中考函数与几何综合的压轴题.doc

中考数学压轴题大集合中考数学压轴题大集合一、函数与几何综合的压轴题1.（2004 安徽芜湖）如图①，在平面直角坐标系中，AB、CD 都垂直于 x 轴，垂足分别为 B、D 且 AD 与 B 相交于 E 点.已知：A(-2,-6),C(1,-3) (1) 求证：E 点在 y 轴上； (2) 如果有一抛物线经过 A，E，C 三点，求此抛物线方程. (3) 如果 AB 位置不变，再将 DC 水平向右移动 k(k>0)个单位，此时 AD 与 BC 相交于 E′点， 如图②，求△AE′C 的面积 S 关于 k 的函数解析式.[解] （1） （本小题介绍二种方法，供参考）方法一：过 E 作 EO′⊥x 轴，垂足 O′∴AB∥EO′∥DC∴,EODOEOBO ABDBCDDB又∵DO′+BO′=DB∴1EOEO ABDC∵AB=6，DC=3，∴EO′=2又∵，∴DOEO DBAB2316EODODBAB  ∴DO′=DO，即 O′与 O 重合，E 在 y 轴上 方法二：由 D（1，0） ，A（-2，-6） ，得 DA 直线方程：y=2x-2① 再由 B（-2，0） ，C（1，-3） ，得 BC 直线方程：y=-x-2 ②联立①②得0 2x y  ∴E 点坐标（0，-2） ，即 E 点在 y 轴上 （2）设抛物线的方程 y=ax2+bx+c(a≠0)过 A（-2，-6） ，C（1，-3）图①C（1，- 3）A （2，- 6）BDOxEy图②C（1+k，- 3）A （2，- 6）BDOxE′yE（0，-2）三点，得方程组42632abcabcc     解得 a=-1,b=0,c=-2 ∴抛物线方程 y=-x2-2 （3） （本小题给出三种方法，供参考） 由（1）当 DC 水平向右平移 k 后，过 AD 与 BC 的交点 E′作 E′F⊥x 轴垂足为 F。

同（1）可得： 得：E′F=21E FE F ABDC方法一：又∵E′F∥AB，∴E FDF ABDB1 3DFDBS△AE′C= S△ADC- S△E′DC=1112 2223DCDBDCDFDCDB==DB=3+k1 3DCDBS=3+k 为所求函数解析式 方法二：∵ BA∥DC，∴S△BCA=S△BDA∴S△AE′C= S△BDE′1132322BD E Fkk∴S=3+k 为所求函数解析式. 证法三：S△DE′C∶S△AE′C=DE′∶AE′=DC∶AB=1∶2 同理：S△DE′C∶S△DE′B=1∶2,又∵S△DE′C∶S△ABE′=DC2∶AB2=1∶4∴2213992AE CABCDSSABCDBDk梯形∴S=3+k 为所求函数解析式. 2. （2004 广东茂名）已知：如图，在直线坐标系中，以点 M（1，0）为圆心、直径 AC 为的圆与 y 轴交于 A、D 两点.22（1）求点 A 的坐标； （2）设过点 A 的直线 y＝x＋b 与 x 轴交于点 B.探究：直线 AB 是否⊙M 的切线？并对你的结 论加以证明； （3）连接 BC，记△ABC 的外接圆面积为 S1、⊙M 面积为 S2，若，抛物线421h SSy＝ax2＋bx＋c 经过 B、M 两点，且它的顶点到轴的距离为.求这条抛物线的解析式. xh[解]（1）解：由已知 AM＝，OM＝1， 2在 Rt△AOM 中，AO＝， 122OMAM∴点 A 的坐标为 A（0，1）（2）证：∵直线 y＝x＋b 过点 A（0，1）∴1＝0＋b 即 b＝1 ∴y＝x＋1 令 y＝0 则 x＝－1 ∴B（—1，0） ，AB＝2112222 AOBO在△ABM 中，AB＝，AM＝，BM＝222222224)2()2(BMAMAB∴△ABM 是直角三角形，∠BAM＝90°∴直线 AB 是⊙M 的切线（3）解法一：由⑵得∠BAC＝90°，AB＝，AC＝2， 22∴BC＝ 10)22()2(2222 ACAB∵∠BAC＝90° ∴△ABC 的外接圆的直径为 BC，∴25)210()2(22 1BCS而2)222()2(22 2ACS，421h SSQ5,4225 hh即 设经过点 B（—1，0） 、M（1，0）的抛物线的解析式为： y＝a（＋1） （x－1） ， （a≠0）即 y＝ax2－a，∴－a＝±5，∴a＝±5 ∴抛物线的解析式为 y＝5x2－5 或 y＝－5x2＋5 解法二：（接上） 求得∴h＝5 由已知所求抛物线经过点 B（—1，0） 、M（1、0） ，则抛物线的对称轴是 y 轴，由题意得抛物线的顶点坐标为（0，±5） ∴抛物线的解析式为 y＝a（x－0）2±5又 B（－1,0） 、M（1,0）在抛物线上，∴a±5＝0， a＝±5 ∴抛物线的解析式为 y＝5x2－5 或 y＝－5x2＋5 解法三：（接上）求得∴h＝5 因为抛物线的方程为 y＝ax2＋bx＋c（a≠0）由已知得 5055c0b5544002cbaaabaccbacba或 ＝－解得∴抛物线的解析式为 y＝5x2－5 或 y＝－5x2＋5. 3.(2004 湖北荆门)如图，在直角坐标系中，以点P（1，－1）为圆心，2 为半径作圆，交x 轴于ABCDxM·yA、B 两点，抛物线过点A、B，且顶点C 在⊙P 上.)0(2acbxaxy(1)求⊙P 上劣弧的长；⌒AB(2)求抛物线的解析式； (3)在抛物线上是否存在一点D，使线段OC 与PD 互相平分？若存在，求出点D 的坐标；若不存在， 请说明理由.[解] （1）如图，连结 PB，过 P 作 PM⊥x 轴，垂足为 M.在 Rt△PMB 中，PB=2,PM=1,∴∠MPB＝60°，∴∠APB＝120°的长＝ ⌒AB342180120（2）在 Rt△PMB 中，PB=2,PM=1,则 MB＝MA＝.3又 OM=1，∴A（1－，0） ，B（1＋，0） ，33由抛物线及圆的对称性得知点 C 在直线 PM 上， 则 C(1，－3). 点 A、B、C 在抛物线上，则解之得  cbacbacba3)31 ()31 (0)31 ()31 (022221cba抛物线解析式为 222xxy（3）假设存在点 D，使 OC 与 PD 互相平分，则四边形 OPCD 为平行四边形，且 PC∥OD. 又 PC∥y 轴，∴点 D 在 y 轴上，∴OD＝2，即 D（0，－2）. 又点 D（0，－2）在抛物线上，故存在点 D（0，－2） ，222xxy使线段 OC 与 PD 互相平分. 4.（2004 湖北襄樊）如图，在平面直角坐标系内，Rt△ABC 的直角顶点 C（0，）在轴的3y正半轴上，A、B 是轴上是两点，且 OA∶OB＝3∶1，以 OA、OB 为直径的圆分别交 AC 于点xE，交 BC 于点 F.直线 EF 交 OC 于点 Q. （1）求过 A、B、C 三点的抛物线的解析式； （2）请猜想：直线 EF 与两圆有怎样的位置关系？并证明你的猜想. （3）在△AOC 中，设点 M 是 AC 边上的一个动点，过 M 作 MN∥AB 交 OC 于点 N.试问：在 轴上是否存在点 P，使得△PMN 是一个以 MN 为一直角边的等腰直角三角形？若存在，求出xP 点坐标；若不存在，请说明理由.[解] (1)在 Rt△ABC 中，OC⊥AB，ABCOxy·P（1，－1 ）ABCOxyP（1，－1 ）·MAyxBEFO1QOO2CBAEFO1QOO2yx2134NMPC∴△AOC≌△COB. ∴OC2＝OA·OB.∵OA∶OB＝3∶1,C(0,),3∴2( 3)3.OB OBg∴OB＝1.∴OA＝3. ∴A(-3,0),B(1,0).设抛物线的解析式为2.yaxbxc则解之，得930, 0,3.abc abcc 3,3 23,33.abc      ∴经过 A、B、C 三点的抛物线的解析式为23233.33yxx (2)EF 与⊙O1、⊙O2都相切. 证明：连结 O1E、OE、OF. ∵∠ECF＝∠AEO＝∠BFO＝90°, ∴四边形 EOFC 为矩形. ∴QE＝QO. ∴∠1＝∠2. ∵∠3＝∠4,∠2+∠4＝90°， ∴EF 与⊙O1相切. 同理：EF 理⊙O2相切. (3)作 MP⊥OA 于 P，设 MN＝a,由题意可得 MP＝MN＝a. ∵MN∥OA, ∴△CMN∽△CAO.∴.MNCN AOCO∴3.33aa解之，得3 33. 2a此时，四边形 OPMN 是正方形.∴3 33. 2MNOP∴3 33(,0).2P考虑到四边形 PMNO 此时为正方形， ∴点 P 在原点时仍可满足△PNN 是以 MN 为一直角边的等腰直角三角形. 故轴上存在点 P 使得△PMN 是一个以 MN 为一直角边的等腰直角三角形且x或3 33(,0)2P(0,0).PXOPDCA BY由方程组y=ax2—6ax+1y= x+121得：ax2—（6a+ ）21x=05.（2004 湖北宜昌）如图，已知点 A(0，1)、C(4，3)、E(，)，P 是以 AC 为对角线的矩415 823形 ABCD 内部(不在各边上)的—个动点，点 D 在 y 轴，抛物线 y＝ax2+bx+1 以 P 为顶点．(1)说明点 A、C、E 在一条条直线上；(2)能否判断抛物线 y＝ax2+bx+1 的开口方向?请说明理由；(3)设抛物线 y＝ax2+bx+1 与 x 轴有交点 F、G(F 在 G 的左侧)，△GAO 与△FAO 的面积差为3，且这条抛物线与线段 AE 有两个不同的交点．这时能确定 a、b 的值吗?若能，请求出a、b 的值；若不能，请确定 a、b 的取值范围．(本题图形仅供分析参考用)[解] （1）由题意，A(0，1)、C(4，3)确定的解析式为：y=x+1.21将点 E 的坐标 E(，)代入 y=x+1 中，左边=，415 823 21 823右边=×+1=，21 415 823∵左边=右边，∴点 E 在直线 y=x+1 上，即点 A、C、E 在一21条直线上. （2）解法一：由于动点 P 在矩形 ABCD 内部，∴点 P 的纵坐标大于点 A 的纵坐标，而点 A 与 点 P 都在抛物线上，且 P 为顶点，∴这条抛物线有最高点，抛物线的开口向下解法二：∵抛物线 y=ax2+bx+c 的顶点 P 的纵坐标为，且 P 在矩形 ABCD 内部，∴1＜aba 442—＜3，由 1＜1—得—＞0，∴a＜0，∴抛物线的开口向下. aba 442— ab 42ab 42（3）连接 GA、FA，∵S△GAO—S△FAO=3 ∴GO·AO—FO·AO=3 21 21∵OA=1，∴GO—FO=6. 设 F（x1,0） 、G（x2,0） ，则 x1、x2为方程 ax2+bx+c=0 的两个根，且x1＜x2，又∵a＜0，∴x1·x2=＜0，∴x1＜0＜x2，a1∴GO= x2，FO= —x1，∴x2—（—x1）=6，即 x2+x1=6，∵x2+x1= — ∴—=6，ab ab∴b= —6a, ∴抛物线解析式为：y=ax2—6ax+1, 其顶点 P 的坐标为 （3，1—9a）, ∵顶点 P 在矩形 ABCD 内部， ∴1＜1—9a＜3, ∴—＜a＜0. 92∴x=0 或 x==6+.aa216 a21当 x=0 时，即抛物线与线段 AE 交于点 A，而这条抛物线与线段 AE 有两个不同的交点，则有：0＜6+≤，解得：—≤a＜—a21 415 92 121。