【教学随笔】圆锥曲线弦线问题的破解策略.doc

金太阳新课标资源网 圆锥曲线“弦线”问题及破解策略圆锥曲线中的“弦线”问题既很普遍又很复杂，说普遍是因其很常见，说复杂是因其运算较大较烦．因此在复习这部分内容时，不仅要巩固知识深化方法，而且更重要的是一定要熟悉几种“弦线”问题的类型及破解策略．1． 定长弦——主用弦长公式OFxyPMH例1如图，F为双曲线C：的右焦点．P为双曲线C右支上一点，且位于轴上方，M为左准线上一点，为坐标原点．已知四边形为平行四边形，．（1）写出双曲线C的离心率与的关系式；（2）当时，经过焦点F且平行于OP的直线交双曲线于A、B点，若，求此时的双曲线方程．解析：此题第二问是典型的“定长弦”问题，可借助弦长公式，先导相关的一元二次方程，利用韦达定理即可得出所求．（1）∵四边形是平行四边形，∴，作双曲线的右准线交PM于H，则，又，．（2）当时，，，，双曲线为，此时，所以直线OP的斜率为，则直线AB的方程为，代入到双曲线方程得：．设，则，．又，则由弦长公式得：，解得，∴．则所求方程为．2． 定点弦——主用定比分点公式例2双曲线C与椭圆有相同的焦点，直线y=为C的一条渐近线．（1）求双曲线C的方程；（2）过点P(0,4)的直线，交双曲线C于A,B两点，交x轴于Q点（Q点与C的顶点不重合）．当，且时，求Q点的坐标．解析：此题第二问是过定点的弦线问题，一般来讲，过定点的弦线问题大都可用定比分点公式加以解决．（1）设双曲线方程为．由椭圆求得两焦点为．对于双曲线．又为双曲线的一条渐近线，，解得，双曲线的方程为：．（2）由题意知直线的斜率存在且不等于零，所以设的方程：，则，，分的比为．由定比分点坐标公式得：．在双曲线上，，整理得．同理有：．若，则直线过顶点，不合题意，．是二次方程的两根，，，此时，．所求的坐标为．3． 焦点弦——主用圆锥曲线统一定义例3已知椭圆，抛物线，且的公共弦过椭圆的右焦点．（1）当轴时，求的值，并判断抛物线的焦点是否在直线上；（2）是否存在的值，使抛物线的焦点恰在直线上？若存在，求出符合条件的的值，若不存在，请说明理由．解析：此题题设条件给出焦点弦，为简化运算，焦点弦问题最好用圆锥曲线的统一定义，这比直接利用弦长公式省事．ABOyx（1）当轴时，点关于轴对称，所以，直线的方程为，从而点的坐标为或．因为点在抛物线上，所以，即．此时的焦点坐标为，该焦点不在直线上．（2）假设存在的值使的焦点恰在直线上，由（I）知直线的斜率存在，故可设直线的方程为．由消去得． 　……①设的坐标分别为，则是方程①的两根，．由消去得．　　　　　……②因为的焦点在上，所以，即．代入②有．即．　　　　　　　　　　　……③由于也是方程③的两根，所以．从而．　　　　……④又过的焦点，所以，则．　　　　　……⑤由④，⑤得，即，解得，于是，．因为的焦点在直线上，所以．即或．由上知，满足条件的存在，且或，．4． 中点弦——主用中点坐标公式例4椭圆：的两个焦点为，点在椭圆上，且，．（1）求椭圆的方程；（2）若直线过圆的圆心，交椭圆于两点，且关于点对称，求直线的方程．解析：中点弦也是很常见的，一般来讲，遇到中点弦基本都得用到中点坐标公式．（1）因为点在椭圆上，所以．在中，，故椭圆的半焦距，从而，所以椭圆的方程为．（2）设的坐标分别为．已知圆的方程为，所以圆心的坐标为，从而可设直线的方程为，代入椭圆的方程得．因为关于点对称，所以，解得，所以直线的方程为，即．第 1 页 共 5 页 金太阳新课标资源网 。