矩阵理论讲义第一章 基础知识(11-14).pdf

Graduate Engineering Mathematics 同济大学数学系同济大学数学系 20092009- -3 3- -2222 工科研究生数学工科研究生数学 --矩阵论矩阵论 第第 1 章章 基础知识基础知识 王新赠王新赠 山东科技大学信息学院山东科技大学信息学院 wangelxz@ G G E ME M 定理：若非奇异阵定理：若非奇异阵 A 满足以下二者之一满足以下二者之一 （（1）） A的各阶顺序主子式的各阶顺序主子式 1112121222120, (1,2,, )kkkkkkkaaaaaaknaaa  2 1. LR (LU) 分解分解 1.1 矩阵矩阵分解分解 G G E ME M 57 则则 A可以三角分解：可以三角分解：A = LR 且分解是唯一的且分解是唯一的. 其中其中 L 为单位下三角形，为单位下三角形，R 为可逆上三角形为可逆上三角形 注注1：满足（：满足（2）一定满足（）一定满足（1）；）； 注注2：也称为：也称为Gauss消去分解消去分解 （（2））A的元素满足（主对角占优）的元素满足（主对角占优） 1112131111|| |||||||| ||||||||(2,3,, )niiiiiiiinaaaaaaaaain    G G E ME M 1111            nnnnnnRLAaCBAA，，设设                 nnnnnaCBACAOE11111         dOBRLnn114                  dOBLROOLnnn11111           BCAaOBAnnnn11111(,0)nnndaCABd记由两条件均可以推得数学归纳法证明数学归纳法证明 G G E ME M         nnnaCBAA1                    dOBLRLCAOLnnnnn11111111                          dOBLROOLCAOEnnnnn111111111G G E ME M 6 123251 ,325A 例：设例：设 求求 A的的三角三角分解分解 A = LR G G E ME M 解法一原理 121,sALRARE EE AYAYLRRYLRR YL 初等行变换把初等行变换用矩阵乘法体现：G G E ME M                440510321321312rrrrA解：解：              2400510321423rr             2400510321123AEEEG G E ME M                 2400510321131211EEEA                        2400510321143012001LR G G E ME M 解法二原理 1( , )(, ),( , )(, )(, ),,ALRA ILR IR XXY A IY LR IYLR YR XYLRR XYL 初等行变换（）=?把初等行变换用矩阵乘法体现：（）G G E ME M 11 123100( ,)251010325001A E 解：解： 213123123100015210044301rrrr    G G E ME M 32412310001521000241141rr                2400510321R              14110120011L12 G G E ME M 13                          2400510321143012001LRA            143012001L             2400510321RG G E ME M 14 123251 ,325A 例例2 2：设：设 用三角分解用三角分解 求解求解Ax = b 123b           大型线性方程组求解利用LR分解，运算速度快、节省磁盘空间、节省内存。

G G E ME M 15 解：对解：对A做三角分解：做三角分解：A = LR，，则则 ,     RxyLRxbRxyLyb令令，， 则则1001232100153410024ALRG G E ME M 16 112123123100121022341343yyLyyyyyyyy          112312232333123230155002424xxxxyRxxxxyxxyG G E ME M 17 11231122321233312322534324yxxxyyyxxyyyyxy110 ,000yx                    G G E ME M nrrmnmCBArArank     若若，，设设)(其中其中 B 列满秩，列满秩，C 行满秩。

行满秩 18 满秩满秩分解分解 2. 满秩满秩分解分解 则称其为对则称其为对A的满秩的满秩分解 G G E ME M TT12TTT12111T1T1111,( ,),( ,)( ,)(,),(,)= ,( ,),,(,),rrrrrEXAPQPP PQOOEXAP PQP PX QP E X QOOBPCE X QABCQI AP PXBPCE XBPArCAHermit设其中为（列）置换则记， 则特别地，也就是为矩阵 的前 列，而 是用初等行变换将矩阵变为标准型的非零行部分G G E ME M 例例4. 设设 A121242123   20 求求 A的的满秩满秩分解分解 G G E ME M BCACB                           ,110101,21422121                                         000110101440000121321242121AG G E ME M TT12T1TT,( ,),,(,)(,)rrrEXAPQPP PQOOBPCE X QABCQICE X QAHermitAB C设其中为（列）置换则， 则对于的情况会比较麻烦，但是说明将矩阵 变为标准型时列置换还是要乘回去，所以我们不再做列置换，只化为严格行阶梯形，非零行第一个非零元所在列对应到矩阵 取出就是 ， 就是非零行。

G G E ME M 例例5. 设设                  363324221211A求求A的满秩的满秩分解分解 23 G G E ME M                              600000001211363324221211A            000060001211           000010000211          10000211C              332211BBCA G G E ME M 矩阵的谱分解矩阵的谱分解 3. 谱谱分解分解 11      PPAAPP,                 nn      2121),,diag(TnnPP),,,(),,,(2      1121   ，，G G E ME M                                TT2T,nnnA         12121TnnnTT             222111称为 A的谱分解， 称为 A的谱。

},{n   21G G E ME M 注意到注意到 EPPEPPTnnnnnnnnnn                                                            TTT1TTTTTT1),,(),,(1111111111jiji    TETnn       T11故有故有 G G E ME M ， niAAii,,)(2112  jiOAAji  )(2EAAn   13)(niAiii,,,T21    设设 nnAAA     11则则 性质性质: : G G E ME M 例例4、求、求              314020112A的谱分解 的谱分解的谱分解。

G G E ME M 221314020112))((                 AE解：解： 21321       ,11   对对0   xAE)(解解           1011 得得232    对对02  xAE)(解解                       40111032  ,得得G G E ME M   ,,,             411010101321   P                          TTTP3211313131010313134   //////TTTA33221122          G G E ME M 矩阵的奇异值分解矩阵的奇异值分解 4. 奇异值奇异值分解分解 ，，设设rAranknm  )(AAT0 i 则半正定阵则半正定阵 的特征值的特征值 称称 ii   为为 A 的奇异值。

的奇异值 nmD          000Σ定理：设定理：设 ,,021    r   ),(diagrD   21 其中其中 则存在正交阵则存在正交阵 nnmmVU  ,TVUAΣ 使得使得 G G E ME M                               OOODVAAVrTT2100  )(                 OOODVVAAVV22121),(TTT),(21VVV  其中其中V 是正交阵令是正交阵令 G G E ME M       0222211AVOAVAVDAVAV,TTTT          TT),(2121VVVVAAVVAT由前式可知由前式可知 TT2211VAVVAV  T11VAV TT11111DVUDVDAV   111  DAVU其中其中 G G E ME M 1U),(21UUU  扩充成交阵扩充成交阵 把把 即即求求解方程解方程 01 xUT的的基础解系，基础解系， 2U再规范正交化即得再规范正交化即得                  TT),(Σ2121VVOOODUUVUT         TT),(211VVODUADVU  T11G G E ME M 例例5、求、求 的谱分解 的的奇异值奇异值分解分解。

            122111AG G E ME M 解：解：     7561166116                     AAEAATT5721    ,25721   )(,,Arank                    00500757,＝＝DG G E ME M 标准标准正交正交化化:                  11211121，，TVV          111121＝＝                                 11001111115522  ,AAET，，                               11001111117711  ,AAET，，G G E ME M 111  DAVU15007111121122111                                     5173537107221＝＝1155101 ,1(, )35-3-3TU xUU解得单位化 =，G G E ME M 例例6、求、求 的谱分解 的的奇异值奇异值分解分解。

            222111AG G E ME M                                         555555555222111212121AAT解：解：   150155555555552,,                 AAET           000001515151,, D＝＝ G G E ME M                                       11100011010110555105551015151  ,,AAET                                                   101011000000111555555555032   ,,AAT，，＝＝标准正交化：标准正交化：                                101210112111131，，，，这里的标准证交化结果不对这里的标准证交化结果不对 G G E ME M TVV             20001101121                                  215110101102201121111DAVU                 125112011单位化单位化得得解解扩充扩充,,xUUTTVUAU            ，，122151G G E ME M 1.2 广义特征值广义特征值 n 阶阵阶阵A, B为实对称阵为实对称阵，，且且B为正定阵为正定阵，，若若 )(0  xBxAx 则称则称   为为 A 相对与相对与 B 的广义特征值的广义特征值，，x为为 A 相对与相对与 B 的的 广义特征向量，广义特征向量， 0  ||BA 称为称为A相对与相对与B 的特征方程。

的特征方程 G G E ME M 例例7、设、设                   11123112BA,求求A相对与相对与B 的广义特征值和特征向量的广义特征值和特征向量 G G E ME M 解：解： 56311222                BA                              2105501015121PXBAPXBA得得，解，解得得，解，解   ,G G E ME M 1.3 矩阵分解矩阵分解matlab实现实现 1. LR(LU)分解分解 定义：非奇异阵定义：非奇异阵A满足各阶顺序主子式不为零，满足各阶顺序主子式不为零，则矩阵则矩阵A可以三角分解可以三角分解A=LU，，L为单位下三角为单位下三角形，形，U为可逆上三角形，分解式唯一为可逆上三角形，分解式唯一。

Matlab命令命令 [L U]=lu(A) %说明，说明，matlab无全角！逗号与空格无全角！逗号与空格 G G E ME M G G E ME M 2. LR(LU)分解一般形分解一般形式式 问题：是否所有的非问题：是否所有的非奇异阵奇异阵A都会满足都会满足各阶顺序主子式不各阶顺序主子式不为零？为零？ 矩阵：矩阵： G G E ME M 说明：说明：matlab对对LU分解的方式是利用的高分解的方式是利用的高斯列主元素分解，举例说明斯列主元素分解，举例说明 G G E ME M 4217131137132232788123788310456456077788123613077788788613613 0077773101000772rrrrrrrrrrAU   G G E ME M 11142171131321323721,,,110001714110,177211100122rrrrrrrrrrXAU AX U LXXLXXLX   由得到的过程知矩阵不再是单位上三角矩阵，而是一个行置换的单位上三角矩阵。

三阶单位矩阵经过行变换即G G E ME M Matlab验证 1107887416131 ,072771001002LU我们的结论：G G E ME M 一个小问题：我们仍然喜欢单位上三角矩阵一个小问题：我们仍然喜欢单位上三角矩阵L，能不能将行置换单独放，，能不能将行置换单独放，L仍然保持仍然保持单位上三角的性质？单位上三角的性质？ Matlab实现：实现： [l u p]=lu(a) %满足满足p*a=l*u. G G E ME M G G E ME M 3. 矩阵的满秩分解易于计算，而应用不广，矩阵的满秩分解易于计算，而应用不广，matlab没有给出专门的命令，如果想得没有给出专门的命令，如果想得到其到其matlab程序可以去网上查程序可以去网上查 G G E ME M 4. 矩阵的谱分析不能直接矩阵的谱分析不能直接matlab实现，但是实现，但是matlab可以求解矩阵的特征值、特征向可以求解矩阵的特征值、特征向量以及广义特征值、广义特征向量量以及广义特征值、广义特征向量。

Matlab命令：命令： [V D]=eig(a) %其中其中D为为a特征值对应的对角矩阵，特征值对应的对角矩阵，V为为%特征向量矩阵特征向量矩阵 %[V D]=eig(a,b)求求a关于关于b的广义 G G E ME M G G E ME M G G E ME M 4. 矩阵的奇异值分解由于在工程应用非常广矩阵的奇异值分解由于在工程应用非常广泛，虽然定义比较麻烦但是可以由泛，虽然定义比较麻烦但是可以由matlab直接实现直接实现 Matlab命令：命令： [U S V]=svd(a) %其中其中U,V均为正交矩阵，均为正交矩阵，S为矩阵为矩阵a同型同型%矩阵，为对角矩阵，对角线元素为从矩阵，为对角矩阵，对角线元素为从%大到小排列的矩阵大到小排列的矩阵a的奇异值的奇异值 G G E ME M G G E ME M 1.4 其它矩阵分解其它矩阵分解 1. 满秩矩阵的满秩矩阵的QR（正交三角）分解（正交三角）分解 定义：任意满秩矩阵定义：任意满秩矩阵A都可以分解成一个都可以分解成一个正交矩阵正交矩阵Q和一个上三角矩阵和一个上三角矩阵R的乘积，的乘积，称为矩阵称为矩阵A的的QR（正交三角）分解。

正交三角）分解 Matlab命令：命令： [Q R]=qr(A) G G E ME M G G E ME M 2. 对称正定矩阵的对称正定矩阵的Cholesky分解分解 定义：对称正定矩阵定义：对称正定矩阵A可以分解成一个上可以分解成一个上三角矩阵三角矩阵R的转置与其乘积的转置与其乘积A=R’*R，称，称为矩阵为矩阵A的的Cholesky分解 Matlab命令：命令： R=chol(A) G G E ME M 。