反三角函数（1）——反正弦函数.docx

反三角函数（1）——反正弦函数一、教学内容分析 根据反函数的概念，正弦函数y=sinx（x∈R）没有反函数.但是如果我们适当选取实数集R的一个子集[-，]，那么函数y=sinx， x∈[-，]就存在反函数，为什么要选取[-，]，教师要作必要性说明.我们把函数y=sinx， x∈[-，]的反函数叫做反正弦函数，记作y=arcsinx，x∈[-1，1]，学生对符号的arcsinx的理解比较困难，前面符号中的x必须满足|x|≤1，arcsinx是[-，]上的一个角的弧度数，这个角的正弦值为x.根据互为反函数间的图像关系，函数y=arcsinx，x∈[-1，1]的图像和函数y=sinx， x∈[-，]的图像应该关于直线y=x对称，这样容易作出反正弦函数的图像，根据其图像可以得到反正弦函数y=arcsinx，x∈[-1，1]是奇函数，且单调递增.二、教学目标设计 1．理解函数y=sinx（x∈R）没有反函数；理解函数y=sinx， x∈[-，]有反函数；理解反正弦函数y=arcsinx的概念，掌握反正弦函数的定义域是[-1，1]，值域是[-，]. 2．知道反正弦函数y=arcsinx ，x∈[-1，1]的图像. 3．掌握等式sin（arcsinx）=x，x∈[-1，1]和arcsin（-x）=-arcsinx，x∈[-1，1]. 4．能够熟练计算特殊值的反正弦函数值，并能用反正弦函数值表示角. 5．会用数形结合等数学思想分析和思考问题.三、教学重点及难点 教学重点：理解反正弦函数概念以及反正弦函数符号的本质. 教学难点：反正弦函数的产生和从本质上处理正弦函数的反函数问题.四、教学用具准备直尺、多媒体设备五、教学流程设计 反正弦函数的定义 （ 师生讨论、探究、提炼概念）反正弦函数的图象与性质互为反函数的两个函数的图象与性质的关系正弦函数的图象与性质应用举例(求特殊值的反正弦函数值、用反正弦函数值表示角、运用反正弦恒等式化简或求值)巩固、反馈、总结、反思、作业六、教学过程设计 一、 情景引入 1．复习 我们学习过反函数，知道，对于函数y=f（x），x∈D，如果对它的值域中的任意一个值y，在定义域D中都有唯一确定的值x与它对应，使y=f（x），这样得到的x关于y的函数叫做y=f（x）的反函数.我们也明确不是任何一个函数都存在反函数.函数要存在反函数必须要求其自变量与因变量是一一对应的. 2．思考 那么正弦函数是否存在反函数呢？ [说明] 因为对于任一正弦值都有无数个角值与之对应.正弦函数的自变量与因变量是多对一的.故而不存在反函数. 3．讨论 正弦函数不存在反函数.但只要选取某一区间使得在该区间上存在反函数.因变量可以确定自变量，正弦值可以表示相应的角值，并且将该区间上的角值用相应的正弦值表示就可以了.学生讨论应该选取怎样的区间，使得存在反函数呢？这个区间的选择依据两个原则：（1）在所取区间上存在反函数；（2）能取到的一切函数值.可以选取闭区间，使得在该区间上存在反函数，而这个反函数就是今天要学习的反正弦函数.二、学习新课 1．概念辨析（1）反正弦函数的定义： 函数y=sinx， x∈[-，]的反函数叫做反正弦函数，记作y=arcsinx，x∈[-1，1].（2）反正弦函数的性质： ①图像 ②定义域[-1，1] ③值域[-，] ④奇偶性：奇函数，即arcsin（-x）=-arcsinx，x∈[-1，1] ⑤单调性：增函数[说明]互为反函数的两个函数图像关于直线对称，函数y=sinx，x∈[-，]与函数y=arcsinx，x∈[-1，1]的图像关于直线对称. 2．例题分析三、巩固练习四、课堂小结 五、作业布置。