三角函数图像和性质教案_总结_练习题.doc

2012 三角函数图像与性质1．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像1-1y=sinx-32-52-727252322-2-4 -3 -2 432- oyx 1-1y=cosx-32-52-727252322-2-4 -3 -2 432- oyx y=tanx 322-32 --2 oyx2．三角函数的单调区间：的递增区间是 ，递减区间是xysin22k， )(Z；32k， )(Z的递增区间是 ，递减区间是xycosk2，)(Zk2，，)(Zk的递增区间是 ，xytan2k， )(3．函数 BA)si(），（ 其 中 0A最大值是 ，最小值是 ，周期是 ，频率是 ，相位是T2f，初相是 ；其图象的对称轴是直线 ，凡是该图象x )(2Zkx与直线 的交点都是该图象的对称中心By4．由 y＝sin x 的图象变换出 y＝sin(ωx＋ )的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活 进行图象变换。

利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现 头htp:/w.xjkygcom@126t:/.j无 论 哪种 变形，请切记每一个变换总是对字母 x 而言，即图象变换要看“变量” 起多大变化，而不是“角变化”多少途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)先将 y＝sinx 的图象向左( ＞0)或向右( ＜0＝平移｜ ｜个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的 倍(ω＞0) ，便得 y＝sin(ωx＋ )的图象1途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换先将 y＝sinx 的图象上各点的横坐标变为原来的 倍(ω ＞0)，再沿 x 轴向左(1＞0) 或向右 ( ＜0＝平移 个单位，便得 y＝sin( ωx＋ )的图象| 5．由 y＝Asin(ωx ＋ )的图象求其函数式：给 出 图 象 确 定 解 析 式 y=Asin（ωx+ ）的 题 型 ，有 时 从 寻 找 “五 点 ”中 的 第 一 零 点（－ ，0）作为 突破口，要从 图象的升降情况找准第一个零点的位置6．对称轴与对称中心：的对称轴为 ，对称中心为 ；sinyx2xk(,0) kZ的对称轴为 ，对称中心为 ；co 2对于 和 来说， 对称中心与零点相联系，对称i()Acos()yAx轴与最值点联系。

7．求三角函数的单调区间：一般先将函数式化为基本三角函数的标准式，要特别注意 A、 的正负  头htp:/w.xjkygcom@126t:/.j利用 单调性三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间；8．求三角函数的周期的常用方法：经过恒等变形化成“ 、 ”的形式，在利用周sin()Axcos()yAx期公式，另外还有图像法和定 义法9．五点法作 y=Asin（ωx+ ）的简图：五点取法是设 x=ωx+ ，由 x 取 0、 、π、 、2π 来求相应的 x 值及对应的23y 值，再描点作 图四．典例解析题型 1：三角函数的图象例 1．（2000 全国，5）函数 y＝－xc osx 的部分图象是（ ）解析：因为函数 y＝－xcosx 是奇函数，它的图象关于原点对称，所以排除A、C，当 x∈（0， ）时， y＝－xc osx＜0答案 为 D2题型 2：三角函数图象的变换例 2．试述如何由 y= sin（2x+ ）的图象得到 y=sinx 的图象31π解析：y= sin（2x+ ）31π）（纵 坐 标 不 变 倍横 坐 标 扩 大 为 原 来 的 3πsin1  xyi3π 纵 坐 标 不 变 个 单 位图 象 向 右 平 移 xysin 横 坐 标 不 变 倍纵 坐 标 扩 大 到 原 来 的另法答案：（1）先将 y= sin（2x+ ）的图象向右平移 个单位，得 y= sin2x 的图象；3π6π31（2）再将 y= sin2x 上各点的横坐 标扩大为原来的 2 倍（纵坐标不变），得 y=sinx 的图象；3（3）再将 y= sinx 图象上各点的 纵坐标扩大为原来的 3 倍（横坐标不变），即1可得到 y=sinx 的图象。

例 3．（2003 上海春，15）把曲线 ycosx+2y－1=0 先沿 x 轴向右平移 个单位，2再沿 y 轴向下平移 1 个单 位，得到的曲 线方程是（ ）A．（1－y）sin x+2y－3=0 B．（y－1）sinx+2y －3=0C．（y+1）sinx+2y+1=0 D．－(y+1)sinx+2y+1=0解析：将原方程整理为：y = ，因为要将原曲线向右、向下分别移动cos2个 单位和 1 个单位，因此可得 y= －1 为所求方程.整理得（y+1）2 )2(xsinx+2y+1=0.点评：本题考查了曲线平移的基本方法及三角函数中的诱导公式如果对平移有深刻理解，可直接化为 ：（y+1）cos（x－ ）+2（y+1）－1=0，即得 C 选项2题型 3：三角函数图象的应用例 4．（2003 上海春，18）已知函数 f（x）=Asin（ωx+）（A>0，ω>0，x∈R）在一个周期内的图象如图所示，求直线 y= 与函数 f（x）图象的所有交点的坐标3解析：根据图象得 A=2，T= π－（－ ）27=4π，∴ω= ，∴y=2sin（ + ），21x又由图象可得相位移为－ ，∴－ =－ ，∴ = .即 y=2sin（ x+ ）。

2124214根据条件 =2sin（ ），∴ =2kπ+ (k∈Z)或341xx3=2kπ+ π（k∈Z），∴x=4kπ+ （k∈Z）或 x=4kπ+ π（k∈Z）421x2665图∴所有交点坐标为（4kπ + ）或（4kπ+ ）（k∈Z）点评：本题主要考3,63,65查三角函数的基本知识，考 查逻辑思维能力、分析和解决问题的能力题型 4：三角函数的定义域、值域例 5．（1）已知 f（x）的定义域为［0， 1］，求 f（cosx）的定 义域；（2）求函数 y=lgsin（cosx）的定 义域；分析：求函数的定义域：（1）要使 0≤cosx≤1，（2）要使 sin（cosx）＞0，这里的cosx 以它的值充当角解析：（1）0≤cosx ＜1 2kπ－ ≤x≤2kπ+ ，且 x≠2kπ（k∈Z）2π∴所求函数的定义域为{x｜x∈［2k π－ ，2kπ+ ］且 x≠2kπ，k∈Z}2）由 sin（cosx）＞0 2kπ＜cosx＜2kπ+π（k∈ Z）又∵－1≤cosx≤1， ∴0＜cosx≤1故所求定义域为{x｜x∈（2kπ－ ，2kπ+ ），k∈Z}点评：求三角函数的定义域，要解三角不等式，常用的方法有二：一是图象，二是三角函数线。

题型 5：三角函数的单调性例 6．求下列函数的单调区间：（1）y= sin（ － ）；（2）y=－｜sin（x+ ）｜24π3x4π分 析 ：（1）要 将 原 函 数 化 为 y=－ sin（ x－ ）再 求 之 2）可 画 出213y=－ |sin（x+ ）|的图象解：（ 1）y= sin（ － ）=－ sin（ － ）4π4π13x4π故由 2kπ－ ≤ － ≤2kπ+ 3kπ－ ≤x≤3kπ+ （k∈Z），为单调减区3x4π2889间；由 2kπ+ ≤ － ≤2kπ+ 3kπ+ ≤x≤3kπ+ （k∈Z），为单调增区间9π21∴递减区 间为 ［3kπ－ ，3kπ+ ］，8π9递增区间为［3k π+ ，3kπ+ ］（k∈Z）821（2）y=－|sin（x + ）|的图象的增区间为［kπ+ ，kπ+ ］，减区间为4π4π3［kπ－ ，kπ+ ］4-54 -34 7454344-4oy x题型 6：三角函数的奇偶性例 7．（2001 上海春）关于 x 的函数 f（x）=sin（x+ ）有以下命题：①对任意的 ，f（x）都是非奇非偶函数；②不存在 ，使 f（x）既是奇函数，又是偶函数；③存在 ，使 f（x）是奇函数；④对任意的 ，f（x）都不是偶函数。

其中一个假命题的序号是_____.因为当 =_____时，该命题的结论不成立答案：①，kπ（k∈Z ）；或者① ， +kπ（k∈Z）；或者④ ， +kπ（k∈Z）22解析：当 =2kπ，k∈Z时，f（x）=sinx 是奇函数当 =2（k+1）π，k∈Z时 f（x）=－sinx 仍是奇函数当 =2kπ+ ，k∈Z时，f（x）= cosx，或当 =2kπ－ ，k∈Z22时，f （x）=－cosx ，f（x）都是偶函数 .所以② 和③都是正确的无论 为何值都不能使 f（x）恒等于零所以 f（x）不能既是奇函数又是偶函数①和④ 都是假命题点评：本题考查三角函数的奇偶性、诱导公式以及分析问题的能力，注意k∈Z 不能不写，否则不给分，本题的答案不惟一，两个空全答对才能得分题型 7：三角函数的周期性例 8．设 的周期 ，最大值 ，)0(cossin)(xbaxf T4)12(f（1）求 、 、 的值；（2） 的 值终 边 不 共 线 ， 求、 、的 两 根 ，为 方 程、 、若 tan0  f解析：(1) ， ， ，)si()(2xx又 的最大值 ， ① ，且 )(xfQ4)12(f 2ba②，由 ①、②解出 a=2 , b=3.12cosbsina4(2) ， ，)3sin(co3i)( xxf 0)(ff， ， 或 )sin(4si 322k， 即 ( 共线，故舍去) ， 或 3232k k、， 。

6 3)6tan()tan(Zk点评：方程组的思想是解题时常用的基本思想方法；在解题时不要忘记三角函数的周期性题型 8：三角函数的最值例 9．（2000 京、皖春理，10）函数 y＝ 的最大值是（ ）xcosin21A． －1 B． ＋1 C．1－ D．－ 1－22 2解析：B； 2)4sin(cosin xxy。