对数函数及其性质,对数公式互化,详尽讲解.docx

优选文档优选文档§2.2对数函数2．2.1对数与对数运算1．对数的看法一般地，若是ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．y＝ax的另一种表达形式，比方：说明：(1)实质上，上述对数表达式，但是是指数函数34＝81与4＝log381这两个式子表达是同一关系，所以，相关系式ax＝N?x＝logaN，从而得对数恒等式：alogaN＝N.(2)“log”同“＋”“×”“”等符号相同，表示一种运算，即已知一个数和它的① 幂求指数的运算，这类运算叫对数运算，但是对数运算的符号写在数的前面．(3)依照对数的定义，对数logaN(a>0，且a≠1)拥有以下性质：①零和负数没有对数，即N>0；②1的对数为零，即loga1＝0；③底的对数等于1，即logaa＝1.2．对数的运算法规利用对数的运算法规，能够把乘、除、乘方、开方的运算转变成对数的加、减、乘、除运算，反之亦然．这类运算的互化可简化计算方法，加快计算速度．(1)基本公式loga(MN)＝logaM＋logaN(a>0，a≠1，M>0，N>0)，即正数的积的对数，等于同一底数的各个因数的对数的和．MlogaN＝logaM－logaN(a>0，a≠1，M>0，N>0)，即两个正数的商的对数，等于被除数的对数减去除数的对数．logaMn＝n·logaM(a>0，a≠1，M>0，n∈R)，即正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数．(2)对数的运算性质注意点①必定注意M>0，N>0，比方loga[(－3)×(－4)]是存在的，但是loga(－3)与loga(－4)均不存在，故不能够写成loga[(－3)×(－4)]＝loga(－3)＋loga(－4)．M②防范出现以下错误：loga(M±N)＝logaM±logaN，loga(M·N)＝logaM·logaN，logaN＝logaM，logaMn＝(logaM)n.logaN3．对数换底公式在实质应用中，常遇终究数不为10的对数，如何求这类对数，我们有下面的对数换底公式：logbN＝logN(b>0，且b≠1；c>0，且c≠1；N>0)．clogbc证明设logbN＝x，则bx＝N.两边取以c为底的对数，得xlogcb＝logcN.所以x＝logcN，即logbN＝logcN.logcblogcb换底公式表现了对数运算中一种常用的转变，立刻复杂的或未知的底数转变成已知的或需要的底数，这是数学转变思想的详尽应用．由换底公式可推出下面两个常用公式：(1)logbN＝1或logbN·logNb＝1(N>0，且N≠1；b>0，且b≠1)；logNb(2)logbnNm＝mnlogbN(N>0；b>0，且b≠1；n≠0，m∈R)27.优选文档.题型一正确理解对数运算性质①若②若③若④若关于a>0且a≠1，以下说法中，正确的选项是()M＝N，则logaM＝logaN；logaM＝logaN，则M＝N；logaM2＝logaN2，则M＝N；M＝N，则logaM2＝logaN2.A．①与③B．②与④C．②D．①、②、③、④解析在①中，当M＝N≤0时，logaM与logaN均没心义，所以logaM＝logaN不成立．在②中，当logaM＝logaN时，必有M>0，N>0，且M＝N，所以M＝N成立．在③中，当logaM2＝logaN2时，有M≠0，N≠0，且M2＝N2，即|M|＝|N|，但未必有M＝N.比方，M＝2，N＝－2时，也有logaM2＝logaN2，但M≠N.在④中，若M＝N＝0，则logaM2与logaN2均没心义，所以logaM2＝logaN2不成立．所以，只有②成立．答案C谈论正确理解对数运算性质公式，是利用对数运算性质公式解题的前提条件，使用运算性质时，应牢记公式的形式及公式成立的条件．题型二对数运算性质的应用求以下各式的值：32(1)2log32－log39＋log38－5log53；2(2)lg25＋3lg8＋lg5·lg20＋(lg2)2；log52·log79(3).1 3log53·log74解析利用对数的性质求值，第一要明确解题目标是化异为同，先使各项底数相同，才能使用性质，再找真数间的联系，关于复杂的真数，能够先化简再计算．解(1)原式＝2log32－(log332－log39)＋3log32－3＝2log32－5log32＋2＋3log32－3＝－1.102(2)原式＝2lg5＋2lg2＋lg2·lg(2×10)＋(lg2)＝2lg(5×2)＋(1－lg2)(lg2·＋1)＋(lg2)2＝2＋1－(lg2)2＋(lg2)2＝3.1(3)∵log52·log79＝2log52·2log73131－log53·log74log5·log7433lg2lg3＝－lg5·3.lg7＝－lg31lg42lg5··3lg7.优选文档谈论对数的求值方法一般有两种：一种是将式中真数的积、商、幂、方根利用对数的运算性质将它们化为对数的和、差、积、商，尔后化简求值；另一种方法是将式中的和、差、积、商运用对数的运算法规将它们化为真数的积、商、幂、方根，尔后化简求值．题型三对数换底公式的应用计算：(log2125＋log425＋log85)(log52＋log254＋log1258)．解析由题目可获取以下主要信息：本题是一道对数化简求值题，在题目中各个对数的底数都各不相同．解答本题可先经过对数换底公式一致底数再进行化简求值．解方法一原式＝23＋log225＋log25log52＋log54＋log58log5log24log28log525log12552log25log252log523log52＝3log25＋2log22＋3log22log52＋2log55＋3log551＝ 3＋1＋3log25·(3log52)log22＝13log25·＝13.log25方法二原式＝lg125＋lg25＋lg5lg2＋lg4＋lg8lg2lg4lg8lg5lg25lg1253lg52lg5lg5lg22lg23lg2＝lg2＋2lg2＋3lg2lg5＋2lg5＋3lg513lg5lg2＝13.＝3lg23lg5谈论方法一是先将括号内换底，尔后再将底一致；方法二是在解题方向还不清楚的情况下，一次性地一致为常用对数(自然也能够换成其他非1的正数为底)，尔后再化简．上述方法是不相同底数对数的计算、化简和恒等证明的常用方法．已知log(x＋3)(x2＋3x)＝1，求实数x的值．错解由对数的性质可得x2＋3x＝x＋3.解得x＝1或x＝－3.错因解析对数的底数和真数必定大于0且底数不等于1，这点在解题中忽略了．x2＋3x＝x＋3，正解由对数的性质知x2＋3x>0，x＋3>0且x＋3≠1.解得x＝1，故实数x的值为1.对数的定义及其性质是高考中的重要考点之一，主要性质有：loga1＝0，logaa＝1，alogaN＝N(a>0，且a≠1，N>0)．1．(上海高考)方程9x－6·3x－7＝0的解是________．解析∵9x－6·3x－7＝0，即32x－6·3x－7＝0∴ (3x－7)(3x＋1)＝03x＝7或3x＝－1(舍去)x＝log37.答案log37.优选文档ex，x≤0，则gg1＝____.2．(辽宁高考)设g(x)＝lnx，x>0，2解析g1＝ln1<0，gln1＝eln1＝1，122222∴gg12＝.2答案121．对数式log(a－3)(7－a)＝b，实数a的取值范围是()＝ A．(－∞，7)B．(3,7)C．(3,4)∪(4,7)D．(3，＋∞)答案Ca－3>0，解析由题意得a－3≠1，解得30，2．设a＝log32，则log38－2log36用a表示的形式是()A．a－2B．3a－(1＋a)2C．5a－2D．－a2＋3a－1答案A解析∵a＝log32，∴log38－2log36＝3log32－2(log32＋1)3a－2(a＋1)＝a－2.3．log6·log7·log8·log9·log10的值为()567891A．1B．lg5C.lg5D．1＋lg2答案C解析原式＝lg6lg7lg8lg9lg10lg10＝1.····＝lg5lg5lg5lg6lg7lg8lg94．已知loga(a2＋1)1，a>0，a≠1，loga(a2＋1)0，a≠1)在[1,3]上最大值与最小值之和为2f(x)＝aa，则a的值为()11A．4B.4C．3D.3答案D6．若方程(lgx)2＋(lg7＋lg5)lgx＋lg7·lg5＝0的两根为α，β，则αβ等于()1A．lg7lg5·B．lg35C．35D.35.优选文档答案D解析∵lgα＋lgβ＝－(lg7＋lg5)＝－lg35＝lg1∴α·β＝135。