第2章2-Z域分析讲解.ppt

1第二章时域离散信号和系统的频域分析第二章时域离散信号和系统的频域分析Z Z域分析法域分析法 1.1.连续时间信号与系统：连续时间信号与系统： 信号与系统的频域分析、复频域分析信号与系统的频域分析、复频域分析傅立叶变换，拉谱拉斯变换傅立叶变换，拉谱拉斯变换 2. 2.离散时间信号与系统：离散时间信号与系统： Z Z变换，傅立叶变换变换，傅立叶变换引入引入Z Z变换的意义变换的意义21. Z变换的定义 一个离散序列x(n)的Z变换定义为 1.1 序列的 Z 变 换 z是一个复变量，它所在的复平面称为Z平面单边Z变换的定义： 本书中均用双边变换对信号进行分析和变换例：例：级数形式对应不同序列在工程中，人们对右序列感兴趣3只有当的幂级数收敛时，Z变换才有意义 2. Z变换的收敛域与零极点一般收敛域用环状域表示，即Rx-|z|Rx+收敛域：对任意x(n)，使其Z变换收敛的所有z值的集合 常用的Z变换是一个有理函数：X(z)的零点：P(z)的根， X(z)的极点：Q(z)的根收敛域中没有极点， 收敛域总是用极点限定其边界 4Z平面上收敛域的位置和序列有着密切的关系： （1）有限长序列有时将开域(0, )称为“有限Z平面”。

其Z变换为 其收敛情况 5 （2）右边序列：右边序列是指x(n)只在nn1时有值 则右边序列Z变换的收敛域为Rx-|z|u 因果序列Z变换收敛域包括|z|=是因果序列的特征 6 （3） 左边序列: 左边序列是指在nn2时x(n)有值如果n20，收敛域应包括z=0，即 |z|Rx+ 左边序列Z变换的收敛域为 7（4） 双边序列： 一个双边序列可看作一个右边序列和一个左边序列之和如果Rx-Rx+，则存在公共收敛区域：Rx-|z|Rx-;收敛域为|z|a| 无穷项等比级数求和解 这是一个因果序列，其Z变换为 结论：右边序列的Z变换如果有N个有限极点z1,z2,zN， 那么收敛域一定在模最大的极点所在的圆外另外，由于X(z)只在z=a处有一极点，整个收敛域应该在极点所在的圆内 10 例 x(n)=-anu(-n-1), 求其Z变换及收敛域此等比级数在|a-1z|1，即|z|a|收敛另外，由于函数 只在z=a处有一极点，整个收敛域应该在极点所在的圆内 解 这是一个左边序列其Z变换为 11 对于左边序列，如果序列Z变换有N个有限极点z1, z2, , zN，那么收敛域一定在模最小的极点所在的圆内结论：一个左边序列与一个右边序列的变换表达式是完全一样的。

所以，只给出Z变换的闭合表达式不能正确得到原序列，需要已知收敛域1213 例 x(n)=a|n|, a为实数，求其Z变换及收敛域 解 这是一个双边序列，其Z变换为 若|a|1，则存在公共收敛域 若|a|1，则无公共收敛域,序列两端都发散14表 几种序列的Z变换 15表 几种序列的Z变换 161.2 Z变换的性质 1. 线性Z变换是一种线性变换，它满足叠加原理，即若有: Zx(n)=X(z) Rx-|z|R x+Zy(n)=Y(z) Ry-|z|Ry+Zax(n)+by(n)=aX(z)+bY(z) -|z|R+2. 序列卷积（卷积定理）173. 序列的移位 位移m可以为正（右移）也可以为负（左移） 18例 设x(n)=anu(n), h(n)=bnu(n)-abn-1u(n-1)求y(n)=x(n) * h(n) 解 所以 194. 初值定理对于因果序列x(n)，有 5. 终值定理 设x(n)为因果序列，且X(z)=Zx(n)的极点，除有一个一阶极点可以在z=1上，其余都在单位圆内，则 206. 乘以指数序列（Z域尺度变换） 7. X(z)的微分 8. 复序列的共轭 2110. 序列乘积（复卷积定理） 若 9. 翻褶序列 22Z变换的主要性质 231.3 Z反变换 已知函数X(z)及其收敛域，求序列的变换称为Z反变换，x(n)=Z-1X(z)则 若 常用方法有三种：留数法,部分分式展开法和幂级数展开法。

24 1. 围线积分法（留数法）根据留数定理，若函数F(z)=X(z)zn-1在围线c以内有K个极点zk，则有 ResX(z)zn-1, zk表示函数F(z)=X(z)zn-1在极点z=zk上的留数或在c以外有M个极点zm，且分母阶次比分子高两阶以上：25设zr是X(z)zn-1的单一（一阶）极点，则有 如果zr是X(z)zn-1的多重极点，如l阶极点，则有 对多阶极点不作要求 26例 已知 求Z反变换 解 围线c以内包含单阶极点a当n0时，在z=0处有一个n阶极点而在围线c外无极点；27同一个X(z)， 若收敛域不同，则对应的序列就完全不同28例 设 求Z反变换 解 X(z)有两个极点，d1=2 和d2=0.5，极点全部是一阶的求得系数为: 2. 部分分式展开法29 2. 部分分式展开法 在实际应用中，一般X(z) 可表示成X(z)=P(z)/Q(z)如果MN， 且所有极点都是一阶的利用留数定理求得 Matlab求解30 部分分式法的Matlab求解 MATLAB中的极点留数计算函数residuez，基本调用格式为： r, p, C=residuez(b, a)其中，b和a为分子和分母的系数向量，p为分母的根向量，也就是X(z)的极点向量；r为对应于根向量中各个根的留数向量C当NM是有用31计算下式的反变换r,p,C=residuez(b,a)先用函数poly求出分母多项式的系数b=1; a=poly(0.9,0.9,-0.7);r = 0.2461; 0.5625; 0.1914p = 0.9000; 0.9000; -0.7000C = 323. 幂级数展开法（长除法）当X(z)是exp，log, sin等函数时，有已知的幂级数；当X(z)是一个有理分式， 分子分母都是z的多项式时，用分子多项式除以分母多项式得到幂级数展开式。

只要在给定的收敛域内，把X(z)展成幂级数例 若 X(z) 收敛域在极点所在圆以外，序列应该是因果序列，把X(z)展成z的负幂级数，分子分母按 的降幂排列，然后长除求Z反变换33所以 则 2007-934若 X(z)为 序列是左边序列，分子分母按 的升幂排列，然后长除有： 35长除法既可展成升幂级数也可展成降幂级数，这完全取决于收敛域所以在进行长除以前，一定要先根据收敛域确定是左边序列还是右边序列 如果收敛域是|z|1/2 该收敛域又包括单位圆， 所以系统也是稳定的 46系统的频率响应为 对单频输入信号，可得输出响应为 47关于求差分方程的暂态解 设x(n)是因果序列，求输入要用单边Z变换 因此 暂态解 y(-1)=2 移位序列的单边z变换： 48一个N阶的系统函数H(z)完全可以用它在Z平面上的零、极点确定由于H(z)在单位圆上的Z变换即是系统的频率响应，因此系统的频率响应也完全可以由H(z)的零、极点确定频率响应的几何确定法实际上就是利用H(z)在Z平面上的零、极点，采用几何方法直观、定性地求出系统的频率响应1.5.4 频率响应的几何确定法49系统的频率响应为 在Z平面上，ej-ck可以用一根由零点ck指向单位圆上ej点的向量Ck来表示Ck=ej-ck同样，ej-dk可以由极点dk指向单位圆上ej的向量Dk来表示Dk=ej-dk505152n n几点说明几点说明(1)(1)零点位置影响凹谷点的位置与深度零点位置影响凹谷点的位置与深度 零点位于单位圆上时，谷点为零。

零点位于单位圆上时，谷点为零 零点趋向单位圆，谷点趋向零零点趋向单位圆，谷点趋向零2)(2)极点位置影响峰值点的位置与深度极点位置影响峰值点的位置与深度 极点在圆外，系统不稳定极点在圆外，系统不稳定53设系统的差分方程为 这是M-1个单元延时及M个抽头相加所组成的电路，常称之为横向滤波器试求其频率响应 单位脉冲响应 54零点：满足zM-1=0, 即 极点： 在z=0处有(M-1)阶极点；与零点相消整个函数有(M-1)个零点5556不同的极点位置所对应的脉冲响应。