专题01 空间向量与立体几何(解析版).docx

专题01空间向量与立体几何(知识梳理)一、知识储备1、空间向量的坐标运算：设a = (x ,y ,z ), b = (x ,y ,z )111 2 2 2(i)a 土 b =(叫 土 x2，刀 土 y2,£ ± z丿1 2 1 2 1 2⑵九 a = (Ax/ 隔)；—K —H(3)a-b = xx + y y + zz1 2 1 2 1 2⑷ a // bo a =九 b o x = Ax， y = Ay ，z = Az( a g R)12 12 12hi ■ n(5)a 丄 b o a - b = 0 o x x + y y + z z = 01 2 1 2 1 2(6)模长公式：若a = ( y1, Z/ ，则 I a 1= Ua - a = jx2 + y 2 + zja - b x x + y y + z z(7)夹角公式：cos < a,b >= = 1 2 〜I a I -1 b I X(x 2 + y 2 + z 2』x 2 + y 2 + z 2' 1 1 八2 2 2⑻两点间的距离公式:若 A(x ,y ,z )，B(x ,y ,z )，贝y： I AB I= x AB2 = *(x - x )2 + (y - y )2 + (z 一 z )2111 222 1 2 1 2 1 2 12、平面的法向量(1) 定义：如图，直线l丄a，取直线l的方向向量a,贝y向量a叫做平面a的法向量。

给定一点A和一个向量a，那么过点A，以向量a为法向量的平面是完全确定的2) 平面法向量的求法：求平面法向量的步骤：①设出平面的法向量为n = (x, y, z)② 找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标a = (x ,y ,z ) b = (x ,y ,z )111 2 2 2J fn - a = 0③ 根据法向量的定义建立关于x、y、z的方程组一 ；n - b = 0④解方程组，取其中的一组解，即得法向量由于一个平面的法向量有无数个，故可以在代入方程组的解 中取一个最简单的作为平面的法向量3、平行与垂直的向量表示设直线l、m的方向向量分别为a、b，平面a、卩的法向量分别为u、v，则由直线、平面的位置 关系以及直线的方向向量和平面的法向量，可以归纳出以下结论：tMB + f Ml K Mll // m o a // b o a = k - b， k g R ； l 丄 m o a 丄 b o a - b = 0—¥ —F- ―P —F- —F- ―P —P- —P-l // a o a 丄 u o a - u = 0 ； l 丄 a o a // u o a = k - u，k g R3、根据线线、线面、面面平行或垂直列式计算。

4、证出结论二、模板解决步骤1、选点建立空间直角坐标系，并把相应的点用坐标的形式表示出来2、把证明线线、线面、面面平行或垂直的相关向量用坐标表示出来三、母题呈现1例1•如图所示，四棱柱^CD- A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，0为底面中心，AO丄平面ABCD，AB = AA = ■ 2证明：1⑴AC丄平面BBDD1 1 1(2)求平面OCB与平面BBDD的夹角0的大小1 1 1第二步：用坐标表示向量ACBD，BB1 1第三步：由 AC • bD = 0， AC • BB = 0 a1 1 1第四步：由AC丄BD，AC丄BB a AC1 1 1模板引入：第一步：以O为原点建立空间直角坐标系;AC 丄 BD，AC 丄 BB1 1'丄平面BB DD1 1 1【解析】•・• OA、OB、OA］两两垂直，以0为原点建立空间直角坐标系，(1)丁 AB = AA =「2，.: OA = OB = 0A = 11 1・•・ A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(-1,0,0)，D(0,-1,0)，^(0,0」)，由AB = AB 易得B (-1,0,1)1 1 1AC 丄 BB1 1.•・AC丄平面BBDD1 1 1・•・ A1C = (-1,0,-1)，bD = (0,-2,0)，BB = (-1,0,1) ・•・AC・BD = 0，AC・BB = 0 ,・•・ AC丄BD1 1 1 1又BD ABB = B，且BD，BB u平面BBDD1 1 11(2)容易求得平面OCB】的一个法向量为n = (0,1,-1)，平面BBDD的一个法向量为m = (1,0,1)・ n 1所求夹角余弦值为cos v m, n >= =-2。

所求夹角的大小为60I m I ・ I n I 2四、解题思路方法总结1、平行问题的空间向量证明方法(1) 证明空间两直线平行，可先转换为空间两向量共线，即只需证明表示两条直线的向量满足实数倍数关系,如证明AB//CD，只需证明AB =九CD(2) 证明线面平行有两种思路：① 用共面向量定理，证明直线的方向向量能用平面内两条相交直线的方向向量表示出来，即这三个向量共 线，根据共面向量概念和直线在平面外，可得线面平行；② 求出平面法向量，然后证明法向量与直线的方向向量垂直即可对于探索性问题，通常先假设成立，设 出相关点的坐标，利用相关知识，列出关于坐标的方程，若方程有解，则存在，否则不存在注意：设点的坐标时，利用点在某线段上，设出点分线段所成的比，用比表示坐标可以减少未知量，简化 计算；注意点的坐标的范围⑶证明面面平行有两种思路：① 利用向量证明一平面内两条相交直线平行于另一个平面内的两条相交直线即可，根据面面判定定理即得, 也就是将其转化为证明线线平行的问题② 求出两个平面的法向量，证明这两个法向量平行，则这两个面就平行3) 遇到中点问题常做中位线，用中位线定理解题，也是几何中的常用方法。

练习1-1.在三棱柱A^C一 ABC中，侧棱垂直于底面，在底面ABC中^ABC = 90，D是BC上一 1111 1 1 11【解析】如图，以〃点为原点建立坐标系,点，且AB〃面AC D， D为B C的中点，求证：平面A B^D //平面AC D1设 AB = a， BC = 2b， BB = c1则 A(a,0,0)，C(0,2b,c)，B】(0,0,c)，A^(a,0,c).•・ D(0,b,c)，设D(0,y ,0)(0 < y < 2b)， :、AD = (一a,y ,0)，AC = (一a,2b,c)BA] = (a,0,c)， BD^ = (0,b,c)设面AC D的法向量为m = (x ,y ,z )1 111则m-AD = -ax + y y = 0且m-AC =-ax + 2by + cz = 01 0 1 1 1 11ay - 2ab — / ay - 2ab取 y = a，则 x = y，z = 0 ，则 m = (y ,a, 01 1 0 1 c 0 c又 T A B 〃 面 AC D，.: m - A B = ay + c x 蛍—2ab = 01 1 1 0 c^ab解得 y0 = b，： m =(必，-c)，设面 A1BD1 的法向量为” =(x2,y2,z2)则 n - AB = ax + cz = 0 且 n - BD = by + cz = 01 22 122c c取z = 1，则x =--，y =-2 2 a 2 bc c c —则 n = (- ，一 ,1) ,.•・ n = - m m 〃na b ab.•・平面ABD 〃平面AC D1 1 12、垂直问题的证明方法 (1)证明线线垂直，可以转化为对应的向量垂直，即证明所证直线的方向向量的数量积为0 ,如证明AB丄CD，只需证明AB • CD = 0(2)证明线面垂直有两种思路：①先求出平面的法向量和直线的方向向量，证明平面法向量与直线的方向向量平行。

②直接用向量法证明直线与平面内两条相交直线垂直，再用线面垂直判定定理证明3) 证明面面垂直问，先求出两个平面的法向量，通过证明这两个平面的法向量垂直，来证面面垂直B练习1-2.在直二面角D - AB - E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE = EB，F为CE上的 点，且BF丄平面ACE1) 求证：AE丄平面BCE ；(2) 求证：平面BDF丄平面ABCD解析】•・• ABCD为正方形，・•・BC丄AB• •二面角D 一 AB 一 E为直二面角，・•・BC丄面AEB以线段AB的中点为原点0， OE所在直线为x轴， AB所在直线为y轴，过0点平行于AD的直线为z轴,如图，建立空间直角坐标系O - xyz则 A(0,-1,0)，B(0,1,0)，C(0,1,2)，D(0,-1,2)，设E(x ,0,0)(x > x > 0)，0 0 0•・• F 为CE 上的点，EC = (-x ,1,2)0.•.设 eF =九 EC = (_Ax ,九 2九)，・•・ F ((1 -九)x ,九,2九)0 0・•・ BF = ((1 一入)x ,九一 1,2九),AC = (0,2,2), AE = (x ,1,0)0 0•・• BF丄平面ACE ,.・・ BF • AC = 2(九一 1) + 4九=0且 BF • AE = (1 一九)x2 + 入一 1 = 00解得x0 =1，入=3，・ E(1，0,0)， F(3,3,3)'(1) AE = (1J,0)，BE = (-1,1,0) ,・•・ AE • BE = 0 AE 丄 BEBC 丄平面 AEB , :. BC 丄 AE , :. AE 丄平面 BCE⑵面abcd的法向量为OE = (1,0,0)，设面BDF的法向量为m = (x,y,z)BF =(3，-2,2), bD=(0,-2,-2):、m - BF = 3 x 一 — y + — z = 0 且 m - BD = -2 y + 2z = 03 3 3:.平面BDF丄平面ABCD4 ■ .取 z = 1，则 y = 1, x = 0，.: m = (0,1,1)，.: m • OE = 0用向量法求空间距离一、知识储备I21、两点间的距离的求法：A、B两点间的距离为IAB 1=1 AB 1= AB22、点线距离的求法：如图1,在直线l上任取一点B，取直线l的一个方向向量e，则点A到l的距离为I AB I - sin < AB, e〉3、点面距离的求法：如图2,设"是平面a的一个法向量，AB是平面a的一条斜线，则点B到平面a的距离为罟4、两异面直线距离的求法：如图3,设〔、Z2是两异面直线，“是〔与Z2公垂线AB的方向向量，又CD分别是l1、12上的任意两点，则11l的距离是d =I AB 1=2 I n I5、两平行平面间距离的求法：把求两平行平面间的距离转化为求点面距离。

二、模板解决步骤1、 建立空间直角坐标系，将题目中给出的条件用坐标表示出来，并求出该平面的一个法向量2、 找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量3、求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离 线面距离、面面距离均可转化为点面距离，用求点面距离的方法进行求解三、母题呈现例 2.如图，在四棱锥 P -。