刚体定轴转动定律.ppt

复复   习习质点的角动量质点的角动量力矩力矩角动量定理角动量定理角动量守恒定律角动量守恒定律本章主要内容本章主要内容1 1 刚体的运动刚体的运动2 2 刚体的角动量刚体的角动量3 3 刚体受到的力矩刚体受到的力矩4 4 刚体定轴转动定律刚体定轴转动定律5 5 刚体的动能定理刚体的动能定理6 6 刚体的角动量守恒定律刚体的角动量守恒定律6.1 6.1 刚体的运动与描述刚体的运动与描述        质点的运动只代表物体的平动，物体实际上是质点的运动只代表物体的平动，物体实际上是有形状、大小的，它可以平动、转动，甚至更复杂有形状、大小的，它可以平动、转动，甚至更复杂的运动因此，对于机械运动的研究，只限于质点的运动因此，对于机械运动的研究，只限于质点的情况是不够的的情况是不够的         刚体是一种特殊的质点系，无论在多大外力作刚体是一种特殊的质点系，无论在多大外力作用下，系统内任意两质点间的距离始终保持不变用下，系统内任意两质点间的距离始终保持不变即物体的形状、大小都不变的固体称为刚体（即物体的形状、大小都不变的固体称为刚体（rigid body ）         刚体考虑了物体的形状和大小，但不考虑它的刚体考虑了物体的形状和大小，但不考虑它的形变，刚体同质点一样，也是一个理想化模型。

形变，刚体同质点一样，也是一个理想化模型一、刚体的运动一、刚体的运动        固联在刚体上的任一固联在刚体上的任一条直线，在各个时刻的位条直线，在各个时刻的位置始终保持彼此平行的运置始终保持彼此平行的运动，叫做刚体的平动动，叫做刚体的平动 1.平动平动        刚才的动画演示了一个圆柱体的平动在运动过刚才的动画演示了一个圆柱体的平动在运动过程中，我们看到，刚体中所有质点的位移都是相同的程中，我们看到，刚体中所有质点的位移都是相同的        而且在任何时刻，各个质点的速度和加速度也而且在任何时刻，各个质点的速度和加速度也都相同这时我们可以选取刚体上任一点的运动来都相同这时我们可以选取刚体上任一点的运动来代表刚体的运动代表刚体的运动 2.转动转动        如果刚体上所有各点绕同如果刚体上所有各点绕同一直线（转轴）作圆周运动，一直线（转轴）作圆周运动，则称为刚体的转动则称为刚体的转动        转动时，轴外各转动时，轴外各点在同一时间间隔内点在同一时间间隔内走过的弧长虽然不一走过的弧长虽然不一样，但角位移全同样，但角位移全同固定转轴：转轴不随时间变化固定转轴：转轴不随时间变化 ——  刚体定轴转动刚体定轴转动瞬时转轴：转轴随时间变化瞬时转轴：转轴随时间变化     ——  一般转动一般转动3.刚体的一般运动刚体的一般运动         例如，一个车轮的滚例如，一个车轮的滚动，可以分解为车轮随着动，可以分解为车轮随着转轴的平动和整个车轮绕转轴的平动和整个车轮绕转轴的转动。

转轴的转动         在研究刚体一般运动时，我们一般将它分解为在研究刚体一般运动时，我们一般将它分解为质心的平动（应用质心运动定理）和刚体绕过质心质心的平动（应用质心运动定理）和刚体绕过质心轴的转动（应用转动定律）轴的转动（应用转动定律）一个汽车轮子在一个汽车轮子在地上的滚动地上的滚动A、、B、、C、、…各点的各点的运动都不相同运动都不相同绕过o 轴的转动oABCo o轮子的平动ABCoABCoABABCCo刚体的运动＝平动＋转动刚体的运动＝平动＋转动平动：刚体上所有点运动状态都相同平动：刚体上所有点运动状态都相同转动：各质元均作圆周运动转动：各质元均作圆周运动二二. 刚体平动的描述刚体平动的描述  刚体的平动刚体的平动可用质心运动来代表整体的运动可用质心运动来代表整体的运动1质心的位矢质心的位矢设设N N个质点个质点m m1 1, ,m m2 2, ,, ,m mN N，， 对应的位矢对应的位矢定义定义：： 质心的位矢质心的位矢质心质心    重心重心2质心运动定理质心运动定理质心的速度质心的速度：：质心的加速度质心的加速度：：设设m mi i 受力受力则：则：对所有质点求和对所有质点求和：：0——  质心运动定理质心运动定理即：质心运动如同一质点，只是将质量全部集中于该点，即：质心运动如同一质点，只是将质量全部集中于该点， 所受的力是质点系受的所有外力。

所受的力是质点系受的所有外力注：注：质心上可能既无质量，又未受力质心上可能既无质量，又未受力2角位置角位置θθ角速度角速度ω角加速度角加速度α  ·pro转转动动平平面面三三. 刚体（定轴）转动的角量描述刚体（定轴）转动的角量描述6.2 6.2 刚体的定轴转动定律刚体的定轴转动定律一一. 刚体定轴转动所受力矩刚体定轴转动所受力矩 力矩力矩一般定义一般定义：：此处此处即可是对某点也可是对某轴而言即可是对某点也可是对某轴而言当刚体作定轴转动时，力矩当刚体作定轴转动时，力矩就可以用标量来表示就可以用标量来表示o o 习惯上习惯上 把定轴用把定轴用z表示表示力矩力矩表示为表示为o o .P1））  在垂直在垂直o o o o  的平面的平面内内2））  不在垂直不在垂直o o o o  的平面内的平面内o o .P对刚体绕对刚体绕o o 轴轴转转动无贡献动无贡献计算力矩时只需考虑计算力矩时只需考虑 的力矩的力矩         总可分解成两个分量总可分解成两个分量：：5合外力矩合外力矩o o 1 。

一个质点的情况一个质点的情况 法向力法向力对轴的矩为零对轴的矩为零切向力切向力对轴的矩对轴的矩二二. 刚体定轴转动定律刚体定轴转动定律见右下平面图见右下平面图（（刚体类似于多质点系刚体类似于多质点系））设某刚体绕固定轴设某刚体绕固定轴——Z Z轴转动轴转动Zmi取质量元取质量元m mi i，，其到转轴的距离其到转轴的距离 r ri i受力如图示受力如图示，，根据牛顿定律根据牛顿定律：：各质元加速度不同各质元加速度不同，，但角加速度相同但角加速度相同用用 r ri i乘以上式：乘以上式：将所有质元相加：将所有质元相加：fifj0ro2连续质量分布刚体的情况连续质量分布刚体的情况定义定义————刚体对定轴（刚体对定轴（z z 轴）的轴）的 转动惯量转动惯量则有则有——定轴转动定律定轴转动定律由由与牛顿定律比较与牛顿定律比较：：或或J mm 反映质点的平动惯性反映质点的平动惯性J 反映刚体的转动惯性反映刚体的转动惯性3理解注意理解注意是是合外力矩合外力矩        这条定律表明，刚体绕定轴转动时，它的角加这条定律表明，刚体绕定轴转动时，它的角加速度与作用于刚体上的合外力矩成正比，与刚体对速度与作用于刚体上的合外力矩成正比，与刚体对转轴的转动惯量成反比。

转轴的转动惯量成反比        内力矩成对抵消，不能改变刚体的角动量，因内力矩成对抵消，不能改变刚体的角动量，因而不能改变刚体的角速度而不能改变刚体的角速度这是角动量定理在刚体定轴转动情形下的特例这是角动量定理在刚体定轴转动情形下的特例（1）（2）（3）三三. 转动惯量及计算转动惯量及计算质量为线分布质量为线分布质量为面分布质量为面分布质量为体分布质量为体分布 、、 、、  分别为质量的线密度、面密度和体密度分别为质量的线密度、面密度和体密度线分布线分布体分布体分布面分布面分布        只有对于几何形状规则、质量连续且均匀分布的只有对于几何形状规则、质量连续且均匀分布的刚体才能用积分计算出刚体的转动惯量刚体才能用积分计算出刚体的转动惯量        如图套两个质点的细杆长如图套两个质点的细杆长l ，， 杆绕空端杆绕空端转动，分析整个系统绕转动，分析整个系统绕 o 点的转动惯量将点的转动惯量将两质点换位再作计算两质点换位再作计算解：普通物理学教案例题1 ：•J 与刚体的质量分布有关与刚体的质量分布有关•J 与转轴的位置有关与转轴的位置有关•形状和转轴确定后，形状和转轴确定后，J 与刚体与刚体的质量有关的质量有关讨论讨论影响转动惯量的因素影响转动惯量的因素        求长为求长为L、、质量为质量为 m 的均匀细棒对端点的均匀细棒对端点轴和中垂轴的转动惯量。

轴和中垂轴的转动惯量解：普通物理学教案例题2 ：ABL/2L/2Cx取如图坐标取如图坐标取质量元取质量元ABLx        求质量为求质量为m 、、半径为半径为R 的均匀圆环的转的均匀圆环的转动惯量轴与圆环平面垂直并通过圆心轴与圆环平面垂直并通过圆心解：普通物理学教案例题3 ：取质量元取质量元Odm        求质量为求质量为m 、、半径为半径为R 均匀圆盘的转动均匀圆盘的转动惯量轴与盘平面垂直并通过盘心轴与盘平面垂直并通过盘心解：普通物理学教案例题4 ：这样的一个圆盘可以视这样的一个圆盘可以视为半径不等的有宽度的为半径不等的有宽度的圆环拼接而成圆环拼接而成任取其中一环任取其中一环利用前例环的转动惯量结果利用前例环的转动惯量结果Rrdr        内半径为内半径为 R1  外半径为外半径为 R2  质量为质量为 m 的的匀质中空圆柱绕其对称轴的转动惯量匀质中空圆柱绕其对称轴的转动惯量解：普通物理学教案例题5 ：        质质量量为为m 半半径径为为R 的的匀匀质质薄薄球球壳壳绕绕过过中中心轴的转动惯量心轴的转动惯量解：普通物理学教案例题6 ：在球面取一圆环带，在球面取一圆环带，半径半径        质质量量为为m 半半径径为为R 的的匀匀质质球球体体绕绕过过球球心心轴的转动惯量。

轴的转动惯量解：普通物理学教案例题7 ：把球体看作无数个同心薄球壳的组合把球体看作无数个同心薄球壳的组合          如图所示，滑轮半径为如图所示，滑轮半径为r  （设绳与滑（设绳与滑轮间无相对滑动）轮间无相对滑动）①①若若m2与桌面间的摩擦系与桌面间的摩擦系数为数为μ，求系统的加速度，求系统的加速度a 及张力及张力 T1 与与 T2；；②②若桌面光滑，再求若桌面光滑，再求解：普通物理学教案例题8：力和力矩分析、力和力矩分析、方法方法1 1   按隔离法按隔离法建坐标建坐标限制性条件限制性条件解得：解得：若桌面光滑，摩擦力矩为零若桌面光滑，摩擦力矩为零解得：解得：再由牛顿定律可得张力再由牛顿定律可得张力这也是定轴转动定律这也是定轴转动定律(整体分析方法整体分析方法)一根一根均质细杆（均质细杆（ m 、、L ）），一端可在竖直平，一端可在竖直平面内自由转动杆最初静止在水平位置，由面内自由转动杆最初静止在水平位置，由此下摆此下摆   角求角加速度和角速度角求角加速度和角速度解：普通物理学教案例题9 ： odm∙gdm下摆过程重力下摆过程重力矩做功矩做功以杆为对象以杆为对象取质元取质元当杆处在下摆当杆处在下摆   角时角时，，该质该质量元所受重力对量元所受重力对 o 点的矩为点的矩为重力对整个棒的合力矩为：重力对整个棒的合力矩为：代入转动定律，可得：代入转动定律，可得：代入转动动能定理代入转动动能定理        匀质圆盘的质量为匀质圆盘的质量为 m，半径为，半径为 R，在水，在水平桌面上绕其中心旋转。

设圆盘与桌面之间平桌面上绕其中心旋转设圆盘与桌面之间的摩擦系数为的摩擦系数为μ，求圆盘从以角速度，求圆盘从以角速度 ω0  旋转旋转到静止需要多少时间？到静止需要多少时间？ 解：普通物理学教案例题10 ：摩擦力矩导致减速摩擦力矩导致减速盘上任取微圆环盘上任取微圆环圆环上各质点所受摩擦力矩全同，圆环上各质点所受摩擦力矩全同，取取ω0的方向为正，圆环所受力矩为的方向为正，圆环所受力矩为整个圆盘所受的力矩为整个圆盘所受的力矩为 根据转动定律，得根据转动定律，得 角加速度为常量，所以角加速度为常量，所以当圆盘停止转动时当圆盘停止转动时ω= 0，，得得。