第九节 二阶常系数非齐次微分方程.ppt

常系数非齐次线性微分方程,第九节,一、,二、,二阶常系数线性非齐次微分方程 :,根据解的结构定理 , 其通解为,求特解的方法,根据 f (x) 的特殊形式 ,,的待定形式,,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 .,, 待定系数法,一、, 为实数 ,,设特解为,其中 为待定多项式 ,,代入原方程 , 得,,(1) 若 不是特征方程的根,,则取,从而得到特解,形式为,,,,,,为 m 次多项式 .,,Q (x) 为 m 次待定系数多项式,(2) 若 是特征方程的单根 ,,为m 次多项式,,故特解形式为,(3) 若 是特征方程的重根 ,,是 m 次多项式,,故特解形式为,小结,对方程,,此结论可推广到高阶常系数线性微分方程 .,,,即,即,当 是特征方程的 k 重根 时,,可设,,特解,例1.,的一个特解.,解: 本题,而特征方程为,不是特征方程的根 .,设所求特解为,代入方程 :,比较系数, 得,于是所求特解为,,例2.,的通解.,解: 本题,特征方程为,其根为,对应齐次方程的通解为,设非齐次方程特解为,比较系数, 得,因此特解为,代入方程得,所求通解为,,,,,二、,第二步 求出如下两个方程的特解,分析思路:,第一步 将 f (x) 转化为,第三步 利用叠加原理求出原方程的特解,第四步 分析原方程特解的特点,第一步,利用欧拉公式将 f (x) 变形,第二步 求如下两方程的特解,是特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1),,故,等式两边取共轭 :,为方程 的特解 .,,,设,则 有,特解:,第三步 求原方程的特解,利用第二步的结果, 根据叠加原理, 原方程有特解 :,原方程,,均为 m 次多项式 .,第四步 分析,因,均为 m 次实,多项式 .,本质上为实函数 ,,,小 结:,对非齐次方程,则可设特解:,其中,为特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1),,上述结论也可推广到高阶方程的情形.,例4.,的一个特解 .,解: 本题,特征方程,故设特解为,不是特征方程的根,,代入方程得,比较系数 , 得,于是求得一个特解,,,,,,例5.,的通解.,解:,特征方程为,其根为,对应齐次方程的通解为,比较系数, 得,因此特解为,代入方程:,所求通解为,为特征方程的单根 ,,,,,,因此设非齐次方程特解为,内容小结, 为特征方程的 k (0, 1, 2) 重根,,则设特解为,为特征方程的 k (0, 1 )重根,,则设特解为,3. 上述结论也可推广到高阶方程的情形.,思考与练习,时可设特解为,时可设特解为,,,提示:,1 . (填空) 设,。