线性代数第3版习题全解(上海交通大学).doc

上海交通大学《线性代数(第三版)》习题全解习题1.11. 计算下列行列式：(1) ； ； ；(5) 解：(1) =7×5−1×4=31；(2) ；(3) 5) =2. 用行列式方法求解下列线性方程组：(1) ； (2) 解：(1) ,(2) ，3．求下列各排列的逆序数：(1) 34215； (2) 13…(2n−1)(2n)(2n−2)…2解：(1) t=2+2+1=5(2) 4．写出四阶行列式中含有因子a11a23的项解：P3P4是2，4的全排列，即24，42，故即，5．证明按行列式定义即可证明（略）习题1.21. 试证明行列式性质4证：2. 计算下列行列式：(1) ； (2) 解：(1) =；(2) 3. 计算n阶行列式：(1) ； (2) 解：(1) 2) 把第2行的倍，第3行的倍，……，第n行的倍都加到第1行上去，D可化成下列行列式习题1.31. 计算下列行列式：(1) ； (4) 解：(1) ； (2)；(3)；(4) 2. 计算下列行列式：(1) ；(2) ；(3) ；(4) 解：(1) 从第2列开始，各列统统加到第1列上去，得；(2) 第2列的(−1)倍分别加到其他各列上去，得；(3) 先按最后一行展开，得；(4) 将Dn增加一行、一列，得到n+1阶行列式：。

设)习题1.41. 用克莱姆法则解线性方程组：(1) ；(2) 其中ai≠aj，i≠j(i，j=1，2，…，n)解：(1) ，，；(2) 故2. 问λ取何值时，下列方程组有唯一解？解：故当且时，方程组有唯一解3. λ，μ取何值时，下列方程组有非零解？解：当，且时，方程组有唯一解（零解），当或时，D=0，方程组有无穷多解4. 求下列行列式的值：(1) ； (2) ； ；； (7) ；(8) 解：(1) (2) (3)若将其按第一行展开，当时，所有代数余子式全为0因此，当时，；当时，；时， 若将其按第一列展开，当时，所有代数余子式全为0因此，当时，；当时，；时，7) 第2列的(−1)倍加到第3列，同时把第1列的(−1)倍加到第2列，其余各列不变，得(8) 将第k行的(−1)倍加到第k+1行上去(k=n−1，n−2，n−3，…，3，2)，得5. 用递推法计算行列式解：，上式为关于的差分方程，其特征方程为，特征根为，故又，得，从而复习题11. 设，D的展开式中，x4的系数等于______，x3的系数等于_____解：将D按第一列展开，得四项求和只有第一项能出现x4，其系数是2。

第一项含x3，系数−2；第二、三项不含x3；第四项含x3，其系数2故D中x3的系数为−2+2=02. 计算阶行列式解：，同理可得当时，从上述两式可以解得；当时，只须对上式令即可得3. 计算阶行列式(均不等于零，)解：（范德蒙行列式） 4. 设，求证：，其中 为将中第列元素换成后所得的新行列式证明：将增加一行和一列得到下列阶行列式，此行列式显然为0将此行列式按第一行展开，得，显然，，故5. 已知四阶行列式，试求A41+A42与A43+A44的值其中A4j是D的第4行元素的代数余子式(j=1，2，3，4)由于，分别取i=j=4，得再取i=2，j=4，得将代入，得6. 计算阶行列式解：将增加一行、一列得到下列阶行列式，此行列式显然与原行列式相等，所以7. 设是不全为零的实数，试证明下列方程组只有零解：证明：方程组的系数行列式，显然，满足，根据克莱姆法则，此方程组只有零解8. 计算行列式对调，即得的转置行列式，从而，当时，联立得；当时，对上式取极限得，故9. 计算行列式解： 10. 设1) 如果证明：；(2) 如果证明：证明：(1) 假设，则由克莱姆法则的推论知，由D构成的齐次线性方程组有非零解 。

设是该解中满足的正整数，则，，，与题设矛盾，故；(2)显然，，从而，由(1)知， 习题2.11. 一个阶方阵，既是上三角矩阵又是下三角矩阵，问是什么类型的矩阵？答：是对角矩阵2. 设若，试求 的值解：根据矩阵相等的定义，有解得3. 设有线性方程组试写出该方程组的系数矩阵和增广矩阵解：系数矩阵、增广矩阵分别为习题2.21. 设，试求2. 设，试求(A+B)2，A2+2AB+B2，|5A|，|AB|以及A*解：，或，或3. 若矩阵，满足条件，试证明：必为方阵；问如何？证明：根据矩阵相乘的条件，可设， 由，得，即为方阵，而不一定为方阵4. 设，如果，试求矩阵的所有元素之和解：， 的所有元素之和为5. 如果，则与可交换试求所有与可交换的矩阵解：设与可交换，即，，得，故与可交换的矩阵为，其中为任意实数6. 设，试求（为非负整数）解：记， 则， 从而7. 试证明：对任意矩阵，恒为对称矩阵证明：因为，所以为对称矩阵8. 设为对称矩阵，为反对称矩阵，试证明：(1)为对称矩阵；(2)为对称矩阵；(3)为反对称矩阵，当且仅当证明：由题意知，，1) 因为，所以为对称矩阵；(2) 因为，所以 为对称矩阵；(3) 为反对称矩阵 ，得证。

习题2.31. 设，假设矩阵是由分别经过下列初等变换得到的，试求矩阵1)先交换矩阵的第一、三行，然后将第二列的2倍加于第三列；(2)用3乘矩阵的第一列，而后将第一行的倍加于第二行解：(1) ； (2) 2. 试求一个三阶方阵，使得等于对经过下面的初等变换所得到的矩阵：先交换的第一、第三行，再用3乘矩阵的第二行，最后将第一行加于第二行解：根据定理1.1，所求三阶方阵等于将三阶单位矩阵做题中初等行变换后的矩阵，即3. 试求一个方阵，使得等于对经过下面的初等变换所得到的矩阵：首先用乘矩阵的第三列，然后将第一列的倍加于第二列，最后交换矩阵的第一、第三列解：根据定理1.1，所求三阶方阵等于将三阶单位矩阵做题中初等列变换后的矩阵，即4. 将下列矩阵行初等变换成简化阶梯矩阵： (1) ；(2) 解：(1) 5. 设，试求矩阵的简化阶梯矩阵如果令表示的前三列组成的三阶方阵，表示的后三列组成的三阶方阵，试计算和解： ，，习题2.41. 设为阶方阵，证明：， ，证明： ，类似可证2. 设，证明：，证明： ，类似可证习题2.51. 判断下列矩阵是否可逆，若可逆，求其逆矩阵 。

解：(1) ，故2) ，故3) ，故不可逆4) ，故2. 解下列矩阵方程： (1)； (2) ；(3) 解：(1) ，故2) 解法一：解法二：所以解法三：所以3) ，故3. 设，并且，试求矩阵解：由，得，，故可逆，且4. 设A为三阶方阵，且，求5. 证明：可逆矩阵的性质(1)，(2)，(3)证明：设可逆，即有，使1) 按照可逆的定义，也可逆，且2) 因为，所以也可逆，且3) 因为，所以也可逆，且6. 设A为n阶方阵，其伴随矩阵为A*：(1) 证明：如果|A|≠0，则A*可 逆，并求(A*)−1；(2) 证明：如果|A|≠0，则|A*|=|A|n−1；(3) 在|A|≠0的情况下，导出矩阵(A*)*和A之间的关系解：(1) 因为，所以，当时，，即A*可逆，且2) 因为，所以3) 因为由(2)知 ，由(1)知 当时，存在，且，所以7. 设，证明：可逆证明：由，得， ，根据可逆定义，可逆8. 设方阵满足，证明：和都可逆，并求其逆矩阵证明：由，得，即可逆，且同理可得，，，即可逆，且复习题21. 设均为矩阵，证明：的充分必要条件是对任意维列向量，有证明：必要性显然，下证充分性 设，其中为维行向量，由题意知，对向量，，即，亦即，从而。

2. 证明：的充分必要条件为对任何实的列向量，有证明：因为为实数，所以，即必要性：若，则，从而充分性：若，则记，取某一个分量，其余分量为零，由得，，再取某两个分量，其余分量为零，由又得，，从而矩阵，即3. 设为实矩阵，证明：的充分必要条件是证明：必要性显然，下证充分性记，则对角线上的元素为，由题意，，从而，即4. 证明： (1)对任意方阵主对角线上的元素的和等于主对角线上元素的和； (2)对任意方阵永远不可能成立证明：(1) 记，则、对角线上的元素分别为和显然，两者的和相等，都等于 (2) 由(1)可知，对任意方阵，主对角线上元素的和等于主对角线上元素的和，从而主对角线上的元素为0，因此不可能成立5. 若方阵的乘积可逆，试证明：都可逆证明：若不可逆，即不能表示成一些初等方阵的乘积，从而也不能表示成一些初等方阵的乘积，即不可逆，矛盾，因此可逆同理，也可逆6. 设满足，证明： (1)和都可逆； (2)和不能同时可逆证明：(1) 由，得， 由可逆定义，和都可逆2) 由，得若和同时可逆，则，矛盾，从而，和不能同时可逆7. 设可逆，证明：为上（下）三角矩阵充分必要条件为为上（下）三角矩阵，并且与对角线上对应元素互为倒数。

证明：因为，所以充分性与必要性等价下证必要性由可逆，得因为，由第行得，由第行得，类似地，可得 ，即也为上三角矩阵，且与对角线上对应元素互为倒数8. 解矩阵方程解：记方程为，则，；，；故9. 设都可逆，证明下列矩阵都可逆，并求其逆矩阵 (1)； (2)证明：(1) 令，即，得，由于都可逆，从而，故2) 令，即，得，从而，故10. 设方阵可逆，并且每行元素之和都等于常数，证明：(1)；(2)的每行元素之和都等于常数证明：(1)设，根据题意，的第1列元素均为若，则不可逆，而及均可逆，矛盾，故 (2)显然，，又可逆，而，得，即的每行元素之和都等于常数习题3.11. 设，求2. 设向量。