
八年级数学上册-专题突破讲练-巧用分式方程的增根解决问题试题-青岛版.doc
8页巧用分式方程的增根解决问题一、解分式方程的环节:二、分式方程增根的概念:在分式方程化为整式方程的过程中,若整式方程的根使最简公分母为0,那么这个根叫做原分式方程的增根三、产生增根的因素:增根是在分式方程转化为整式方程去分母的过程中产生的由于等号两边同乘以的最简公分母有也许是0,因此就有也许产生满足整式方程,但是不满足分式方程的根注意:1. 解分式方程必须要验根;2. 验根时只需要把求出的x的值代入最简公分母中,看与否为0四、常用的题型:1. 求增根问题:措施是把分式方程去分母后求得的根代入原方程的最简公分母,若为零是增根,若不为零是原方程的根2. 根据增根求待定系数问题:环节:①去分母,化分式方程为整式方程;②将增根代入整式方程中,求出方程中字母系数的值例题1 若有关x的方程有增根,则a的值为__________解析:一方面去分母化整式方程,然后把增根代入求出a,答案:原方程可化为: ①又原方程的增根是,把代入①,得:故应填“”点拨:本题考察了分式方程的增根,增根问题可按如下环节进行:①让最简公分母为0拟定增根;②化分式方程为整式方程;③把增根代入整式方程,即可求得有关字母的值。
例题2 当a取何值时,解有关x的方程:无增根?解析:一方面去分母化整式方程,然后把增根代入求出a,最后从保证整式方程有实根的a的取值范畴中把产生增根的a的值去掉答案:原方程可化为: ①又原方程的增根为x=2或,把x=2或分别代入①得:或又由知,a可以取任何实数因此,当且时,解所给方程无增根点拨:解答此类问题的基本思路是:(1)将已知方程化为整式方程;(2)由所得整式方程,求出有增根的字母系数的值和使整式方程有实数根的字母系数的取值范畴;(3)从有实数根的范畴里排除有增根的值,即得无增根的取值范畴例题3 当k的值为_________(填出一种值即可)时,方程只有一种实数根解析:先化成整式方程(即一元二次方程)分两种状况:(1)一元二次方程有两个相等实根2)有两个不等实根,且有一种是增根答案:原方程可化为: ①要原方程只有一种实数根,有下面两种状况:(1)当方程①有两个相等的实数根,且不为原方程的增根,因此由得k=-1当k=-1时,方程①的根为,符合题意2)方程①有两个不相等的实数根且其中有一种是原方程的增根,因此由,得k>-1又原方程的增根为x=0或x=1,把x=0或x=1分别代入①得k=0,或k=3,均符合题意。
综上所述:可填“-1、0、3”中的任何一种即可点拨:本题要分清方程的增根和方程无根的区别分式方程无解是指不管未知数取何值,都不能使方程两边的值相等它涉及两种情形:(一)原方程化去分母后的整式方程无解;(二)原方程化去分母后的整式方程有解,但这个解却使原方程的分母为0,它是原方程的增根,从而原方程无解例题 (1)当a为什么值时,有关x的方程①会产生增根?(2)当a为什么值时,有关x的方程①无解?解析:(1)一方面将分式方程转化为整式方程,然后找出使公分母为零的未知数的值即为增根,最后将增根代入转化得到的整式方程中,求出原方程中所含字母的值2)除了考虑第(1)种状况外,此时还要考虑转化后的整式方程(a-1)x=-10自身无解的状况答案:(1)方程两边都乘以(x+2)(x-2),得2(x+2)+ax=3(x-2)整顿得(a-1)x=-10 ②若原分式方程有增根,则x=2或-2是方程②的根,把x=2或-2代入方程②中,解得,a=-4或62)方程两边都乘以(x+2)(x-2),得2(x+2)+ax=3(x-2)整顿得(a-1)x=-10 ②若原方程无解,则有两种情形:①当a-1=0(即a=1)时,方程②为0x=-10,此方程无解,因此原方程无解。
②如果方程②的解正好是原分式方程的增根,那么原分式方程无解此时由(1)可知,a=-4或6综上所述,a=1或a=一4或a=6时,原分式方程无解点拨:弄清分式方程的增根与无解的区别和联系,能协助我们提高解分式方程的对的性,对判断方程解的状况有一定的指引意义答题时间:45分钟)一、选择题1. (岳阳)有关x的分式方程有增根,则增根为( )A. x=1ﻩ B. x=-1 C. x=3 D. x=-32. 若分式方程有增根,则它的增根是( ) A. 1 B. 2或-2ﻩ C. -2ﻩ D. 23. 若方程有增根,则增根也许是( ) ﻩA. 0或2 B. 0ﻩ C. 2 D. 14. 若解有关x的方程有增根x=-1,则a的值为( ) A. 3 B. -3 C. 3或1 D. -3或-15. 下列有关分式方程增根的说法,对的的是( ) A. 使所有的分母的值都为零的解是增根 ﻩB. 分式方程的解为零就是增根 C. 使分子的值为零的解就是增根 ﻩD. 使最简公分母的值为零的解是增根6. 有关x的方程产生增根,则m的值及增根x的值分别为( ) A. m=-1,x=-3ﻩ B. m=1,x=-3 C. m=-1,x=3 D. m=1,x=3二、填空题7. (天水)若有关x的方程有增根,则a的值为____________。
8. (巴中)若分式方程有增根,则这个增根是____________9. 若方程有增根x=2,则m=____________三、解答题10. 若有关x的方程有增根,试解有关y的不等式5(y-2)≤28+k+2y11. 增根是在分式方程转化为整式方程的过程中产生的,分式方程的增根,不是分式方程的根,而是该分式方程化成的整式方程的根,因此波及分式方程的增根问题的解题环节一般为:①去分母,化分式方程为整式方程;②将增根代入整式方程中,求出方程中字母系数的值阅读以上材料后,完毕下列探究:探究1:m为什么值时,方程有增根探究2:m为什么值时,方程的根是-1探究3:任意写出三个m的值,使相应的方程的三个根中两个根之和等于第三个根探究4:你发现满足“探究3”条件的m1、m2、m3的关系是 _________ 12. 李明在解有关x的方程时,把m的值看错了解方程产生了增根,请你指出李明把m当作了几?为什么?ﻬ一、选择题1. A 解:方程两边都乘(x-1),得7+3(x-1)=m,∵原方程有增根,∴最简公分母x-1=0,解得x=1,当x=1时,m=7,这是也许的,符合题意2. C 解:由题意得x2-4=0时,原方程有增根。
解得x=2或-2,原方程化为整式方程为:3=(x-1+m)(x-2)当x=2时,右边为0,因此不能是2,当x=-2时,左边也许等于右边3. C 解:分式方程,最简公分母x(x-2),去分母得:4-x2=0,整顿得:x2=4,解得:x=±2,把x=2代入x(x-2)=0,则x=2是原分式方程的增根,原分式方程的解为-24. B 解:方程两边都乘以x(x+1)得:3(x+1)+(ax-3)x=2x(x+1),①把x=-1代入①得:3(-1+1)+(-a-3)=2×(-1)(-1+1),解得:a=-35. D 解:分式方程的增根是使最简公分母的值为零的解6. A 解:方程两边都乘(x+3),得x+2=m∵方程有增根,∴最简公分母x+3=0,即增根是x=-3,把x=-3代入整式方程,得m=-1 二、填空题7. -1 解:方程两边都乘(x-1),得ax+1-(x-1)=0,∵原方程有增根,∴最简公分母x-1=0,即增根为x=1,把x=1代入整式方程,得a=-18. x=1 解:根据分式方程有增根,得到x-1=0,即x=1,则方程的增根为x=19. -6 解:方程两边都乘(x+2)(x-2),得x-m-x(x+2)=2(x+2)(x-2)∵原方程增根为x=2,∴把x=2代入整式方程,得m=-6。
三、解答题10. 解:方程两边都乘(x-3),得k+2x-6=4-x,∵方程有增根,∴最简公分母x-3=0,即增根是x=3,把x=3代入整式方程,得k=1把k=1代入不等式5(y-2)≤28+k+2y得,5(y-2)≤28+1+2y,解得y≤1311. 解:探究1:方程两边都乘以(x-3),得3x+5(x-3)=-m∵原方程有增根,∴最简公分母x-3=0,解得x=3,当x=3时,m=-9,故m的值是-9探究2:方程两边都乘以(x-3),得3x+5(x-3)=-m∵原方程的根为x=-1,∴m=23,探究3:由(1)(2)得x=,方程的三个相应根为a,b,c且a+b=c,即可得出相应的m,m1=15-8a,m2=15-8b,m3=15-8c,探究4:∵a+b=c,∴整顿得m3=m1+m2-1512. 解:把m当作了-6或-14,理由是:去分母得:x(x+2)-(x+m)=2x(x-2),x2-5x+m=0①,∵有增根,∴x+2=0,x-2=0, ∴x=2或-2,当x=2时,代入①得:4-10+m=0,解得:m=6;当x=-2时,代入①得:4+10+m=0,解得:m=-14;即m=6或-14。












