高等几何-二次曲线的仿射理论 ppt.ppt

§ § 4.7 4.7 二次曲线的仿射分类二次曲线的仿射分类问题：在射影仿射平面上, 给定二阶曲线适当选取射影仿射坐标系, 将 的方程化为射影仿射标准方程.依据：  的秩, A33的符号, 将双曲型、抛物型、椭圆型三个类 型的曲线进一步细分为若干仿射等价类, 得到每一类的标准方程.注意：因为无穷远直线l∞: x3= 0在射影仿射变换下保持不变, 故在选取新的射影仿射坐标系时必须保持A1', A2'总取在l∞上.§ § 4.7 4.7 二次曲线的仿射分类二次曲线的仿射分类一、 非退化二阶曲线的射影仿射分类此时, |aij|≠0, 秩(aij)=3. 依据A33是否为零分类:1. A33≠0, 有心二阶曲线.取中心为A3', 任取一对相异的共轭直径, 其 与l∞的交点分别取作A1', A2'. 则三点形A1'A2'A3' 为 的一个自极三点形.以 A1'A2'A3'为坐标三点形, 适当选取单位点E ', 建立新的射影仿 射坐标系. 据§4.5, S = 0可以化为§ § 4.7 4.7 二次曲线的仿射分类二次曲线的仿射分类中, 注意到x1, x2地位平等, 而x3特殊, 从而有下列三个等价类在射影仿射平面上, 有心二阶曲线皆可化为上述标准方程之一.在方程§ § 4.7 4.7 二次曲线的仿射分类二次曲线的仿射分类2. A33=0, 无心二阶曲线, 即抛物线.以l∞为一边的自极三点形不存在. 取中心(无穷 远切点)为A1', 取一直径与 的有穷远交点为A3', A3'处的切线上无穷远点取作为A2'.在射影仿射平面上, 无心二阶曲线(抛物线)皆可化为上述标准方程 .以三点形A1'A2'A3'为坐标三点形, 适当选取单位点建立仿射坐 标系, 据§4.5,  的方程可以化为再作一次仅改变单位点的仿射坐标变换, 可得 的仿射标准方程§ § 4.7 4.7 二次曲线的仿射分类二次曲线的仿射分类二、 退化情形综上讨论, 在射影仿射平面上, 二阶曲线共分为11个等价类. 任 何二阶曲线皆可通过适当选取射影仿射坐标系化为上述11种标准 方程之一.|aij|=0秩(aij) =2秩(aij) =1依其奇异点情况及与l∞的关 系, 分成7个仿射等价类.例 求射影仿射坐标变换, 将二阶曲线化为射影仿射标准方程.§ § 4.7 4.7 二次曲线的仿射分类二次曲线的仿射分类例 求射影仿射坐标变换, 将二阶曲线化为射影仿射标准方程.由秩(aij)=3知 为一条非退化二阶曲线, 又由 A33 > 0知 为一个椭圆.第一步, 选取以中心为一个顶点的自极三点形.第三步, 化为射影仿射标准方程.第二步, 求射影仿射坐标变换的逆式.。