(完整版)高考不等式知识点总结.pdf

1 第三章：不等式1、不等式的基本性质（对称性）abba（传递性）,ab bcac（可加性）abacbc（同向可加 性）dbcadcba,（异向可减 性）dbcadcba,（可积性）bcaccba0,bcaccba0,（同向正数 可乘性）0,0abcdacbd（异向正数 可除性）0,0ababcdcd（平方法则）0(,1)nnababnNn且（开方法则）0(,1)nnabab nNn且（倒数法则）babababa110;1102、几个重要不等式222abab abR，, （当且仅当ab时取号） . 变形公式：22.2abab（基本不等式）2abababR，,（当且仅当ab时取到等号）. 变形公式：2abab2.2abab用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”.（三个正数的算术几何平均不等式）33abcabc()abcR、 、（当且仅当abc时取到等号） .222abcabbcca abR，（当且仅当abc时取到等号） . 3333(0,0,0)abcabc abc（当且仅当abc时取到等号） . 0,2baabab若则（当仅当 a=b 时取等号）0,2baabab若则（当仅当 a=b 时取等号）banbnamambab1其中(000)abmn，规律：小于1 同加则变大，大于1 同加则变小 .220;axaxaxaxa当时，或22.xaxaaxa绝对值三角不等式.ababab3、几个著名不等式平均不等式：2211222abababababR，,（当且仅当ab时取号） .（即调和平均几何平均算术平均平方平均） .变形公式：222;22ababab222().2abab幂平均不等式：222212121.(.) .nnaaaaaan二维形式的三角不等式：22222211221212()()xyxyxxyy1122(,).xy xyR2 二维形式的柯西不等式22222()()() ( , , ,).abcdacbda b c dR当且仅当adbc时，等号成立 . 三维形式的柯西不等式：22222221231231 12233()()() .aaabbba ba ba b一般形式的柯西不等式：2222221212(.)(.)nnaaabbb21 122(.) .nnaba ba b向量形式的柯西不等式：设,u r u r是两个向量，则,u r u ru r u r当且仅当u r是零向量，或存在实数k，使ku ru r时，等号成立 .排序不等式（排序原理）：设1212.,.nnaaabbb为两组实数 .12,.,nc cc是12,.,nb bb的任一排列，则12111 122.nnnnna ba ba ba ca ca c1 122.nna ba ba b（ 反序和乱序和顺序和 ）当且仅当12.naaa或12.nbbb时，反序和等于顺序和. 琴生不等式: （特例 : 凸函数、凹函数）若定义在某区间上的函数( )f x, 对于定义域中任意两点1212,(),x xxx有12121212()()()()()().2222xxf xf xxxf xf xff或则称 f(x)为凸（或凹）函数. 4、不等式证明的几种常用方法常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法；其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法 等. 常见不等式的放缩方法：舍去或加上一些项，如22131()() ;242aa将分子或分母放大（缩小），如211,(1)kk k211,(1)kk k2212(),21kkkkkk*12(,1)1kNkkkk等 . 5、一元二次不等式的解法求一元二次不等式20(0)axbxc或2(0,40)abac解集的步骤：一化：化二次项前的系数为正数. 二判：判断对应方程的根. 三求：求对应方程的根.四画：画出对应函数的图象 . 五解集：根据图象写出不等式的解集. 规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边. 6、高次不等式的解法：穿根法 . 分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿（奇穿偶切 ） ，结合原式不等号的方向，写出不等式的解集. 7、分式不等式的解法：先移项通分 标准化，则( )0( )( )0( )( )( )0( )0( )0( )f xf xg xg xf xg xf xg xg x（“或”时同理）规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解. 8、无理不等式的解法：转化为有理不等式求解3 2( )0( )(0)( )f xf xa af xa2( )0( )(0)( )f xf xa af xa2( )0( )0( )( )( )0( )0( ) ( )f xf xf xg xg xg xf xg x或2( )0( )( )( )0( )( )f xfxg xg xf xg x( )0( )( )( )0( )( )f xf xg xg xf xg x规律：把无理不等式等价转化为有理不等式，诀窍在于从“小”的一边分析求解. 9、指数不等式的解法：当1a时,( )( )( )( )fxg xaaf xg x当01a时, ( )( )( )( )fxg xaaf xg x规律：根据指数函数的性质转化.10、对数不等式的解法当1a时, ( )0log( )log( )( )0( )( )aaf xf xg xg xf xg x当01a时, ( )0log( )log( )( )0.( )( )aaf xf xg xg xf xg x规律：根据对数函数的性质转化.11、含绝对值不等式的解法：定义法：(0).(0)aaaaa平方法：22( )( )( )( ).f xg xfxgx同解变形法，其同解定理有：(0);xaaxa a(0);xaxaxa a或( )( )( )( )( ) ( ( )0)f xg xg xf xg xg x( )( )( )( )( )( ) ( )0)f xg xf xg xf xg xg x或规律：关键是去掉绝对值的符号.12、含有两个（或两个以上）绝对值的不等式的解法：规律：找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中取交集，最后取各段的并集. 13、含参数的不等式的解法解形如20axbxc且含参数的不等式时，要对参数进行分类讨论，分类讨论的标准有：讨论a与 0 的大小；讨论与 0 的大小；讨论两根的大小. 14、恒成立问题不等式20axbxc的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：当0a时0,0;bc当0a时00.a不等式20axbxc的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：当0a时0,0;bc当0a时00.a( )f xa恒成立max( );f xa( )f xa恒成立max( );f xa4 ( )f xa恒成立min( );f xa( )f xa恒成立min( ).f xa15、线性规划问题二元一次不等式所表示的平面区域的判断：法一：取点定域法： 由于直线0AxByC的同一侧的所有点的坐标代入AxByC后所得的实数的符号相同.所以，在实际判断时，往往只需在直线某一侧任取一特殊点00(,)xy（如原点），由00AxByC的正负即可判断出0AxByC(或0)表示直线哪一侧的平面区域.即：直线定边界，分清虚实；选点定区域，常选原点. 法二： 根据0AxByC(或0)，观察B的符号与不等式开口的符号，若同号，0AxByC(或0)表示直线上方的区域；若异号，则表示直线上方的区域. 即：同号上方，异号下方.二元一次不等式组所表示的平面区域：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分 . 利用线性规划求目标函数zAxBy (,A B为常数）的最值：法一：角点法：如果目标函数zAxBy（xy、即为公共区域中点的横坐标和纵坐标）的最值存在，则这些最值都在该公共区域的边界角点处取得，将这些角点的坐标代入目标函数，得到一组对应z值，最大的那个数为目标函数z的最大值，最小的那个数为目标函数z的最小值法二：画移定求：第一步， 在平面直角坐标系中画出可行域；第二步， 作直线0:0lAxBy，平移直线0l（据可行域，将直线0l平行移动）确定最优解；第三步，求出最优解( ,)x y；第四步，将最优解( ,)x y代入目标函数zAxBy即可求出最大值或最小值 . 第二步中 最优解的确定方法：利用z的几何意义：AzyxBB,zB为直线的纵截距.若0,B则使目标函数zAxBy所表示直线的纵截距最大的角点处，z取得最大值，使直线的纵截距最小的角点处，z取得最小值；若0,B则使目标函数zAxBy所表示直线的纵截距最大的角点处，z取得最小值，使直线的纵截距最小的角点处，z取得最大值 . 常见的目标函数的类型：“截距”型：;zAxBy“斜率”型：yzx或;ybzxa“距离”型：22zxy或22;zxy22()()zxayb或22()() .zxayb在求该 “三型” 的目标函数的最值时，可结合线性规划与代数式的几何意义 求解，从而使问题简单化. 5 35. 利用均值不等式：abab abRabababab222222，；求最值时，你是否注意到“，”且“等号成立”时的条件，积或和其中之一为定abRabab()()值？（一正、二定、三相等）注意如下结论：ababababababR22222，当且仅当时等号成立。

ababcabbcca abR222，当且仅当时取等号abcabmn000，则babmamanbnab1如：若，的最大值为xxx0234（设 yxx23422 12243当且仅当，又，时，）34023324 3xxxxymax又如：，则的最小值为xyxy2124（，最小值为）222 22 22 2221xyxy36. 不等式证明的基本方法都掌握了吗？（比较法、分析法、综合法、数学归纳法等）并注意简单放缩法的应用如：证明1121312222n（112131111212311222nnn11121213111212）nnn370.( )( )解分式不等式的一般步骤是什么？f xg xa a（移项通分，分子分母因式分解，x 的系数变为1，穿轴法解得结果 ）38. 用“穿轴法”解高次不等式“奇穿，偶切”，从最大根的右上方开始如： xxx1120236 39. 解含有参数的不等式要注意对字母参数的讨论如：对数或指数的底分或讨论aa10140. 对含有两个绝对值的不等式如何去解？（找零点，分段讨论，去掉绝对值符号，最后取各段的并集例如：解不等式 |xx311 （解集为）x x|1241.| | | | | | | | |会用不等式证明较简单的不等问题ababab如：设，实数 满足f xxxaxa( )|2131求证： f xf aa( )( )(| |)21证明：| ( )( )| |()()|f xf axxaa221313|()()|( |)| | | | |xa xaxaxa xaxaxa11111又，| | | | | | | |xaxaxa11 f xf aaa( )( )| | |2221（按不等号方向放缩）42. 不等式恒成立问题，常用的处理方式是什么？（可转化为最值问题，或“”问题）如：恒成立的最小值af xaf x( )( )af xaf x( )( )恒成立的最大值af xaf x( )( )能成立的最小值例如：对于一切实数，若恒成立，则的取值范围是xxxaa32（设，它表示数轴上到两定点和 距离之和uxx3223uaamin32555，即或者：，）xxxxa323255。