艾滋病数学建模.doc

精品资料______________________________________________________________________________________________________________模型的建立1. 建模思想建立 HIV/AIDS 的传播模型，利用模型对不同控制措施下的感染情况进行预测对 AIDS 建立模型应考虑一下方面因素：1) 传染病的一般传播原理；2) AIDS 的特殊性，例如从感染病毒到发病，其潜伏期不定，且潜伏期期间没有明显症状，一旦感染将不能治疗痊愈；3) 艾滋病感染人群层次广泛， 包括各个阶层， 知识分子， 农民，学生等， 在吸毒人群，嫖客人群，暗娼人群等高危人群中流行更为广泛；4) 每年新出生人口中会有艾滋病感染者；5) 每年都有一般人群通过不同途径进入高危人群，成为易感人群；6) 艾滋病感染者是否具有较高的道德修养，发现自己感染后能否控制自己的行为，不传染给其他人；7) 感染艾滋病后，二次感染的可能性；8)国家采取一些措施， 例如加大对艾滋病知识的宣传， 发放避孕套等， 对高危发病人群的影响考虑这些方面，进行条件的合理假设和参数确定。

2. 假设条件1） 研究高危人群，主要包括吸毒人群，嫖客人群，暗娼人群；精品资料______________________________________________________________________________________________________________2） 一个艾滋病病人被感染后不会被二度感染；3） 假设一个艾滋病病毒感染者具有较高的道德修养， 自己感染后不会再传染他人即不考虑对周围人群的影响；4） 假设 HIV 的潜伏期为 8 年3. 参数确定1) 针对艾滋病的特点，我们将人群分为三类：S：易感者 (susceptible) ，即未感染 HIV 病毒的健康人，但有可能被感染的人；E：潜伏着 (exposed) ，已经感染 HIV 病毒，但未被发现，仍处于潜伏期者；I：患病者 (infectious) ，感染 HIV 病毒，有明显的发病症状，到医院注册治疗者t 时刻以上各类人数分别用 S(t) ， E(t) ， I(t) 表示，用 N(t) 表示 t 时刻人口总规模 N(t)=S(t)+E(t)+I(t)2)p ----------------------------每年新出生人口中 HIV 病毒携带者所占比例3)---------------------------感染率，即单位时间内一个病毒携带者对易感人群的感染率4)b ----------------------------自然出生率5)d ----------------------------自然死亡率6)k ----------------------------每一年进入与退出高危人群的比例之差7)----------------------------处于潜伏期的病人的每年发病率8)----------------------------每年因艾滋病死亡的死亡率4. 模型的建立根据艾滋病的流行规律， 易感者受到感染后先变为潜伏着， 潜伏者发病后变为感染者， 感染者转变为移出者，不属于我们模型的考虑范围。

建立 SEI （有垂直感染且有输入输出）模型，建立如下仓室转移框图：精品资料______________________________________________________________________________________________________________kSSEp bN(1 S1.2 )IESEI(1 p) bNdEdIdS其中：(1 p) bN ：每年新增的易感者；kS ：每年进入与退出高危人群人数之差；dS ：每年易感者的自然死亡数；SE(1 S1.2 ) ：表示新增患者人数；p bN ：出生就是 HIV 感染者的人数；E ： HIV 感染者成为艾滋病病人的人数；dE ：在潜伏期就死亡的人数dI ：自然死亡的让人数；I ：因 HIV 死亡的人数；5. 建立微分方程：dS(1p)bNdSSEkSdt(1S1.2 )dEpbNSEEdEdt(1S1.2 )dIEdIIdtdNdSdEdI(bd)NI kSdtdtdtdtS00,E0 0,I 00精品资料______________________________________________________________________________________________________________对上述模型进行离散就可以得到差分方程：S(t1)S(t )(1p)bN (t )dS(t)S(t )E(t )kS(t )S(t)1.2 )(1E(t1)E(t)pbN (t )S(t )E(t)dE(t) E(t)(1S(t )1.2 )I (t1) I (t)E(t)dI (t)I (t)N(t1)S(t)E(t)I (t)(bd ) N (t )I (t)kS(t)S00, E00,I 00假设 t=0 时，取来自于中国卫生部1993年的数据即可以得出：1）根据中国卫生部的统计资料可得S0565133,E01243,I 0 36 ；2 ）根据中国统计的数据得出中国每年自然出生率和自然死亡率分别为：b=1.3464%，d=0..6432%;3 ）由前面的假设条件中潜伏期平均为8年，所以通过数学概率可以算的每年的发病率为12.5% ；4）根据 WHO 统计数据， 全世界每年有 2400 万感染 HIV 的妇女生产， 导致每年 60 万婴儿感染 HIV ，因此，可以得出每年出生的婴儿中艾滋病患儿的比例为p=602.5% ；24005）通过中国卫生部每年的艾滋病死亡率的数据，可以得到38.26%；6）通过对 1993 到 2000 年实际感染人数与公式得的数据进行拟合得出0.05,c 0.045。

6. 编程求解：假设未来 7 年，即估算到 2000 的数据， k=0.1,用 MATLAB 软件编写代码如下：精品资料______________________________________________________________________________________________________________b=0.013464;d=0.006432;p=0.025;gama=0.1926;beta=0.05;epsi=0.125;c=0.045;S(1)=565133;E(1)=1243;I(1)=36;k=0.8;for t=1:7N(t+1)=S(t)+E(t)+I(t);S(t+1)=S(t)+(1-p)*b*N(t)-d*S(t)-(beta*S(t)*E(t))/(1+c*S(t)^1.2)+k*S(t);E(t+1)=E(t)+p*b*N(t)+(beta*S(t)*E(t))/(1+c*S(t)^1.2)-d*E(t)-epsi*E(t);I(t+1)=I(t)+epsi*E(t)+d*I(t)-gama*I(t);S,E,I,Nend输出数据：S =1.0e+006 *0.5651 0.6253 0.6912 0.7640 0.8444 0.9334 1.0317 1.1404精品资料______________________________________________________________________________________________________________E =1.0e+003 *1.2430 1.3676 1.4838 1.6118 1.7525 1.9071 2.0770 2.26371.7151I =36.0000 184.6730 321.2396 446.9100 565.1834 679.0211 。