用等价无穷小代换求幂指函数的极限(共5页).doc

精选优质文档-----倾情为你奉上用等价无穷小代换求幂指函数的极限作者：杨凤来源：《科技视界》2013年第34期【摘 要】本文讨论了幂指函数求极限的方法，重点探讨了00，∞0，1∞型幂指函数在求极限的过程中利用等价无穷小代换的问题，并提出了相应的定理，给出了证明以及实例关键词】幂指函数；等价无穷小；极限Research on the Limit of Power-Exponential Function by Equivalent InfinitesimalYANG Feng（Hubei University of Arts and Science， College of Mathematical and Computer Science， Xiangyang Hubei ）【Abstract】How to solve the limit of the power-exponential function has been discussed. The methods and examples are showed as to how to apply the methods to calculate limit， especially by the replacement of equivalent infinitesimal. The theorems have been provided and proofed.【Key words】The power-exponential function；Equivalent infinitesimal；Limit1 问题提出在大学高等数学中，对于幂指函数求极限的问题，共有两处提到，包括重要极限和洛必达法则。

但是，关于等价无穷小代换求幂指函数极限的问题大多都没有特别讲解一般得，只针对于分式型的函数如何用等价无穷小代换求极限做了讲解在教学过程中，有学生在一开始的学习中就遇到较为复杂的幂指函数求极限的问题，就不知道如何计算了课本中有一道极限求解题目，具体如下：■（■）■这是一个典型的1∞型的幂指函数求极限问题大多数学生在这里第一反应就是用重要极限来求解，但此题用重要极限不太容易看出来如果了解等价无穷小的相关定理，那么这道题就迎刃而解了鉴于此种情况，本文在前人研究的基础上，总结了幂指函数的求极限的方法，着重提出了等价无穷小求解幂指函数极限的看法2 幂指函数求极限的其他方法幂指函数的极限类型很多，有确定型和不定式之分对于确定型的幂指函数可以直接底数与指数求极限而对于不定式型的幂指函数，通常采用重要极限和洛必达法则两种方法2.1 重要极限对1∞型的幂指函数极限问题，考虑利用重要极限■（1+■）x=e及其变形公式■（1+x）■=e求极限例1 求极限■（cosx）csc2x.解：■（cosx）csc2x=■[1+（cosx-1）]■=■[1+（cosx-1）]■=e■=e■2.2 洛必达法则另外，对00型，∞0型，1∞型幂指函数的极限，可以通过将幂指函数化为对数恒等式y=elny的形式，转换为■型或■型不定式，然后再利用洛必达法则进行求解。

例2 求极限■（1+■）x.解：■（1+■）x=■e■=e■因为■（1+■）=0，■■=0由洛必达法则，得：■（1+■）■=e■=e■=e■3 用等价无穷小代换求幂指函数的极限幂指函数00型，∞0型，1∞型这三种类型不定式的求极限问题，除了运用前两种方法外，还可以使用等价无穷小的代换这里对这三种类型不定式进行全面探讨，将局限于分式型不定式的等价无穷小代换原理，推广到幂指函数求极限问题中去，从而在理论上较系统的解决了幂指函数求极限的问题3.1 00型的等价无穷小代换引理1 设α> 0，α′> 0为某变化过程中的无穷小若α～α′ ，则■～■.证明：α～α′，所以lim■=lim■=lim■=1，从而有■～■定理1 α> 0，α′>0和β，β′均为某变化过程中的无穷小若α～α′，β～β′，且limα′■=A，则有limαβ=limα′■=A证明：因为α～α′， 所以■～■然后就有limβlnα=lim■=lim■=limβ′lnα′limαβ=limeβ ln α=limeβ′ ln α′=limα′■=A此定理1说明，当limα′■=A时， limαβ中的α和β均可代换为等价无穷小α′和β′。

例3 求■（sin x）tan■.（00型）分析：因为■sin x=0，■tan2x=0，即极限呈00型解：当x→0+时，sinx～x，tan2x～2x由定理1，得：■（sin x）■=■x2x=■e■=e■=e0=13.2 ∞0型的等价无穷小代换∞0型的极限可写为lim[■]β=lim■，其中α>0和β均为某变化过程中的无穷小定理2 α>0，α′>0和β，β′均为某变化过程中的无穷小若α～α′，β～β′，且lim[■]β′=A，则lim[■]β=lim[■]β′=A由定理1可得定理2此定理2说明，当lim[■]β′=A时，α和β均可代换为等价无穷小α′和β′例4 求■[■]■（∞0型）分析：因为■[■]=∞，■sin x=0，即极限呈∞0型解： 当x→0时，ln（1+x）～x，sinx～x由定理2，得：■[■]■=■（■）■=e■=e0=13.3 1∞型的等价无穷小代换1∞型的极限可写为lim（1+α）■，其中α，β均为某变化过程中的无穷小引理2 设α，β为某变化过程中的无穷小若lim■=A，则有lim（1+α）■=e■=eA证明：lim（1+α）■=lime■=e■ln（1+α）～α就有lim（1+α）■=e■=e■=eA所以，刚刚文章一开始的那道求极限的题目，可以按照等价无穷小代换来求解。

例5 求极限■（■）■（1∞型）.解：当x→0，■→1，■→∞时，■（■）■=■[1+（■-1）]■=■[1+■]■■■■=■■■=■■■■=■.由引理2，得：■（■）■=e■定理3 设α，α′，β，β′均为某变化过程中的无穷小若α～α′，β～β′，且lim■=A，则有lim（1+α）■=lim（1+α′）■=eA证明：因为lim■=A，由等价无穷小代换原理，得：lim■=lim■lim（1+α）■=e■=e■=lim（1+α′）■=eA这说明，当lim■=A时，lim（1+α）■中的无穷小量α，β可代换为等价无穷小α′，β′例6 ■（1+tan x）■求极限（1∞型）.分析：因为■（1+tan x）=1，■■=∞，即极限呈1∞型解： 当x→0+，tanx～x，ln（1+x）～x时，■■=1，由定理3，得：■（1+tan x）■=e【参考文献】[1]华东师大数学系.数学分析[M].4版.北京：人民教育出版社，2011，9.[2]同济大学应用数学系，主编.高等数学（上册）[M].6版.高等教育出版社，2007，4.[3]刘金林.高等数学（上册）[M].机械工业出版社，2013，6.[4]沐国宝.等价无穷小在求幂指函数极限中的应用[J].上海应用技术学院学报，2002，6.[5]冯变英.幂指函数极限中等价无穷小代换的探讨[J].运城学院学报，2006，10.[责任编辑：曹明明]专心---专注---专业。