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数理信息学院课程设计报告书题目 航空公司的预订票策略数学系？？？？？？？专业？ ? ? ? ????????指导教师 期 ? ? ? ?航空公司的预订票策略摘要本文针对在综合考虑经济利润和社会声誉情况下对最优预售票数的决策进 行了讨论针对问题一，只考虑经济效益，航空公司的经济利润可以用机票收入扣除飞 行费用和赔偿金后的利润来衡量，建立单目标规划模型针对问题二，从航空公司的长远利益出发，以公司经济利益最大化和社会 声誉尽量不受影响为原则社会声誉可以用持票按时前來登记、但因满员不能飞 走的乘客，即被挤掉者限制在一定数量为标准，由于预订票的乘客是否按时前来 登机是随机的，所以经济利益和社会声誉两个指标都应该在平均意义下衡量于 是航空公司预订票模型简化为一个双目标的规划问题，即求航空公司的平均利润 s（加）和被挤掉的乘客数超过j人的概率P0） Z间的平衡关系，决策变量是预订 票数量的限额m乘客是否前来登机是随机的，所以文章运用概率的思想使其服 从二项分布关键字:最后，我们对模型进行了推广与评价考虑不同的客源的实际需要，对补偿 金模型进行改进优化，比较详细的给出了航空公司的预订票策略，具有很强的实 际指导意义。

双目标规划模型、单目标规划模型、线性权值法、概率分布、利润最大问题重述1. 1基本情况：随着社会经济水平的不断提高，越來越多的人们选择乘坐飞机出行航空行 业发生了巨大的变化，在激烈的市场竞争中，航空公司为争取更多的客源而开展 的一个优质服务项目是预订票业务它的特点是：旅客可以在飞机起飞前一百多 天里向购票处或航空公司订票，由于离飞机起飞时间较r,以及旅客行为的不确 定性，往往航空公司会售出超过实际座位数的票数，即超售在订座决策中，航 空公司面临2种风险：空座风险和超售风险，以航班客座容量为临界点，如果超 售的结果（即实际到达机场的已预定座位的旅客人数）少于航班容量，会造成座 位剩余，这就是空座风险；如呆决策结果多于航班容量，造成冇些旅客被拒绝登 机，从而带来超售风险，合理的超售可以减少空位损失， 所以确定合理的超售数额是十分必要的通过预定策略，公司才能更好的获得经济利益而不会很大方面影响公司的声 誉客户可以通过或互联网等方式进行预定，这种预定具有很大的不确定性, 客户很可能由于各种原因取消预定考虑到社会声誉的因素，公司承诺，预先订 票的乘客如果未能按时登机，可以乘坐下一班机或退票，无需附加任何费用。

当 然也可以订票吋只订座，登机时才付款航空公司为了争取最大利润，一方面要 争取客户，另一方面要降低因客户取消预定遭受的损失开展预订票业务时，飞机容量是不能改变的，而预订票数量是可以根据客源 越多和声誉越好等方而来确定显然，预订票数量这一因素是十分关键的若公 司限制预订票的数量等于飞机容量，由于会有订了机票的乘客不按时来，致使飞 机不满员而利润降低，甚至亏木如果不限制预订票数量，若持票按吋来的乘客 超过飞机容量，必然引起不能走乘客的抱怨，导致公司声誉受损，给公司带来损 失，如客源减少，挤掉以后班机的乘客，付给乘客一定的赔偿金，公司需要综合 考虑经济利益和社会声誉，确定预订票数量的最佳限额1・2需要解决的问题：现根据以上的基木情况考虑下列问题：问题一：只考虑公司的经济利益，，怎样确定该航班的预订票数量问题二：公司为争取更多的客源只考虑经济利益，对该公司的长久利益而言, 肯定是不是最佳的，所以公司还应考虑社会声誉问题公司当然希望被挤掉的乘 客越少而乘坐航班的乘客越多，这种情况下，去确定该航班的预订票数量二、问题分析2.1问题一的分析针对问题一，在不考虑其它因素的前提下，只从经济利益来确定预订票 数量的最佳限额。

公司的经济利益可以用机票收入扣除飞行费用和赔偿金 后的利润来衡量由于预订票的乘客是否按时前来登机是随机的，所以经 济利益应该在平均意义下考虑这是一个单目标的优化模型2.2问题二的分析针对问题二，在问题一的基础上，从长远利益來看，由于航空公司订票 业务的开展，若限制订票数额与飞机可容纳乘客数恰好相等，那么当乘客订了机 票而未按时登机的情况发牛时，飞机则会因为不满员而利润降低若不限制订票 数额，那么当前来登机的乘客超过飞机容量时，必然会引起部分乘客的抱怨，导 致公司的声誉及经济造成损失因此需要在二者辨证关系中，找到一个最佳订票 数额点公司的经济利益可以用机票收入扣除飞行费用和赔偿金后的利润来衡量，声誉可 以用按时前来登记但被挤下飞机的乘客限制在一定数量为标准⑴由于我们假定 预订票的乘客是否前来登机是随机的，因此我们要讨论利润和声誉的平均期望 值该问题口J以看做是一个双目标的最优化问题三、模型假设1、 木文假设不会出现突发事件导致机票价格或订票乘客数量有突然的改 变并月.，在宏观、微观的政治经济环境上，机票价格为常数2、 各位乘客是否按时前来登机是相互独立的（这适用于单独行动的商人、游客）3、 每趟飞机预定票数量都大于飞机的实际座位数。

4、 飞行费用与乘客人数无关，为一个固定的常数（实际上关系很小）5、 飞机容量、、每位被挤掉者获得的赔偿金均为常数四、符号说明 m：预订票数量的限额n :飞机容量g：机票价格r飞行费用A：利润调节因子5:每次航班的利润S :平均利润h：被挤掉者获得的赔偿金（为常数）P：每位乘客不按时前来登机的概率Pj（m）:被挤掉的乘客人数超过丿人的概率J（m）：被挤掉的乘客人数超过丿人的概率四、名词解释1、二项分布（Binomial Distribution）：即重复n次的伯努力试验（Bernoulli Experiment),用g表示随机试验的结果. 如果事件发生的概率是P,则不 发生的概率q=l-p , N次独立重复试验小发生k次的概率是 P^ = k) = C^k)*pk*(\-p)n-k其中CS,灯= 〃!/伙!*(/7-幻!)那么就说这个属于 二项分布，其中P称为成功概率六、模型的建立与求解6. 1模型一的建立与求解6. 1. 1问题一的建立为确定合理的预订票数量的限额，采用使航空公司的经济利益最人化的原则來衡 量公司的经济利益可以用平均利润S衡量，每次航班的利润S为该由三部分组 成：票房收益(订票取得的收益和取消订票对收益的影响)、运营成本和对被挤 掉的乘客的赔偿。

令飞机的容量为常数〃，机票的价格为g飞行费用厂主要 包括两大部分:一是飞行油耗；二是飞行中为乘客提供的服务费一般來说，飞 机费用与乘客数量关系很小，并且飞机费用可表示成机票价格g和飞机机身容量 兀的函数，即：预订票数量的限额为m(>n),如果有乘客预订了机票，但而来的登机的时候发现 飞机已经满员，即自己被挤掉了，在这种情况下，航空公司可以让其机票升级或 给予一定比例的赔偿金血假定在这订票的/〃位乘客中有力位不按时前来登机时，航空公司将从飞行中 得到的利润为：\(m-k)g -r m-k < n(1)s = <[ng-r-(m-k-n)b m-k > n每位乘客是否按时去机场登机是变量，他可能按时前来也可能不按时 前来；并且假设毎位乘客是否前来登机是互相独立的乘客是否前去是相互独 立的，每位乘客按吋登机服从二点分布那么不按吋前来的乘客数K,每位 乘客不按时前来登机的概率为° ,于是概率为：pk=P(K = k) = Cyqlft-\q = \-p (2)当然，这种“未到”为相互独立的假定并不完全有效事实上，部分乘客会成双 或成群到达(或未到)然而，让我们暂不考虑这种附带的困难，这样我们注意到：DPk = mpk=0那么，航空公司出一次飞行获取的平均或期望利润为一个和式，它是所冇可能的 未到人数对应情况下的利润乘以相应概率的和，即：平均利润S （即s的期望）为:m-n-1 mS(m)= 工[(ng — r) — (m — A: — /?) x /?] x pk + z [(m-k)g -r]x pk (3)k=0 k=m-n6. 1.2问题一的求解化简（3）式 ，m-n-\可得S（m） = qmg-r-（g+b）工（m-k-n）xpkk=0我们需要通过该式求得S（〃7）的最大值.6. 2模型二的建立与求解 6. 2. 1双目标整数规划模型的建立航空公司为了未來的长远发展，必须考虑公司的社会声誉和经济利益，所以 应该要求被挤掉的乘客人数不能太多。

但是被挤掉者的数量是随机的，可以用被 挤掉的乘客数超过若干人的概率作为度量指标1.公司机票的收入：S = ng=—nAn2 •飞行的费用：r3.假定在这订票的刃位乘客中有&位不按时前来登机时，每次航班的利润$为从机票收入中减去飞行费用和可能发生的赔偿金:(m -k)g - r m-k < n ng -r-(m-k-n)b m-k > n综上，航空公司将从飞行中得到的平均利润S （即s的期望）为:m-n-\ mS(m) = [(ng n)x/?]x pk + 工 \{m-k}g -r]x pkk=0 k=m-n并注意到：kpk = mp 可得：k = 0m-n-\5(m) = qmg -r _(g +b) > (m -k -n)x pkk=04.记被挤掉的乘客数超过j人的概率为PM ,因为被挤掉的乘客数超过J人，等 价于m位乘客中不按时前来登机的不超过m・n・j・l人，所以Pj(m)=工 pkk=0对于给定的n,」，显然当m = “ + /时被挤掉的乘客不会超过」人，即 P>(w) = 0o而当m变大时，弓S)单调增加综上，S⑷)和号S)虽然是这个优化问题的两个目标，双目标规划模型为即 为：m-n-1S(m) = qmg _厂_(g + b)工(m-k -/?)x pkk=0w-n-y-1Pj(m)=工 Pkk=0双廿标规划模型的求解一般可转换为单廿标來求解，在这一问题的求解中 我们可以将号S)不超过摸个给定值作为约束条件，以S⑷)为单目标函数來求 解。

该模型为：m-n-\目标函数：S(/n) = qmg -r-(g +b)工(m-k-n)x pkk=0约束条件:s.t.Pj(m)=工pk < ak=0622模型二的简化为了减少S(加)中的参数，取S(加)除以飞行费用r为新的目标函数丿(ni),其含义是单位费用获得的平均利益，注意到假设1中冇g = r/^,曲(4)式可得J(m) = 5(/??)/ r =——[q加 _(l + b/g) V (m-k -n)]-l 加 A=0其中b/g是赔偿金占机票价格的比例问题转化为给定几、n、P、b/g ,求使m ,S,丿(m)最大，而约束条件为Pj(m)=工 pk < ak=0其中Q为小于1的正数因而该问题可以描述成以平均利润S为目标函数的最优化问题即：决策变量：加目标函数：单位费用获得的平均利益J(m) = S(m)/ r =——[qm -(1 + h/ g) V (m -k -n)]-1加 k=0约束条件：Pj(m)=工pk < ak=0该模型无法求得解析解[⑹，所以木文设定几组数据，用mat lab软件作数值 计算设 n = 300,2 = 0.6, p = 0.05 和 0.1, b/g=0.2 和 0.4,计算 J(m), 2(力)，化)(加)，得表lo设n = 150,其他不变,得表2。

623模型的分析1•对于所取的各个n,P4g，平均利润丿⑷)随着m的变大都是先增加再减 少，但是在最大值附近变化很小，而被挤掉的乘客数。