九年级数学上册《第4章图形的相似单元测试》分项练习真题【解析版】 (2).pdf

1【解析版】专题 4.10 第 4 章 图形的相似单元测试(培优卷)姓名:__________________ 班级:______________ 得分:_________________注意事项:本试卷满分 120 分,试题共 26 题．答卷前,考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、选择题一、选择题( (本大题共本大题共 1010 小题小题, ,每小题每小题 3 3 分分, ,共共 3030 分分) )在每小题所给出的四个选项中在每小题所给出的四个选项中, ,只有一项是符合题目只有一项是符合题目要求的．要求的． 1．(2019 秋•海曙区期末)若,则等于(　　)A．B．C．D．【分析】直接利用已知得出ab,进而代入原式求出答案．【解析】∵,∴ab,则．故选:A．2．(2019 秋•禅城区期末)已知两个相似三角形的相似比为 4:9,则这两个三角形的对应高的比为(　　)A．2:3B．4:9C．16:81D．9:4【分析】直接利用相似三角形的性质求解．【解析】因为两个相似三角形的相似比为 4:9,所以则这两个三角形的对应高的比为 4:9．故选:B．3．(2020•拱墅区校级一模)如图,已知一组平行线a∥b∥c,被直线m、n所截,交点分别为A、B、C和D、E、F,且AB＝3,BC＝4,EF＝4.8,则DE＝(　　)2A．7.2B．6.4C．3.6D．2.4【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式,代入计算得到答案．【解析】∵a∥b∥c,∴,即,解得,DE＝3.6,故选:C．4．(2020•营口)如图,在△ABC中,DE∥AB,且,则的值为(　　)A．B．C．D．【分析】平行于三角形一边的直线截其他两边所得的对应线段成比例,据此可得结论．【解析】∵DE∥AB,∴,∴的值为 ,故选:A．5．(2018 秋•象山县期末)如图,矩形ABCD∽矩形DEFC,且面积比为 4:1,则AE:ED的值为(　　)3A．4:1B．3:1C．2:1D．3:2【分析】由相似多边形的性质知AB:DE＝2:1,据此设AE＝x,DE＝a,则DC＝AB＝2a,根据面积比得出,整理可得答案．【解析】∵矩形ABCD∽矩形DEFC,且面积比为 4:1,∴AB:DE＝2:1,∴设AE＝x,DE＝a,∴DC＝AB＝2a,则,整理,得:x＝3a,则3,即AE:ED＝3:1,故选:B．6．(2019 秋•花都区期末)如图,点O是五边形ABCDE和五边形A1B1C1D1E1的位似中心,若OA:OA1＝1:3,则五边形ABCDE和五边形A1B1C1D1E1的面积比是(　　)A．1:2B．1:3C．1:4D．1:9【分析】由点O是五边形ABCDE和五边形A1B1C1D1E1的位似中心,OA:OA1＝1:3,可得位似比为:1:3,根据相似图形的面积比等于相似比的平方,即可求得答案．【解析】∵点O是五边形ABCDE和五边形A1B1C1D1E1的位似中心,OA:OA1＝1:3,4∴五边形ABCDE和五边形A1B1C1D1E1的位似比为:1:3,∴五边形ABCDE和五边形A1B1C1D1E1的面积比是:1:9．故选:D．7．在坐标系中,已知A(6,0),B(0,8),C(0,﹣2),过点C作直线L交x轴于点D,使得以点D、C、O为顶点的三角形与△AOB相似,这样的直线一共可以作(　　)条．A．3B．4C．5D．6【分析】△AOB是直角三角形,且,要使△COD与△AOB相似,则或 ,这样可以得到D点的坐标有四个,然后确定直线的条数．【解析】若△AOB∽△COD,则,∴OD,则D( ,0)或(,0)．若△AOB∽△DOC,则,∴OD,则D( ,0)或(,0)．所以可以作出四条直线．故选:B．8．已知△ABC中,∠BAC＝90°,用尺规过A作一条直线,使其将△ABC分成两个相似的三角形,其作法不正确的是(　　)A．B．C．D．【分析】根据相似三角形的判定方法即可一一判断;5【解析】A、由作图可知:∠CAD＝∠B,可以推出∠C＝∠BAD,故△CDA与△ABD相似,故本选项不符合题意;B、由作图可知:AD⊥BC,∵∠BAC＝90°,故△CAD∽△ABD,故本选项不符合题意;C、由作图可知:AD⊥BC,∵∠BAC＝90°,故△CAD∽△ABD,故本选项不符合题意;D、无法判断△CAD∽△ABD,故本选项符合题意;故选:D．9．(2020 春•工业园区期末)在同一时刻两根木竿在太阳光下的影子如图所示,其中木竿AB＝2m,它的影子BC＝1.5m,木竿PQ的影子有一部分落在了墙上,它的影子QN＝1.8m,MN＝0.8m,木竿PQ的长度为(　　)A．3mB．3.2mC．3.4mD．3.6m【分析】直接利用同一时刻物体影子与实际高度成比例,进而得出答案．【解析】连接AC,过点M作MF⊥PF,∵同一时刻物体影子与实际高度成比例,∴,解得:PF＝2.4,∴PQ＝PF+FQ＝PF+MN＝2.4+0.8＝3.2(m),故选:B．10．(2018 秋•福田区校级期中)如图,在正方形ABCD中,点E、F分别在边BC、DC上,AE、AF分别交BD于点M、N,连接CN、EN,且CN＝EN．下列结论:①AN＝EN,AN⊥EN;②BE+DF＝EF;③;④图中只有 4 对相似三角形,其中正确结论的个数是(　　)6A．4B．3C．2D．1【分析】①正确,只要证明△NBA≌△NBC,∠ABE+∠ANE＝180°即可解决问题;②正确．只要证明△AFH≌△AFE即可;③正确．如图 2 中,首先证明△AMN∽△AFE,可得,即可解决问题;④错误．相似三角形不止 4 对相似三角形．【解析】将△ABE绕点A逆时针旋转 90°得到△ADH．∵四边形ABCD是中正方形,∴AB＝BC＝AD,∠BAD＝∠ABC＝90°,∠ABD＝∠CBD＝45°,在△BNA和△BNC中,,∴△NBA≌△NBC(SAS),∴AN＝CN,∠BAN＝∠BCN,∵EN＝CN,∴AN＝EN,∠NEC＝∠NCE＝∠BAN,∵∠NEC+∠BEN＝180°,∴∠BAN+∠BEN＝180°,∴∠ABC+∠ANE＝180°,∴∠ANE＝90°,∴AN＝NE,AN⊥NE,故①正确,∴∠3＝∠AEN＝45°,∵∠3＝45°,∠1＝∠4,∴∠2+∠4＝∠2+∠1＝45°,∴∠3＝∠FAH＝45°,∵AF＝AF,AE＝AH,7∴△AFE≌△AFH(SAS),∴EF＝FH＝DF+DH＝DF+BE,∠AFH＝∠AFE,故②正确,∵∠MAN＝∠NDF＝45°,∠ANM＝∠DNF,∴∠AMN＝∠AFD,∴∠AMN＝∠AFE,∵∠MAN＝∠EAF,∴△AMN∽△AFE,∴,故③正确,图中相似三角形有△ANE∽△BAD～△BCD,△ANM∽△AEF,△ABN∽△FDN,△BEM∽△DAM等,故④错误,故选:B．二、填空题二、填空题( (本大题共本大题共 8 8 小题小题, ,每小题每小题 3 3 分分, ,共共 2424 分分) )请把答案直接填写在横线上请把答案直接填写在横线上11．(2020•闵行区一模)如果两个相似三角形的相似比为 2:3,两个三角形的周长的和是 100cm,那么较小的三角形的周长为　40　cm．【分析】根据相似三角形周长比等于相似比列式计算．【解析】设较小的三角形的周长为xcm,则较大的三角形的周长为(100﹣x)cm,∵两个相似三角形的相似比为 2:3,∴两个相似三角形的周长比为 2:3,∴,解得,x＝40,8故答案为:40．12．(2019 秋•长春期末)如图,△ADE～△ABC,AD＝3,AE＝4,BE＝5,CA的长为　12　．【分析】直接利用相似三角形的性质得出对应边的比值相等进而得出答案．【解析】∵△ADE∽△ABC,∴,∵AD＝3,AE＝4,BE＝5,∴,解得:AC＝12．故答案为:12．13．(2020•淮安区一模)如图,已知一组平行线a∥b∥c,被直线m、n所截,交点分别为A、B、C和D、E、F,且AB＝3,BC＝4,EF＝4.8,则DE的长为　3.6　．【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式,代入数据进行计算即可得到答案．【解析】∵a∥b∥c,∴,即,9∴DE＝3.6,故答案为:3.6．14．(2019 秋•昭平县期末)如图,四边形ABCD中,AB∥CD,∠B＝90°,AB＝1,CD＝2,BC＝3,点P为BC边上一动点,若△PAB与△PCD是相似三角形,则BP的长为　1 或 2　．【分析】根据平行线的性质得到∠C＝∠B＝90°,求得CP＝BC﹣BP,①当,②当,根据相似三角形的性质即可得到结论．【解析】∵AB∥CD,∠B＝90°,∴∠C＝∠B＝90°,∵CP＝BC﹣BP,①当,即时,△ABP∽△DCP,解得:PB＝1,②当,即时,△ABP∽△PCD,解得:x1＝1,x2＝2,∴BP＝1 或BP＝2,故答案为:1 或 2．15．(2019 秋•镇海区校级期中)如图,两根竖直的电线杆AB长为 12,CD长为 4,AD交BC于点E,则点E到地面的距离EF的长是　3　．【分析】根据相似三角形对应边成比例可得,,然后代入数据两式相加其解即可．10【解析】∵两根电线杆AB、CD都竖直,EF垂直于地面,∴△ABD∽△EFD,△BCD∽△BEF,∴,,∴,即1,解得EF＝3．故答案为:3．16．(2019•丹阳市模拟)如图,O为 Rt△ABC斜边中点,AB＝10,BC＝6,M,N在AC边上,∠MON＝∠B,若△OMN与△OBC相似,则CM＝　 或　．【分析】分两种情形分别求解:①如图 1 中,当∠MON＝∠OMN时．②如图 2 中,当∠MON＝∠ONM时．【解析】∵∠ACB＝90°,AO＝OB,∴OC＝OA＝OB,∴∠B＝∠OCB,∵∠MON＝∠B,若△OMN与△OBC相似,∴有两种情形:①如图 1 中,当∠MON＝∠OMN时,11∵∠OMN＝∠B,∠OMC+∠OMN＝180°,∴∠OMC+∠B＝180°,∴∠MOB+∠BCM＝180°,∴∠MOB＝90°,∵∠AOM＝∠ACB,∠A＝∠A,∴△AOM∽△ACB,∴,∴,∴AM,∴CM＝AC﹣AM＝8．②如图 2 中,当∠MON＝∠ONM时,∵∠BOC＝∠OMN,∴∠A+∠ACO＝∠ACO+∠MOC,∴∠MOC＝∠A,∵∠MCO＝∠ACO,∴△OCM∽△ACO,∴OC2＝CM•CA,∴25＝CM•8,∴CM,12故答案为 或．17．(2019 秋•南岸区期末)如图,在直角坐标系中,正方形ABCD的边BC在x轴上,其中点A的坐标为(1,2),正方形EFGH的边FG在x轴上,且H的坐标为(9,4),则正方形ABCD与正方形EFGH的位似中心的坐标是　(﹣3,0)或(, )　．【分析】连接HD并延长交x轴于点P,根据正方形的性质求出点D的坐标为(3,2),证明△PCD∽△PGH,根据相似三角形的性质求出OP,另一种情况,连接CE、DF交于点P,根据待定系数法分别求出直线DF解析式和直线CE解析式,求出两直线交点,得到答案．【解析】连接HD并延长交x轴于点P,则点P为位似中心,∵四边形ABCD为正方形,点A的坐标为(1,2),∴点D的坐标为(3,2),∵DC∥HG,∴△PCD∽△PGH,∴,即,解得,OP＝3,∴正方形ABCD与正方形EFGH的位似中心的坐标是(﹣3,0),连接CE、DF交于点P,由题意得C(3,0),E(5,4),D(3,2),F(5,0),求出直线DF解析式为:y＝﹣x+5,直线CE解析式为:y＝2x﹣6,,13解得,,直线DF,CE的交点P为(, ),所以正方形ABCD与正方形EFGH的位似中心的坐标是(, ),故答案为:(﹣3,0)或(, )．18．(2018•桓台县一模)如图,△ABC∽△ADE,∠BAC＝∠DAE＝90°,AB＝6,AC＝8,F为DE中点,若点D在直线BC上运动,连接CF,则在点D运动过程中,线段CF的最小值是　4　．【分析】连接CE,根据∠DCE＝90°,F是DE的中点,可得CFDE,再根据当AD⊥BC时,AD最短,此时DE最短,根据直角三角形的面积以及相似三角形的性质,求得DE的最小值,即可得出CF的最小值．【解析】如图,连接CE,14∵△ABC∽△ADE,∴∠ACD＝∠AEG,又∵∠AGE＝∠DGC,∴△AGE∽△DGC,∴,又∵∠AGD＝∠EGC,∴△AGD∽△EGC,∴∠ADG＝∠ECG,又∵Rt△ADE中,∠ADG+∠AEG＝90°,∴∠ECG+∠ACD＝90°,即∠DCE＝90°,∵F是DE的中点,∴CFDE,∵△ABC∽△ADE,∴当AD⊥BC时,AD最短,此时DE最短,当AD⊥BC时,AD4.8,∵,即,∴DE＝8,∴CF8＝4．故答案为:4．三、解答题三、解答题( (本大题共本大题共 8 8 小题小题, ,共共 6666 分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) )1519．(2017 秋•锡山区校级月考)(1)已知,求的值． (2)已知,求的值．【分析】(1)依据比例的性质可得到 2b＝1.5a,然后代入计算即可;(2)设k(k≠0),则x＝2k,y＝3k,z＝4k,然后代入计算即可．【解析】(1)∵,∴2b＝1.5a,∴;(2)设k(k≠0),则x＝2k,y＝3k,z＝4k,∴．20．(2018•洪雅县模拟)如图是 9×16 的边长为 1 的方格,在方格中有△ABC．(1)以O为位似中心作△ABC的位似图形△A1B1C1,使作出的边长A1B1＝2AB,并保留作图痕迹;(2)将△ABC绕点A顺时针方向旋转 45°,在旋转的过程中,△ABC形状保持不变,面积逐渐增大,旋转到45°时止,此时得到△AC′B′的面积是原来△ABC的面积的 8 倍,请你计算AC′、C′B′的长,并作出旋转后的图形．【分析】(1)以O为位似中心作△ABC的位似图形△A1B1C1,使作出的边长A1B1＝2AB,据此进行作图即可;(2)根据△AC′B′的面积是原来△ABC的面积的 8 倍,△ABC绕点A顺时针方向旋转 45°,据此进行作图即可得到△AC′B′,以及AC′、C′B′的长．16【解析】(1)如图所示,△A1B1C1即为所求;(2)如图所示,△AB'C即为所求;计算:假设AC'＝xA'C,则C'B'＝xCB,则有AC'×C'B'x2AC×CB＝8AC×CB,∴x＝2,∴AC'＝2,C'B'＝4．21．(2019 秋•大观区校级期中)如图,AD是△ABC的中线,E是AD上一点,AE:AD＝1:4,BE的延长线交AC于F,求AF:CF的值．【分析】作DH∥BF交AC于H,易证FH＝HC,根据平行线分线段成比例定理,由此即可解决问题．【解析】作DH∥BF交AC于H,∵AD是△ABC的中线,∴BD＝CD,∵DH∥BF,∴FH＝HC,∵AE:AD＝1:4,∴AE:ED＝1:3,∵DH∥BF,,17∴AF:FC＝1:6．22．(2019•惠城区校级一模)如图,在 Rt△ABC中,∠B＝90°,BC＞AB,在BC边上取点D,使AB＝BD,构造正方形ABDE,DE交AC于点F,作EG⊥AC交AC于点G,交BC于点H．(1)求证:EF＝DH;(2)若AB＝6,DH＝2DF,求AC的长．【分析】(1)利用AAS证明△AFE≌△EHD,再由全等三角形的性质可得结论;(2)DH＝2DF,EF＝DH及正方形的边长为 6,求得DF和EF的长;再判定△AEF∽△CDF,由相似三角形的性质得比例式,求得DC的长,从而可得BC的长;最后在 Rt△ABC中,由勾股定理可求得AC的长．【解析】(1)证明:在正方形ABDE中,AE＝ED,∠AEF＝∠EDH＝90°∴∠DHE+∠GEF＝90°∵EG⊥AC∴∠GEF+∠GFE＝90°∴∠GFE＝∠DHE在△AFE和△EHD中90°∴△AFE≌△EHD(AAS)∴EF＝DH;(2)∵DH＝2DF,EF＝DH∴设DF＝x,则EF＝DH＝2x∵AB＝618∴AE＝DE＝6∴x+2x＝6∴x＝2∴DF＝2,EF＝4∵在正方形ABDE中,AE∥BD∴△AEF∽△CDF∴∴∴DC＝3∴BC＝BD+DC＝6+3＝9∴在 Rt△ABC中,由勾股定理得:AC3∴AC的长为 3．23．(2019•城步县模拟)如图,△ABC中,AB＝8 厘米,AC＝16 厘米,点P从A出发,以每秒 2 厘米的速度向B运动,点Q从C同时出发,以每秒 3 厘米的速度向A运动,其中一个动点到端点时,另一个动点也相应停止运动,那么,当以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时,运动时间是多少?【分析】首先设运动了ts,根据题意得:AP＝2tcm,CQ＝3tcm,然后分别从当△APQ∽△ABC与当△APQ∽△ACB时去分析求解即可求得答案．【解析】设运动了ts,根据题意得:AP＝2tcm,CQ＝3tcm,则AQ＝AC﹣CQ＝16﹣3t(cm),当△APQ∽△ABC时,,19即,解得:t;当△APQ∽△ACB时,,即,解得:t＝4;故当以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时,运动时间是:s或 4s．24．(2020•宝安区二模)如图,AB是⊙O的直径,C为⊙O上一点,作CE⊥AB于点E,BE＝2OE,延长AB至点D,使得BD＝AB,P是弧AB(异于A,B)上一个动点,连接AC、PE．(1)若AO＝3,求AC的长度;(2)求证:CD是⊙O的切线;(3)点P在运动的过程中是否存在常数k,使得PE＝k•PD,如果存在,求k的值,如果不存在,请说明理由．【分析】(1)通过证明△ACB∽△AEC,可得,即可求解;(2)连接OC,设OB＝OC＝3k,用k表示OC,CD,DO的长,由勾股定理逆定理可证∠OCD＝90°,可证CD是⊙O的切线;(3)通过证明△EOP∽△POD,可得,即可求解．【解析】(1)∵AO＝BO＝3,BE＝2OE,∴OE＝1,BE＝2,AB＝6,20∴AE＝4,∵AB是直径,∴∠ACB＝90°,∵CE⊥AB,∴∠CEA＝∠ACB＝90°,又∵∠A＝∠A,∴△ACB∽△AEC,∴,∴∴AC＝2;(2)如图,连接OC,∵设OB＝OC＝3k,∵BE＝2OE,∴OE＝k,BE＝2k,∴CE2k,∵DE＝BD+BE＝AB+BE＝8k,∴CD6k,∵OC2+DC2＝9k2+72k2,OD2＝81k2,∴OC2+DC2＝OD2,∴∠OCD＝90°,∴CD是⊙O的切线;(3)连接OP,21设OB＝OC＝OP＝3k,∵BE＝2OE,∴OE＝k,BE＝2k,∵,∠EOP＝∠POD,∴△EOP∽△POD,∴,∴PEPD,∴k．25．(2020•武侯区模拟)如图,已知AC为正方形ABCD的对角线,点P是平面内不与点A,B重合的任意一点,连接AP,将线段AP绕点P顺时针旋转 90°得到线段PE,连接AE,BP,CE．(1)求证:△APE∽△ABC;(2)当线段BP与CE相交时,设交点为M,求的值以及∠BMC的度数;(3)若正方形ABCD的边长为 3,AP＝1,当点P,C,E在同一直线上时,求线段BP的长．【分析】(1)先求出∠APE＝∠ABC＝90°,∠PAE＝∠PEA＝∠ABC＝45°,即可得出结论;22(2)由(1)知,△APE∽△ABC,得出,再判断出∠PAB＝∠EAC,进而判断出△PAB∽△EAC,即可得出结论;(3)先画出图形,利用勾股定理求出CP',再分两种情况,求出CE和CE',借助(2)的结论,即可得出结论．【解析】(1)∵AC是正方形ABCD的对角线,∴∠ABC＝90°,∠BAC＝∠BCA＝45°,由旋转知,PA＝PE,∠APE＝90°＝∠ABC,∴∠PAE＝∠PEA＝45°＝∠BAC,∴△APE∽△ABC;(2)在 Rt△ABC中,AB＝CB,∴ACAB,由(1)知,△APE∽△ABC,∴,∵∠BAC＝∠PAE＝45°,∴∠PAB＝∠EAC,∴△PAB∽△EAC,∴,∵△PAB∽△EAC,∴∠ABP＝∠ACE,∴∠BCE+∠CBM＝∠BCE+∠ABP+∠ABC＝∠BCE+∠ACE+∠ABC＝∠ACB+∠ABC＝45°+90°＝135°,∴∠BMC＝180°﹣(∠BCE+∠CBM)＝45°;(3)如图,在 Rt△ABC中,AB＝BC＝3,∴AC＝3,∵点P,C,E在同一条线上,且∠APE＝90°,∴CP,∴CE＝CP﹣PE1 或CE'＝CP'+P'E1,23由(2)知,,∴BPCE(1)或BP'CE';即:BP的长为或．26．(2020•宁波)【基础巩固】(1)如图 1,在△ABC中,D为AB上一点,∠ACD＝∠B．求证:AC2＝AD•AB．【尝试应用】(2)如图 2,在▱ABCD中,E为BC上一点,F为CD延长线上一点,∠BFE＝∠A．若BF＝4,BE＝3,求AD的长．【拓展提高】(3)如图 3,在菱形ABCD中,E是AB上一点,F是△ABC内一点,EF∥AC,AC＝2EF,∠EDF∠BAD,AE＝2,DF＝5,求菱形ABCD的边长．【分析】(1)证明△ADC∽△ACB,得出,则可得出结论;24(2)证明△BFE∽△BCF,得出比例线段,则BF2＝BE•BC,求出BC,则可求出AD．(3)分别延长EF,DC相交于点G,证得四边形AEGC为平行四边形,得出AC＝EG,CG＝AE,∠EAC＝∠G,证明△EDF∽△EGD,得出比例线段,则DEEF,可求出DG,则答案可求出．【解析】(1)证明:∵∠ACD＝∠B,∠A＝∠A,∴△ADC∽△ACB,∴,∴AC2＝AD•AB．(2)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD＝BC,∠A＝∠C,又∵∠BFE＝∠A,∴∠BFE＝∠C,又∵∠FBE＝∠CBF,∴△BFE∽△BCF,∴,∴BF2＝BE•BC,∴BC,∴AD．(3)如图,分别延长EF,DC相交于点G,25∵四边形ABCD是菱形,∴AB∥DC,∠BAC∠BAD,∵AC∥EF,∴四边形AEGC为平行四边形,∴AC＝EG,CG＝AE,∠EAC＝∠G,∵∠EDF∠BAD,∴∠EDF＝∠BAC,∴∠EDF＝∠G,又∵∠DEF＝∠GED,∴△EDF∽△EGD,∴,∴DE2＝EF•EG,又∵EG＝AC＝2EF,∴DE2＝2EF2,∴DEEF,又∵,∴DG,∴DC＝DG﹣CG＝52．。