一次函数图象及其性质.doc
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考点 一次函数的图象及其性质【考点阐述】从全国各地的中考题看，一次函数已成为数学中考命题的大热点，其内容涉及一次函数的概念，一次函数图象与系数k、b的关系辨析，图象的性质、待定系数法求解析式，解析法求点的坐标，一次函数图象在实际问题中的运用等等.尤其是以生活实际为背景，不同学科知识的联系已作为试卷的特色，本考点一般以选择、填空题、解答题的形式出现，命题率较高，难度适中，以中档题为主.【操作技术与方法】一、一次函数及正比例函数的概念1．一般地，如果（、是常数，≠0），那么y叫做x的一次函数.特别地，当=0时，一次函数（是常数，≠0），这时y叫做x的正比例函数.注意：（1）一次函数的一般形式是，其中≠0，可以为任意实数；（2）正比例函数仍然是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数；（3）在一般情况下一次函数的自变量的取值范围是全体实数.2．会用待定系数法表示一次函数（或正比例函数），并且能用待定系数法求一次函数（或正比例函数）的解析式.二、一次函数的图象1．一次函数（、是常数，≠0）的图象是一条直线；当=0时，即正比例函数（是常数，≠0）是经过原点O（0，0）的一条直线.2．一次函数（、是常数，≠0）的图象与系数k、b的关系辨析（1）>0,>0图象(直线)经过一、二、三象限（图象不经过第四象限），如图1所示，此时y随x的增大而增大（y随x的减小而减小）；（2）>0,<0图象(直线)经过一、三、四象限（图象不经过第二象限），如图2所示，此时y随x的增大而增大（y随x的减小而减小）；（3）>0,=0图象(直线)经过一、三象限（图象经过原点），如图3所示，此时y随x的增大而增大（y随x的减小而减小）；（4）<0,>0图象(直线)经过一、二、四象限（图象不经过第三象限），如图4所示，此时y随x的增大而减小（y随x的减小而增大）；（5）<0,<0图象(直线)经过二、三、四象限（图象不经过第一象限），如图5所示，此时y随x的增大而减小（y随x的减小而增大）；（6）<0,=0图象(直线)经过二、四象限（图象经过原点），如图6所示，此时y随x的增大而减小（y随x的减小而增大）；如图1 如图2 如图3如图4 如图5 如图6注意: 决定直线的倾斜方向: 当>0时, y随x的增大而增大；当<0时，y随x的增大而减小；决定直线与y轴交点的位置：当>0时, 直线与y轴交于正半轴；当<0时，直线与y轴交于负半轴；当=0时, 直线与y轴交于原点.3．在坐标平面内两条直线的位置关系设直线，直线，则它们在坐标平面内的位置关系可由系数、来确定：（1）≠直线，相交，设交点为P（，），则、是联立方程组的解；（2）=，≠直线，平行；（3）=，=直线，重合.4．一次函数图象在实际问题中的应用一次函数图象可以表示实际生活（如行程、工程等）或其它学科（如物理、化学等）中a=bc型的数量关系（其中b为常数），分析图象时要注意图象上的特征点P（，）的横、纵坐标所表示的实际意义，并通过实际意义量所满足的公式、定理来解决实际问题.一般有定性分析和定量计算两种题型，在定性分析中要注意直线的倾斜程度的含义，在定量计算中要灵活运用解析法、比例线段、代数方程等方法进行求解.【典型例题】案例一、已知一次函数的图像经过点A（3，5）和点B（-2，1）.（1）求一次函数的解析式；（2）求△OAB的面积.方法点拔：本例要求能熟练运用待定系数法表示一次函数的解析式，构建k、b的方程组求解；学会进行坐标、线段长的转化，将几何知识与函数初步结合起来.解 析： （1）设一次函数的解析式，依题意得： 解得： ∴一次函数的解析式为. （2）如图，过A、B两点作x轴的垂线，D、E分别为垂足.设直线与x轴交于C点.∵一次函数的解析式为 ∴C点的坐标为（，0）∴..∴-=.【探 究 一】1. 若一次函数的图象经过点A（2，m），则m= . 2．如图，在直角坐标系中,直线AB与x轴的夹角为60°，且A点的坐标为(-2,0),点B在x轴上方,设AB=a,则B点的横坐标为（ ）. （A）2- （B） 2+ （C） -2- （D）–2+3. 一次函数y=3x-1、y=x-k的图象交于第四象限内的一点, 则k的范围是（ ）. （A）k< (B)
