (x)此时, x = x0 + x , 相应地, 函数在点 x0 点处有增量  y. 连续性概念的增量形式则称 f (x) 在点 x0 处连续.设 f (x) 在 U(x0) 内有定义. 假设定义定义定义定义自变量的增量趋于零时, 函数的增量也趋于零..设 f (x) 在 U(x0) 内有定义, 假设则称函数 f (x) 在点 x0 处是连续的.2.函数连续性的定义 (极限形式) 函数的连续性是一个局部性的概念, 是逐点定义的.定义定义定义定义是整个邻域.函数 f (x ) 在点 x0 处连续, 应该满足以下三点：(1) f (x) 在 U(x0) 内有定义；(包括在点 x0 处有定义)(极限值等于函数在点 x0 处的函数值).函数 y = x2 在点 x = 0 处是否连续 ?  函数 y = x2 在点 x = 0 处连续.又且 y = x 2 在 U(0) 内有定义,例1解. 函数的连续性是通过极限定义的, 当然可以 运用《    》语言描述它.3.连续性的《 － 语言>形式设函数 f (x) 在 U(x0) 内有定义.  , 假设    , 当 | x  x0 | <  时, 有则称函数 f (x) 在点 x0 处是连续的.| f (x) f (x0) | < 成立,定义定义定义定义.4.函数的左、右连续性设函数 f (x) 在 [x0, x0+ ) 内有定义. 假设则称 f (x) 在 x0 点处右连续.设函数 f (x) 在 (x0–  , x0 ] 内有定义. 假设则称 f (x) 在 x0 点处左连续.其中,    为任意常数.定义定义定义定义. 函数在点 x0 连续, 等价于它在点 x0 既 左连续又右连续.定理定理定理定理.讨论 y = | x |, x() 在点 x = 0 处 y = | x | 在点在点 x = 0 处连续处连续.xyy = | x |O的连续性.例2解.5.函数在区间上的连续性设函数 f (x) 在开区间 (a, b) 内有定义.假设  x0(a, b), f (x) 在点 x0 处连续,则称 f (x) 在开区间 (a, b) 内连续, 记为f (x)C( (a, b) ).定义定义定义定义.假设 f (x)C( (a, b) ), 且 f (x) 在 x = a 处右连续, 在端点 x = b 处左连续, 则称函数f (x) 在闭区间 [a, b] 上连续, 记为f (x)C( [a, b] ).对半开闭区间和无穷区间可类似定义连续性定义定义定义定义.一般地, 如果函数 f (x) 在区间 I上连续, 则记为 f (x) C( I ) ..二. 函数的间断点 通常将函数的不连续点叫做函数的间断点..函数 f (x ) 在点 x0 处连续, 应该满足以下三点：(1) f (x) 在 U(x0) 内有定义; (包括在点 x0 处有定义)(极限值等于函数在点 x0 处的函数值). )( ) 3(0xfa =.(1) f (x) 在 x0 处无定义.1.函数间断点的定义满足下述三个条件中的任何一个, 则称函数 f (x)若函数 f (x) 在内有定义, 且在点 x0 处在点 x0 处间断, 点 x0 称为函数 f (x) 的一个间断点：定义定义定义定义.求函数间断点的途径:(1) f (x)在 x0 处无定义, 但 f (x) 在内有定义.(2)中至少有一个不存在.(3)存在, 但不相等.(4)但 a  f (x0 )..讨论函数xyO在 x = 0 无定义,x = 0为函数的间断点,例8解.2.函数间断点的分类 函数的间断点第一类间断点第二类间断点跳跃可去无穷振荡其它.(1) 第一类间断点假设 x0 为函数 f (x) 的一个间断点, 且f (x) 的第一类间断点.则称 x0 为函数定义定义定义定义.讨论函数 f (x)=x +1 x > 0sinx x < 0在 x = 0 处的连续性.yxO1y = sinxy＝x+1 由图可知, 函数在 点 x0 处间断.例6.故 x = 0 是 f (x) 的第一类间断点. 将左、右极限存在但不相等的间断点, 称为函数的跳跃型间断点.解.讨论函数在 x =1 无定义,故 x =1 为函数的第一类间断点. x =1 为函数的间断点为函数的间断点.yxO11P(1,2)y＝ x + 1 进一步分析该间断点的特点.例7解.补充定义则函数 f *(x) 在 x =1 连续.f * (x) =2 x = 1 即定义分析.这种间断点称为可去间断点.处函数值后, 可得到一个新的连续函数 , 故将在且相等, 即极限存在, 经过补充定义间断点这个间断点的特点是该处的左、右极限存 补充定义f * (x) =, x = x0. 跳跃型间断点 可去间断点 第一类间断点 左右极限存在 极限不相等 极限相等、补充定义.(2) 第二类间断点 凡不属于第一类的间断点, 称为函数的第二类间断点.这算定义吗？定义定义定义定义即左右极限至少有一个不存在的点即左右极限至少有一个不存在的点..讨论函数xyO在 x = 0 无定义,x = 0为函数的间断点,故 x = 0为函数的第二类间断点.所以称它为无穷间断点.由于例8解.在 x = 0 处无定义,又不存在,故 x = 0 为函数的第二类间断点. 看看该函数的图形.例9解.O11xy. 无穷型间断点 其它间断点 第二类间断点左右极限至少有一个不存在左右极限至少有一个为无穷 振荡型间断点 左右极限至少有一个振荡.三.连续函数的运算四. 及其基本性质 1. 1.四则运算的连续四则运算的连续性性2. 2.反函数的连续性反函数的连续性3.复合函数连续性4. 初等函数的连续性.回忆函数极限的四则运算回忆函数极限的四则运算那么的极限存在、函数时设当 )( )( , 0xgxfxx .回忆函数极限的四则运算回忆函数极限的四则运算那么现在怎么说?的极限存在、函数时设当 )( )( , 0xgxfxx 0)]()([)()(00xxxgxfxgxf=±=±, )( )( 0处连续在点、设函数xxgxf.1.连续函数的四则运算 设函数 f (x)、 g(x), fi (x) 在点 x0 处连续, 那么即.(1) 有限个在点 x0 处连续函数的和仍是一个 (2) 在点 x0 处连续的函数. 即.(2) 有限个在点 x0 处连续的函数之积仍是一个在点 x0 处的连续函数. 即.(3) 两个在点 x0 处连续函数的商, 当分母不为 零时, 仍是一个在点 x0 处连续函数. 即.反函数的连续性 y = f －1(x) 的图形只是 y = f (x) 的图形绕直线 y = x 翻转 180º 而成, 故单调性、连续性仍保持.从几何上看:x = f －1(y) 与 y = f (x)的图形相同,连续性保持. 从而, 单调性、.设函数 y = f (x) 在区间 I 上严格单调增加(减少) 且连续, 则其反函数在相应的区间 I* = { y | y = f (x) , xI } 上严格单调增加 (减少) 且连续.定理定理定理定理 3 3(反函数连续性定理).xy11Oxy11O例11.设函数 u =  (x) 在点 x0 处连续, 且u0 =  (x0) ,函数 y = f (u) 在 u0 处连续.若复合函数y = f ( (x))在 U(x0) 内那么 y = f ( (x)) 在 x0 点处连续.有定义, 这个条件有必要吗？定理定理定理定理 4 4(复合函数连续性定理).u = cos x 1 是在定义域内的定义域是一个孤立点集D = { x | x = 2k , kZ }从而, 函数在其定义域内的但由它们构成的复合函数连续的函数,每一点均不连续.例12.在定理 4 的条件下, 在定理4 的条件下, 极限符号可与连续函数 符号交换顺序. 推论推论.求例13解.设函数 u =  (x) 的极限存在：函数 y = f (u) 在点 u = a 处连续.复合函数 f ( (x)) 当 x  x0 时的极限存在, 且若复合函数 f ( (x)) 在内有定义, 那么定理定理定理定理 5 5.求y = ln u 在其定义域内连续,故（ y = ln u 在 u = 1 处连续）例14解.4.初等函数的连续性 基本初等函数在其定义域内是连续的. 初等函数在其有定义的区间内连续. 注意两者的区别！.求 连续性给极限运算带来很大方便.例15解.四. 闭区间上连续函数的性质1.最大值和最小值定理2.介值定理3. 方程根的计算.1. 1. 最大值和最小值定理最大值和最小值定理设 f (x) C ( [a, b] ), 那么 (i) f (x) 在 [a, b] 上为以下四种单调函数时 aObxyaObxyOab xyOabxy.y = f (x) [a, b] , y = f (x) [a, b] , 此时, 函数 f (x) 恰好在 [a, b] 的 端点 a 和 b 处取到最大值和最小值.那么那么. (ii) y = f (x) 为一般的连续函数时xya a1a2a3a4a5a6bmamby = f (x)O.(最大值和最小值定理)假设 f (x) C ( [a, b] ) , 则它在该闭区间上, 至少取到它的最大值和最小值各一次 . 在定理中, 闭区间的条件是很重要的, 例如, y = x 在 (1, 3) 内连续, 但它不能取到它的最大值和最小值.定理定理定理定理.假设 f (x)C( [a, b] ), 那么 f (x) 在 [a, b] 上有界. xya a1a2a3a4a5a6bmamby = f (x)O 看图就知道如何证明了. 推论推论.2.介值定理axyy = f (x)f (a)bf (b)Of (x)C ( [a, b] ), f (a) f (b) < 0, f ( )＝0.先看一个图 描述一下这个现象.(介值定理)设 f (x)C ( [a, b] ), f (a)＝A, f (b)＝B,且 A  B, 则对于 A, B 之间的任意一个数 C, 至少存在一点  (a, b), 使得 f () = C.定理定理定理定理2 2.(根存在定理或零点定理)则至少存在一点  (a, b), 使得 f ( )＝0.设 f (x) C ( [a, b] ), 且 f (a) f (b) < 0,axyy = f (x)f (a)bf (b)O推论推论推论推论.最大、最小值定理介质定理？？？ 引入设 f (x) C ( [a, b] ), 那么 f (x) 获得值 m 之间的任何一个值. 推论推论介于其在 [a, b] 上的最大值 M 和最小.证明方程 x5 – 3x =1, 在 x =1 与 x =2 之间令 f (x) = x5 – 3x –1, x[1, 2],那么 f (x)C( [1, 2] ),又 f (1) = –3, f (2) = 25, f (1)  f (2) < 0,即 方程在 x =1 与 x =2 之间至少有一根.故 至少存在一个 (1, 2), 使得 f ( ) = 0,至少有一根.例2证证证.。